二叉树中两个指定节点的最近公共祖先

在二叉树中，两个节点的最近公共祖先（LCA）是指同时是这两个节点的祖先的最低节点（即深度最大的共同祖先）。例如，给定一个二叉树，节点A和节点B的LCA是树中第一个同时包含A和B在其子树中的节点。这个问题可以通过递归遍历树来解决，核心思想是利用后序遍历来检查节点之间的关系。

解题思路

递归方法：从根节点开始，递归地遍历左子树和右子树。如果当前节点是其中一个目标节点（p或q），则返回该节点；如果在左子树和右子树中都找到了目标节点，则当前节点就是LCA；否则，返回非null的子节点结果。
关键点：算法基于后序遍历（左-右-根），因为它需要先处理子树，再处理根节点，从而自底向上地确定LCA。
边界条件：如果树为空或目标节点不存在，返回null；如果目标节点是根节点，则根节点就是LCA。

算法流程

基本检查 ：
- 如果当前节点为null，返回null。
- 如果当前节点是p或q中的一个，返回当前节点（表示找到了一个目标节点）。
递归遍历 ：
- 递归地在左子树中查找p和q。
- 递归地在右子树中查找p和q。
结果合并 ：
- 如果左子树和右子树的递归结果都非null，表示当前节点是LCA（因为p和q分布在左右子树中）。
- 如果只有左子树结果非null，返回左子树结果（表示LCA在左子树中）。
- 如果只有右子树结果非null，返回右子树结果（表示LCA在右子树中）。
- 如果都null，返回null（表示未找到）。

该算法的时间复杂度为O(n)，其中n是树中的节点数，因为每个节点被访问一次。空间复杂度为O(h)，其中h是树的高度，主要用于递归栈。

Java实现

以下是Java代码实现。假设树节点定义为TreeNode类，包含值、左子节点和右子节点。

java 复制代码

class TreeNode {
    int val;
    TreeNode left;
    TreeNode right;
    TreeNode(int x) { val = x; }
}

public class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        // 边界条件：如果根节点为空，或根节点就是p或q，直接返回根节点
        if (root == null || root == p || root == q) {
            return root;
        }
        
        // 递归遍历左子树和右子树
        TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
        TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
        
        // 如果左右子树都非null，当前节点是LCA
        if (left != null && right != null) {
            return root;
        }
        // 否则，返回非null的子节点结果
        return left != null ? left : right;
    }
}

C语言实现

在C语言中，我们定义树节点结构体，并实现递归函数。注意内存管理。

c 复制代码

#include <stdlib.h>

struct TreeNode {
    int val;
    struct TreeNode *left;
    struct TreeNode *right;
};

struct TreeNode* lowestCommonAncestor(struct TreeNode* root, struct TreeNode* p, struct TreeNode* q) {
    // 边界条件：如果根节点为空，或根节点就是p或q，直接返回根节点
    if (root == NULL || root == p || root == q) {
        return root;
    }
    
    // 递归遍历左子树和右子树
    struct TreeNode* left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
    struct TreeNode* right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
    
    // 如果左右子树都非null，当前节点是LCA
    if (left != NULL && right != NULL) {
        return root;
    }
    // 否则，返回非null的子节点结果
    return left != NULL ? left : right;
}

代码解释

递归过程：函数从根节点开始，先检查当前节点是否为目标节点。如果不是，则递归地在左子树和右子树中查找。
结果处理：递归返回后，如果左右子树都有结果（即非null），则当前节点是LCA；否则，返回有结果的子树（表示LCA在该子树中）。
正确性：算法保证了当p和q分布在当前节点的左右子树时，当前节点是LCA；如果p和q在同一个子树中，则递归返回该子树的结果。
测试建议：在实际使用中，确保p和q在树中存在；可以通过构建二叉树并调用函数验证。