From Nand to Tetris 里的 Project 2

背景

让我们按照 From Nand to Tetris 里 Project 2 的要求，来完成下列的设计。

1. 实现半加器(HalfAdder)
2. 实现全加器(FullAdder)
3. 实现 $16\; 16$16 位加法器(Add16)
4. 实现 $16\; 16$16 位自增器(Inc16)
5. 实现算术逻辑单元(ALU) (todo)

正文

1. 实现 HalfAdder

前往 Nand to Tetris Online IDE，选择 Project 2 里的 HalfAdder，效果如下图所示 ⬇️

我们的目标是用 Project 1 里已经实现的各种 chip 实现一个 HalfAdder。

• 输入是
  • $a\; a$a
  • $b\; b$b
• 输出是
  • $s\; u\; m\; sum$sum
  • $c\; a\; r\; r\; y\; carry$carry

我们可以从它的真值表入手 ⬇️

$a\; a$a	$b\; b$b	$s\; u\; m\; sum$sum	$c\; a\; r\; r\; y\; carry$carry
$0\; 0$0	$0\; 0$0	$0\; 0$0	$0\; 0$0
$0\; 0$0	$1\; 1$1	$1\; 1$1	$0\; 0$0
$1\; 1$1	$0\; 0$0	$1\; 1$1	$0\; 0$0
$1\; 1$1	$1\; 1$1	$0\; 0$0	$1\; 1$1

可见

• $s\; u\; m\; =\; (\; \neg \; a\; \wedge \; b\; )\; \vee \; (\; a\; \wedge \; \neg \; b\; )\; =\; a\; \oplus \; b\; sum=(\backslash neg\{a\}\backslash land\; b)\; \backslash lor\; (a\backslash land\; \backslash neg\{b\})=a\backslash oplus\; b$sum=(¬a∧b)∨(a∧¬b)=a⊕b
• $c\; a\; r\; r\; y\; =\; a\; \wedge \; b\; carry=a\backslash land\; b$carry=a∧b

所以可以这样实现 ⬇️

CHIP HalfAdder {
    IN a, b;    // 1-bit inputs
    OUT sum,    // Right bit of a + b 
        carry;  // Left bit of a + b

    PARTS:
    And(a= a, b= b, out= carry);
    Xor(a = a, b = b, out = sum);
}

这样的代码可以通过仿真测试，效果如下图所示 ⬇️

2. 实现 FullAdder

前往 Nand to Tetris Online IDE，选择 Project 2 里的 FullAdder，效果如下图所示 ⬇️

我们的目标是用 Project 1 里已经实现的各种 chip，以及刚才实现的 HalfAdder 来实现一个 FullAdder。

• 输入是
  • $a\; a$a
  • $b\; b$b
  • $c\; c$c
• 输出是
  • $s\; u\; m\; sum$sum
  • $c\; a\; r\; r\; y\; carry$carry

我们还是从真值表入手 ⬇️

$a\; a$a	$b\; b$b	$c\; c$c	$s\; u\; m\; sum$sum	$c\; a\; r\; r\; y\; carry$carry
$0\; 0$0	$0\; 0$0	$0\; 0$0	$0\; 0$0	$0\; 0$0
$0\; 0$0	$0\; 0$0	$1\; 1$1	$1\; 1$1	$0\; 0$0
$0\; 0$0	$1\; 1$1	$0\; 0$0	$1\; 1$1	$0\; 0$0
$0\; 0$0	$1\; 1$1	$1\; 1$1	$0\; 0$0	$1\; 1$1
$1\; 1$1	$0\; 0$0	$0\; 0$0	$1\; 1$1	$0\; 0$0
$1\; 1$1	$0\; 0$0	$1\; 1$1	$0\; 0$0	$1\; 1$1
$1\; 1$1	$1\; 1$1	$0\; 0$0	$0\; 0$0	$1\; 1$1
$1\; 1$1	$1\; 1$1	$1\; 1$1	$1\; 1$1	$1\; 1$1

通过观察真值表，可以将 $s\; u\; m\; sum$sum 和 $c\; a\; r\; r\; y\; carry$carry 写成对应的析取范式 DNF(Disjunctive Normal Form) 的形式

