克拉克变换
克拉克变换是一种将三相静止坐标系（a，b，c）中的交流信号转换成两相静止坐标系（α, β）正交信号的坐标变换方法，主要用于简化三相系统的控制与分析，尤其在电机矢量控制（FOC）中实现解耦。
在理想的三相三线制系统中，三相电流 ia, ib, ic满足基尔霍夫电流定律，流入节点的电流和流出节点的电流始终为0：
得到方程一：ia+ib+ic=0
我们的目标是在二维平面上构建一个正交坐标系，以唯一地表示三相系统：
- 确定α轴：通常将α轴与A相轴线重合，即满足 iα=k⋅ia，
- 确定β轴：β轴应超前α轴90度，形成一个正交的二维平面。
根据矢量投影：
矢量 a 在矢量 b 方向上的标量投影公式为，
得到方程二：矢量投影=∣a∣cosθ
则针对上图我们可以得出：
再根据诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 ，得出克拉克变换基本形式 ，记为方程组三：
结合方程三和方程一，我们化简一下其基本形式得到方程四：
此时我们已经推导出了克拉克的基本形式方程，但这里有个问题:
我们根据能量守恒，转换后的二维坐标和原来的三维坐标的模要相等，也就是电流总大小要相等
根据模的运算，我们假设Ia相给的电流为1A，结合方程一，为了简化计算，我们假设 B 相和 C 相的电流大小相等（这是三相系统平衡状态的基础），则Ib=Ic=-0.5A，结合矢量模和方程四，我们得到就发现两个矢量不相同，所以对方程四两边同时乘与2/3，就得到了克拉克变换的等幅值正变换 。记为方程五：
结合方程一和方程五，就可以得到克拉克变换的逆变换 ，记为方程六：
帕克变换
帕克变换的主要目的是将定子的a、b、c三相电流投影到随着转子旋转的直轴（d轴）、交轴（q轴）与垂直于dq平面的零轴（0轴）上，转子在电机控制过程中是不断旋转的，为了进一步描述转自和定子的位置关系（如下图），结合克拉克变换，把α-β轴投影·到D-Q轴上既可以得出
将D轴和Q轴的投影到α-β轴上，我们就得到了帕克变换正变换形式，即
将α-β轴投影到DP轴就得到了帕克变换的逆变换：
