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Erdős-Straus非平均集问题终获精确解
近日，一项发表在《几何与泛函分析》上的研究为这一问题画上了句号。论文作者证明了，最大非平均子集的尺寸精确为 n^{1/4+o(1)} 。这意味着，当n非常大时，能构造的非平均集大小大约在n的1/4次方这个量级。突破的关键在于运用了关于子集和结构的精妙反定理。研究证实，此前由Bosznay提出的基于抛物线点集投影的构造方法，在量级上已经达到了最优。这项工作最终统一了该问题的上下界，为这段长达半个多世纪的探索之旅书写了终章。
非平均集问题的解决，其意义远超这个特定结论本身。它展示了加性组合学中一种深刻的方法论：将整数集合的问题与高维几何中的凸性联系起来。最优构造本质上来源于将一个高维空间中的凸点集（如抛物线上的点）投影到整数轴上。这种"几何视角"为解决一系列涉及避免线性模式的加性问题提供了强有力的工具，预示着该领域未来更多突破的可能。
数学家王虹在香港大学开讲"挂谷猜想"
据极目新闻，12月11日，34岁教授王虹在香港大学开数学讲座，现场座无虚席，连过道都站满了人，不少学生只能挤在演讲厅门口听讲。
王虹用流利的英语给大家进行讲解，演讲厅内坐满了人，不少同学站在门外听课。一位参加讲座的同学发文称："连过道都站满了人。，现场还来了不少外国的同学。
不少参与旁听的同学发文称，虽然王虹教授教得非常清晰细致，但大家还是有些没听明白："几何测度论是完全听不懂""已经努力听了，奈何水平有限听不懂"。另一位旁听讲座的同学则表示，王虹教授非常耐心，讲课过程中时常会询问大家有没有想问的问题。
"超级辅助大脑"，将数学家从部分繁琐的探索中解放出来
来自北京大学国际数学研究中心的研究团队，近日开创性地提出并验证了一种"人在回路中"的人机协作框架。该框架重新定义了数学家与AI的角色：数学家牢牢掌控问题的定义、核心直觉与可接受的公理，而大型语言模型则化身为不知疲倦的"探索引擎"，在庞大的证明空间中进行搜索、尝试提出引理或发现矛盾。研究团队通过一个连接流形优化与格罗弗量子搜索算法的复杂案例，成功验证了该框架的威力。在这一过程中，AI协助发现了不变子空间，并探索了与格罗弗算法兼容的收缩映射，最终帮助团队为基于收缩的梯度方法建立了收敛性保证。这一成果不仅加速了发现过程，更重要的是，它确保了整个研究过程像传统数学一样透明、严谨，所有AI的产出都能被转化为可验证的定义、引理和最终证明。
这项工作标志着数学研究范式可能迎来转折点。它并非用AI取代数学家，而是致力于打造一个"超级辅助大脑"，将数学家从部分繁琐的探索中解放出来，更专注于高层构思。这一范式尤其适用于涉及复杂结构交叉的领域，如几何、数论与物理的交叉点。可以预见，未来数学家与AI智能体的协作将成为常态，共同挑战那些单靠人类或机器都难以独立完成的深邃难题。
参考资料
1，Human-ai Interactive Theorem Proving Enables Scientific Discovery And Preserves Mathematical Rigor
2，Sharp Bound for the Erdős--Straus Non-averaging Set Problem - Geometric and Functional Analysis
https://link.springer.com/article/10.1007/s00039-025-00728-8
3，极目新闻------34岁数学家王虹在香港大学开讲座，现场用流利英语讲"挂谷猜想"，旁听学生：连过道都站满了人
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