• $s\; u\; m\; =\; (\; \neg \; a\; \wedge \; \neg \; b\; \wedge \; c\; )\; \vee \; (\; \neg \; a\; \wedge \; b\; \wedge \; \neg \; c\; )\; \vee \; (\; a\; \wedge \; \neg \; b\; \wedge \; \neg \; c\; )\; \vee \; (\; a\; \wedge \; b\; \wedge \; c\; )\; sum=(\backslash neg\{a\}\backslash land\; \backslash neg\{b\}\backslash land\; c)\backslash lor\; (\backslash neg\{a\}\backslash land\; b\backslash land\; \backslash neg\{c\})\backslash lor(a\backslash land\backslash neg\{b\}\backslash land\; \backslash neg\{c\})\backslash lor(a\backslash land\; b\backslash land\; c)$sum=(¬a∧¬b∧c)∨(¬a∧b∧¬c)∨(a∧¬b∧¬c)∨(a∧b∧c)
• $c\; a\; r\; r\; y\; =\; (\; \neg \; a\; \wedge \; b\; \wedge \; c\; )\; \vee \; (\; a\; \wedge \; \neg \; b\; \wedge \; c\; )\; \vee \; (\; a\; \wedge \; b\; \wedge \; \neg \; c\; )\; \vee \; (\; a\; \wedge \; b\; \wedge \; c\; )\; carry=(\backslash neg\{a\}\backslash land\; b\backslash land\; c)\backslash lor(a\backslash land\; \backslash neg\{b\}\backslash land\; c)\backslash lor(a\backslash land\; b\backslash land\; \backslash neg\{c\})\backslash lor(a\backslash land\; b\backslash land\; c)$carry=(¬a∧b∧c)∨(a∧¬b∧c)∨(a∧b∧¬c)∨(a∧b∧c)

从上面的析取范式出发，我们可以只用 And/Or/Not 来实现 FullAdder。但有没有更简洁的实现方式呢？ 我们回忆一下 HalfAdder 中的 $s\; u\; m\; sum$sum 和 $c\; a\; r\; r\; y\; carry$carry 是怎样的 ⬇️ （为了和 FullAdder 的 $s\; u\; m\; sum$sum 和 $c\; a\; r\; r\; y\; carry$carry 进行区分，我把 HalfAdder $s\; u\; m\; sum$sum 和 $c\; a\; r\; r\; y\; carry$carry 分别改写为的 $s\; u\; m\; h\; a\; sum\_\{ha\}$sumha 和 $c\; a\; r\; r\; y\; h\; a\; carry\_\{ha\}$carryha）

• $s\; u\; m\; h\; a\; =\; (\; \neg \; a\; \wedge \; b\; )\; \vee \; (\; a\; \wedge \; \neg \; b\; )\; =\; a\; \oplus \; b\; sum\_\{ha\}=(\backslash neg\{a\}\backslash land\; b)\; \backslash lor\; (a\backslash land\; \backslash neg\{b\})=a\backslash oplus\; b$sumha=(¬a∧b)∨(a∧¬b)=a⊕b
• $c\; a\; r\; r\; y\; h\; a\; =\; a\; \wedge \; b\; carry\_\{ha\}=a\backslash land\; b$carryha=a∧b

为了便于区分，我把 FullAdder 的 $s\; u\; m\; sum$sum 和 $c\; a\; r\; r\; y\; carry$carry 分别改写为 $s\; u\; m\; f\; a\; sum\_\{fa\}$sumfa 和 $c\; a\; r\; r\; y\; f\; a\; carry\_\{fa\}$carryfa。 先看 $s\; u\; m\; f\; a\; sum\_\{fa\}$sumfa 和 $s\; u\; m\; h\; a\; sum\_\{ha\}$sumha 是否有关联。

• $s\; u\; m\; f\; a\; =\; (\; \neg \; a\; \wedge \; \neg \; b\; \wedge \; c\; )\; \vee \; (\; \neg \; a\; \wedge \; b\; \wedge \; \neg \; c\; )\; \vee \; (\; a\; \wedge \; \neg \; b\; \wedge \; \neg \; c\; )\; \vee \; (\; a\; \wedge \; b\; \wedge \; c\; )\; sum\_\{fa\}=(\backslash neg\{a\}\backslash land\; \backslash neg\{b\}\backslash land\; c)\backslash lor\; (\backslash neg\{a\}\backslash land\; b\backslash land\; \backslash neg\{c\})\backslash lor(a\backslash land\backslash neg\{b\}\backslash land\; \backslash neg\{c\})\backslash lor(a\backslash land\; b\backslash land\; c)$sumfa=(¬a∧¬b∧c)∨(¬a∧b∧¬c)∨(a∧¬b∧¬c)∨(a∧b∧c)
• $s\; u\; m\; h\; a\; =\; a\; \oplus \; b\; sum\_\{ha\}=a\backslash oplus\; b$sumha=a⊕b

