文章目录
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- 1.从分布参数电路到电报方程
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- 1) 把电缆看成无限小段的分布参数模型 把电缆看成无限小段的分布参数模型)
- 2) 写出微小段的基尔霍夫方程（KVL 与 KCL，在频域） 写出微小段的基尔霍夫方程（KVL 与 KCL，在频域）)
- 3) 消去 (I) 或 (V) 得到二阶微分方程（电报方程） 消去 (I) 或 (V) 得到二阶微分方程（电报方程）)
- 4) 指数解 指数解)
- 2.衰减系数数特性
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- [低频近似（ω → 0）](#低频近似（ω → 0）)
- [高频近似（ω 较大）](#高频近似（ω 较大）)
- 损耗近似
- 3.能量介质传播与指数衰减的关系
- 4.dB标度
- 5.功率指数衰减
1.从分布参数电路到电报方程
- 推导过程：微小线段电路模型 → 写出微分方程 → 解出指数解 。整体和电路笔记(阻抗) : 传输线路方程&传输线输入阻抗公式 推导 + 理查德变换 Richards' Transformation（用传输线形式的分立元件替代集总元件）一样，只不过侧重的点不同。
1) 把电缆看成无限小段的分布参数模型
- 把长度 (x) 到 (x+dx) 的小段看作下面这个等效电路（串联 (R,dx), (L,dx)；并联 (G,dx), (C,dx)）。
对于一条差分或单端传输线，每 单位长度 有四个参数（均为每米）：
- 电阻 R（Ω/m） --- 串联耗散
- 电感 L（H/m） --- 串联感抗
- 电导 G（S/m） --- 对地漏导（介质损耗）
- 电容 C（F/m） --- 对地或对相互线的电容
2) 写出微小段的基尔霍夫方程（KVL 与 KCL，在频域）
用复频域表示（假设信号为 e j ω t e^{j\omega t} ejωt 频率分量），对该小段：
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电压降（KVL）：
V ( x ) − V ( x + d x ) = ( R , d x + j ω L ) ∗ d x ∗ I ( x ) V(x) - V(x+dx) = (R,dx + j\omega L)*dx*I(x) V(x)−V(x+dx)=(R,dx+jωL)∗dx∗I(x)两端差除以 (dx)，取极限：
− ∂ V ∂ x = ( R + j ω L ) ∗ I ( x ) (1) -\frac{\partial V}{\partial x} = (R + j\omega L)*I(x) \quad\text{(1)} −∂x∂V=(R+jωL)∗I(x)(1) -
电流连续方程（KCL）：流入与流出电流差等于并联支路的泄漏电流
I ( x ) − I ( x + d x ) = ( G , d x + j ω C ) ∗ d x ∗ V ( x ) I(x) - I(x+dx) = (G,dx + j\omega C)*dx*V(x) I(x)−I(x+dx)=(G,dx+jωC)∗dx∗V(x)类似化简得：
− ∂ I ∂ x = ( G + j ω C ) ∗ V ( x ) (2) -\frac{\partial I}{\partial x} = (G + j\omega C)*V(x) \quad\text{(2)} −∂x∂I=(G+jωC)∗V(x)(2)
3) 消去 (I) 或 (V) 得到二阶微分方程（电报方程）
对式 (1) 两边对x求导，：
− ∂ 2 V ∂ x 2 = ( R + j ω L ) ∗ ∂ I ∂ x -\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} = (R + j\omega L)*\frac{\partial I}{\partial x} −∂x2∂2V=(R+jωL)∗∂x∂I
将 (2) 代入：
∂ 2 V ∂ x 2 = ( R + j ω L ) ( G + j ω C ) ∗ V \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} = (R + j\omega L)(G + j\omega C)*V ∂x2∂2V=(R+jωL)(G+jωC)∗V
同理可以得到电流形式：
∂ 2 I ∂ x 2 = ( R + j ω L ) ( G + j ω C ) ∗ I \frac{\partial^2 I}{\partial x^2} = (R + j\omega L)(G + j\omega C)*I ∂x2∂2I=(R+jωL)(G+jωC)∗I
4) 指数解
设
γ 2 = ( R + j ω L ) ( G + j ω C ) \gamma^2 = (R + j\omega L)(G + j\omega C) γ2=(R+jωL)(G+jωC)
则一阶解为
V ( x ) = V + e − γ x + V − e + γ x V(x) = V_+ e^{-\gamma x} + V_- e^{+\gamma x} V(x)=V+e−γx+V−e+γx
- V + V_+ V+：沿 +x 方向传播的波
- V − V_- V−：沿 −x 方向传播的波（反射波）,负载处因为匹配不反射(相当于无限长的电缆)，所以 没有反射波
- 只关心单向传播（从发送端向接收端），写作：
V ( x ) = V 0 e − γ x V(x) = V_0 e^{-\gamma x} V(x)=V0e−γx