如何表示 $s\; u\; m\; sum$sum

一个思路是看看能否将 $s\; u\; m\; f\; a\; sum\_\{fa\}$sumfa 用 $s\; u\; m\; h\; a\; sum\_\{ha\}$sumha 表示出来，我试了试，觉得有些繁琐，而且不容易想到。另一个思路是，我们从 $s\; u\; m\; f\; a\; sum\_\{fa\}$sumfa 和 $s\; u\; m\; h\; a\; sum\_\{ha\}$sumha 背后的含义入手。 $s\; u\; m\; h\; a\; sum\_\{ha\}$sumha 表示 $a\; ,\; b\; a,b$a,b 的和（忽略进位），所以 $s\; u\; m\; h\; a\; =\; a\; \oplus \; b\; sum\_\{ha\}=a\backslash oplus\; b$sumha=a⊕b。

• $s\; u\; m\; h\; a\; =\; 0\; sum\_\{ha\}=0$sumha=0 时，只有 $c\; =\; 1\; c=1$c=1， $s\; u\; m\; f\; a\; =\; 1\; sum\_\{fa\}=1$sumfa=1 才会成立
• $s\; u\; m\; h\; a\; =\; 1\; sum\_\{ha\}=1$sumha=1 时，只有 $c\; =\; 0\; c=0$c=0， $s\; u\; m\; f\; a\; =\; 1\; sum\_\{fa\}=1$sumfa=1 才会成立

所以 $s\; u\; m\; f\; a\; =\; s\; u\; m\; h\; a\; \oplus \; c\; sum\_\{fa\}=sum\_\{ha\}\backslash oplus\; c$sumfa=sumha⊕c

而 HalfAdder 的作用就是对输入 $a\; ,\; b\; a,b$a,b 分别执行 $\oplus \; \backslash oplus$⊕ 和 $\wedge \; \backslash land$∧ 运算，所以 $s\; u\; m\; f\; a\; sum\_\{fa\}$sumfa 可以通过拼接两个 HalfAdder 来实现 ⬇️

• 第一个 HalfAdder 以 $a\; ,\; b\; a,b$a,b 为输入，其 $s\; u\; m\; h\; a\; 1\; =\; a\; \oplus \; b\; sum\_\{ha1\}=a\backslash oplus\; b$sumha1=a⊕b
• 第二个 HalfAdder 以 $s\; u\; m\; f\; a\; 1\; sum\_\{fa1\}$sumfa1 和 $c\; c$c 为输入，其 $s\; u\; m\; h\; a\; 2\; =\; s\; u\; m\; f\; a\; 1\; \oplus \; c\; =\; sum\_\{ha2\}=sum\_\{fa1\}\backslash oplus\; c=$sumha2=sumfa1⊕c=