把 γ \gamma γ分解：
γ = α + j β \gamma = \alpha + j\beta γ=α+jβ
于是
V ( x ) = V 0 e − α x e − j β x V(x) = V_0 e^{-\alpha x} e^{-j\beta x} V(x)=V0e−αxe−jβx
- α \alpha α : N p / m Np/m Np/m（Neper per meter）是衰减常数 （幅度随距離做指数衰减）,Neper奈珀和分贝一样，都是比率的对数表达式。分贝使用以10为底的对数，也就是十进制对数，而奈珀使用自然对数，也就是欧拉常数对数。
- β \beta β: r a d / m rad/m rad/m是相位常数（表示波长/相位延迟）
这就是信号随距离呈指数衰减的本质原因。
2.衰减系数数特性
- 传输线的电报方程得出，衰减系数是频率的函数：
f ( ω ) = > γ = α + j β = ( R + j ω L ) ( G + j ω C ) f(\omega)=>\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(R + j\omega L)(G + j\omega C)} f(ω)=>γ=α+jβ=(R+jωL)(G+jωC)
- 其中：R每米串联电阻，L每米串联电感，G 每米并联电导，C 每米并联电容， ω = 2 π f \omega = 2\pi f ω=2πf信号角频率
低频近似（ω → 0）
- 对低频信号， ω L ≪ R \omega L \ll R ωL≪R， ω C ≪ G \omega C \ll G ωC≪G
- γ 可近似为：
γ ≈ R G + j ⋅ 0 \gamma \approx \sqrt{RG} + j\cdot0 γ≈RG +j⋅0
- α 很小，主要由导体电阻 R 决定
- 低频信号几乎不衰减（万用表测不到）
高频近似（ω 较大）
- 高频时， ω L ≫ R \omega L \gg R ωL≫R， ω C ≫ G \omega C \gg G ωC≫G
- γ 可近似为：
γ ≈ j ω L C + R 2 C L + G 2 L C \gamma \approx j\omega \sqrt{LC} + \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}} + \frac{G}{2}\sqrt{\frac{L}{C}} γ≈jωLC +2RLC +2GCL
- 衰减常数 α ≈ R 2 C / L + G 2 L / C \frac{R}{2}\sqrt{C/L} + \frac{G}{2}\sqrt{L/C} 2RC/L +2GL/C
- 这时 α 会随频率变化（尤其 R 也随频率略增，C/G 对高频影响更明显）
高频信号衰减明显，低频信号几乎不衰减
损耗近似
- 特性阻抗：
Z 0 ≈ L C Z_0 \approx \sqrt{\frac{L}{C}} Z0≈CL - 衰减常数近似为：
α ≈ R 2 C L + G 2 L C = R 2 Z 0 + G Z 0 2 \alpha \approx \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}} + \frac{G}{2}\sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{R}{2Z_0} + \frac{G Z_0}{2} α≈2RLC +2GCL =2Z0R+2GZ0
- 此公式直观地把衰减分成"导体损耗"（与 R成正比）和"介质损耗"（与G成正比）。
3.能量介质传播与指数衰减的关系
- 如果能量在吸收介质中传播（雾、水、大气强吸收段、土壤、组织），能量满足"比率损失 ∝ 当前能量"，产生 指数衰减：
d X d t = − k X ( t ) , k > 0 \frac{dX}{dt} = -k X(t),\quad k>0 dtdX=−kX(t),k>0
X ( t ) = X 0 e − k t X(t)=X_0 e^{-kt} X(t)=X0e−kt
- 像传输线方程这样的高阶常系数线性齐次微分方程，其通解也是多个指数函数的解的组合，能量的传播也满足指数衰减关系。
4.dB标度
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工程上常用 dB/m 表示衰减。此时指数衰减在 dB 标度上变成了"线性衰减"。因此信号每增加一段距离，损耗的 dB 是恒定的，方便计算与叠加。
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例如：
- 光纤损耗：x dB/km
- 声波吸收率： x dB/m
- 传输线损耗：x dB/m
5.功率指数衰减
- 沿线的电压和电流幅度随距离 (x) 衰减：
V ( x ) = V 0 e − α x , I ( x ) = I 0 e − α x V(x) = V_0 e^{-\alpha x}, \quad I(x) = I_0 e^{-\alpha x} V(x)=V0e−αx,I(x)=I0e−αx
- 单位长度的瞬时功率为：
P ( x ) = 1 2 ∣ V ( x ) ∣ ⋅ ∣ I ∗ ( x ) ∣ P(x) = \frac{1}{2} |V(x)| \cdot |I^*(x)| P(x)=21∣V(x)∣⋅∣I∗(x)∣
- 代入衰减公式（幅度同样指数衰减）：
P ( x ) ∝ V ( x ) 2 ∝ e − 2 α x P(x) \propto V(x)^2 \propto e^{-2\alpha x} P(x)∝V(x)2∝e−2αx
- 所以功率（能量传输速率）衰减指数更快。