如何表示 $c\; a\; r\; r\; y\; carry$carry

$$c\; a\; r\; r\; y\; f\; a\; =\; (\; \neg \; a\; \wedge \; b\; \wedge \; c\; )\; \vee \; (\; a\; \wedge \; \neg \; b\; \wedge \; c\; )\; \vee \; (\; a\; \wedge \; b\; \wedge \; \neg \; c\; )\; \vee \; (\; a\; \wedge \; b\; \wedge \; c\; )\; carry\_\{fa\}=(\backslash neg\{a\}\backslash land\; b\backslash land\; c)\backslash lor(a\backslash land\; \backslash neg\{b\}\backslash land\; c)\backslash lor(a\backslash land\; b\backslash land\; \backslash neg\{c\})\backslash lor(a\backslash land\; b\backslash land\; c)$$carryfa=(¬a∧b∧c)∨(a∧¬b∧c)∨(a∧b∧¬c)∨(a∧b∧c)
$$=\; (\; \neg \; a\; \wedge \; b\; \wedge \; c\; )\; \vee \; (\; a\; \wedge \; \neg \; b\; \wedge \; c\; )\; \vee \; (\; (\; a\; \wedge \; b\; \wedge \; \neg \; c\; )\; \vee \; (\; a\; \wedge \; b\; \wedge \; c\; )\; )\; =(\backslash neg\{a\}\backslash land\; b\backslash land\; c)\backslash lor(a\backslash land\; \backslash neg\{b\}\backslash land\; c)\backslash lor((a\backslash land\; b\backslash land\; \backslash neg\{c\})\backslash lor(a\backslash land\; b\backslash land\; c))$$=(¬a∧b∧c)∨(a∧¬b∧c)∨((a∧b∧¬c)∨(a∧b∧c))
$$=\; (\; \neg \; a\; \wedge \; b\; \wedge \; c\; )\; \vee \; (\; a\; \wedge \; \neg \; b\; \wedge \; c\; )\; \vee \; (\; a\; \wedge \; b\; )\; =(\backslash neg\{a\}\backslash land\; b\backslash land\; c)\backslash lor(a\backslash land\; \backslash neg\{b\}\backslash land\; c)\backslash lor(a\backslash land\; b)$$=(¬a∧b∧c)∨(a∧¬b∧c)∨(a∧b)
$$=\; (\; \neg \; a\; \wedge \; b\; \wedge \; c\; )\; \vee \; (\; a\; \wedge \; \neg \; b\; \wedge \; c\; )\; \vee \; c\; a\; r\; r\; y\; h\; a\; =(\backslash neg\{a\}\backslash land\; b\backslash land\; c)\backslash lor(a\backslash land\; \backslash neg\{b\}\backslash land\; c)\backslash lor\; carry\_\{ha\}$$=(¬a∧b∧c)∨(a∧¬b∧c)∨carryha
$$=\; (\; (\; a\; \oplus \; b\; )\; \wedge \; c\; )\; \vee \; c\; a\; r\; r\; y\; h\; a\; =((a\backslash oplus\; b)\backslash land\; c)\backslash lor\; carry\_\{ha\}$$=((a⊕b)∧c)∨carryha
$$=\; (\; s\; u\; m\; h\; a\; \wedge \; c\; )\; \vee \; c\; a\; r\; r\; y\; h\; a\; =(sum\_\{ha\}\backslash land\; c)\backslash lor\; carry\_\{ha\}$$=(sumha∧c)∨carryha

考虑到 HalfAdder 的作用就是对输入 $a\; ,\; b\; a,b$a,b 分别执行 $\oplus \; \backslash oplus$⊕ 和 $\wedge \; \backslash land$∧ 运算，所以 $c\; a\; r\; r\; y\; f\; a\; carry\_\{fa\}$carryfa 可以通过拼接两个 HalfAdder 再加上一个 Or 运算 来实现 ⬇️

• 第一个 HalfAdder 以 $a\; ,\; b\; a,b$a,b 为输入，它的
  • $s\; u\; m\; f\; a\; 1\; =\; a\; \oplus \; b\; sum\_\{fa1\}=a\backslash oplus\; b$sumfa1=a⊕b
  • $c\; a\; r\; r\; y\; h\; a\; 1\; =\; a\; \wedge \; b\; carry\_\{ha1\}=a\backslash land\; b$carryha1=a∧b
• 第二个 HalfAdder 以 $s\; u\; m\; f\; a\; 1\; sum\_\{fa1\}$sumfa1 和 $c\; c$c 为输入，它的
  • $s\; u\; m\; h\; a\; 2\; =\; s\; u\; m\; f\; a\; 1\; \oplus \; c\; sum\_\{ha2\}=sum\_\{fa1\}\backslash oplus\; c$sumha2=sumfa1⊕c
  • $c\; a\; r\; r\; y\; h\; a\; 2\; =\; s\; u\; m\; f\; a\; 1\; \wedge \; c\; carry\_\{ha2\}=sum\_\{fa1\}\backslash land\; c$carryha2=sumfa1∧c

那么
$$c\; a\; r\; r\; y\; f\; a\; =\; (\; s\; u\; m\; h\; a\; 1\; \wedge \; c\; )\; \vee \; c\; a\; r\; r\; y\; h\; a\; 1\; =\; c\; a\; r\; r\; y\; h\; a\; 2\; \vee \; c\; a\; r\; r\; y\; h\; a\; 1\; carry\_\{fa\}=(sum\_\{ha1\}\backslash land\; c)\backslash lor\; carry\_\{ha1\}=carry\_\{ha2\}\backslash lor\; carry\_\{ha1\}$$carryfa=(sumha1∧c)∨carryha1=carryha2∨carryha1

至此我们可以用 HalfAdder 和 Or 来实现 FullAdder。具体的代码如下 ⬇️

CHIP FullAdder {
    IN a, b, c;  // 1-bit inputs
    OUT sum,     // Right bit of a + b + c
        carry;   // Left bit of a + b + c

    PARTS:
    HalfAdder(a= a, b= b, sum= sumHa, carry= carryHa);
    HalfAdder(a= sumHa, b= c, sum= sum, carry= temp);
    Or(a= carryHa, b= temp, out= carry);
}

这样的代码可以通过仿真测试，效果如下图所示 ⬇️

3. 实现 $16\; 16$16 位加法器(Add16)

前往 Nand to Tetris Online IDE，选择 Project 2 里的 Add16，效果如下图所示 ⬇️

我们的目标是用 Project 1 里已经实现的各种 chip，以及刚才实现的 HalfAdder/FullAdder 来实现一个 Add16。

• 输入是
  • $a$ 16 a16 a16
  • $b$ 16 b16 b16
• 输出是
  • $o\; u\; t$ 16 out16 out16

要实现的逻辑如下 ⬇️

16-bit adder: Adds two 16-bit two's complement values.
The most significant carry bit is ignored.

我写了如下的 java 程序来生成对应的 HDL 代码

import java.util.StringJoiner;

public class Adder16HdlCodeGenerator {
    public static void main(String[] args) {
        String template = """
                CHIP Add16 {
                    IN a[16], b[16];
                    OUT out[16];
                
                    PARTS:
                %s
                }
                """;
        StringJoiner joiner = new StringJoiner(System.lineSeparator());
        joiner.add("    FullAdder(a= a[0], b= b[0], c= false, sum= out[0], carry= c0);");
        for (int i = 1; i < 16; i++) {
            String line = String.format("    FullAdder(a= a[%s], b= b[%s], c= c%s, sum= out[%s], carry= c%s);", i, i, i - 1, i, i);
            joiner.add(line);
        }
        System.out.printf(template, joiner);
    }
}

请将以上 java 代码保存为 Adder16HdlCodeGenerator.java。用以下命令可以编译 Adder16HdlCodeGenerator.java 并运行其中的 main 方法。

javac Adder16HdlCodeGenerator.java
java Adder16HdlCodeGenerator

运行结果如下

CHIP Add16 {
    IN a[16], b[16];
    OUT out[16];

    PARTS:
    FullAdder(a= a[0], b= b[0], c= false, sum= out[0], carry= c0);
    FullAdder(a= a[1], b= b[1], c= c0, sum= out[1], carry= c1);
    FullAdder(a= a[2], b= b[2], c= c1, sum= out[2], carry= c2);
    FullAdder(a= a[3], b= b[3], c= c2, sum= out[3], carry= c3);
    FullAdder(a= a[4], b= b[4], c= c3, sum= out[4], carry= c4);
    FullAdder(a= a[5], b= b[5], c= c4, sum= out[5], carry= c5);
    FullAdder(a= a[6], b= b[6], c= c5, sum= out[6], carry= c6);
    FullAdder(a= a[7], b= b[7], c= c6, sum= out[7], carry= c7);
    FullAdder(a= a[8], b= b[8], c= c7, sum= out[8], carry= c8);
    FullAdder(a= a[9], b= b[9], c= c8, sum= out[9], carry= c9);
    FullAdder(a= a[10], b= b[10], c= c9, sum= out[10], carry= c10);
    FullAdder(a= a[11], b= b[11], c= c10, sum= out[11], carry= c11);
    FullAdder(a= a[12], b= b[12], c= c11, sum= out[12], carry= c12);
    FullAdder(a= a[13], b= b[13], c= c12, sum= out[13], carry= c13);
    FullAdder(a= a[14], b= b[14], c= c13, sum= out[14], carry= c14);
    FullAdder(a= a[15], b= b[15], c= c14, sum= out[15], carry= c15);
}

这样的代码可以通过仿真测试，效果如下图所示 ⬇️

4. 实现 $16\; 16$16 位自增器(Inc16)

前往 Nand to Tetris Online IDE，选择 Project 2 里的 Inc16，效果如下图所示 ⬇️

我们的目标是用 Project 1 里已经实现的各种 chip，以及刚才实现的 HalfAdder/FullAdder/Add16 来实现一个 Inc16。

• 输入是
  • $i\; n$ 16 in16 in16
• 输出是
  • $o\; u\; t$ 16 out16 out16

要实现的逻辑如下 ⬇️

16-bit incrementer:
out = in + 1

一个直观的做法是使用上一步实现的 Add16，具体的代码如下 ⬇️

CHIP Inc16 {
    IN in[16];
    OUT out[16];

    PARTS:
    Add16(a = in, b[0]= true, b[1..15] = false, out = out);
}

这样的代码可以通过仿真测试，效果如下图所示 ⬇️

5. 实现算术逻辑单元(ALU)

前往 Nand to Tetris Online IDE，选择 Project 2 里的 ALU，效果如下图所示 ⬇️

参考资料

• Nand to Tetris Online IDE