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文章目录
- [1. AVL的概念](#1. AVL的概念)
- 2.AVL树的实现
- 2.1AVL树的结构
- [2.2 AVL树的插入](#2.2 AVL树的插入)
- [2.2.1 AVL树插入一个值的大概过程](#2.2.1 AVL树插入一个值的大概过程)
- [2.2.2 平衡因子更新](#2.2.2 平衡因子更新)
- [2.3 旋转](#2.3 旋转)
- [2.3.1 旋转的原则](#2.3.1 旋转的原则)
- [2.3.2 右单旋](#2.3.2 右单旋)
- [2.3.3 左单旋](#2.3.3 左单旋)
- [2.3.4 左右双旋](#2.3.4 左右双旋)
- [2.3.5 右左双旋](#2.3.5 右左双旋)
- [2.3.6 平衡因子更新表格&&插入完整代码](#2.3.6 平衡因子更新表格&&插入完整代码)
- [2.4 AVL树平衡检测](#2.4 AVL树平衡检测)
- [2.5 AVL树的高度和节点个数](#2.5 AVL树的高度和节点个数)
- [2.6 AVL树的查找](#2.6 AVL树的查找)
- [3 AVL树的完整代码&&AVL树的删除](#3 AVL树的完整代码&&AVL树的删除)
1. AVL的概念
- AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树，AVL是一颗空树，或者具备下列性质的二叉搜索树：它的左右子树都是AVL树，且左右子树的高度差的绝对值不超过1。AVL树是一颗高度平衡搜索二叉树，通过控制高度差去控制平衡。
- AVL树得名于它的发明者
G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它。 - AVL树实现这里我们引入一个平衡因子 (balance factor)的概念，每个结点都有一个平衡因子 ，任何结点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度 ，也就是说任何结点的平衡因子等于
0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因子 ，但是有了平衡因子可以更方便我们去进行观察和控制树是否平衡，就像一个风向标一样。 - 思考一下为什么AVL树是高度平衡搜索二叉树，要求高度差不超过1，而不是高度差是0呢？0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，而是有些情况是做不到高度差是0的。比如一棵树是2个结点，4个结点等情况下，高度差最好就是1，无法做到高度差是0
- AVL树整体结点数量和分布和完全二叉树类似，高度可以控制在 l o g N logN logN，那么增删查改的效率也可以控制在 O ( l o g N ) O(logN) O(logN)，相比二叉搜索树有了本质的提升。
2.AVL树的实现
2.1AVL树的结构
cpp
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
// 存储键值对（类似 map / multimap）
pair<K, V> _kv;
// 左右子节点指针
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
// 父节点指针（非常重要！用于向上回溯更新平衡因子）
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
// 平衡因子（Balance Factor）：定义为 right_height - left_height
// AVL 树要求每个节点的 _bf ∈ {-1, 0, 1}
int _bf;
// 构造函数：初始化键值对和所有指针为 nullptr，平衡因子为 0
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
: _kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _bf(0)
{}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{
// 类型别名，简化书写
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
private:
// 根节点指针，初始为空
Node* _root = nullptr;
};2.2 AVL树的插入
2.2.1 AVL树插入一个值的大概过程
- 插入一个值按二叉搜索树规则进行插入。
cpp
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
}- 新增结点以后，只会影响祖先结点的高度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因子，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因子，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停止了，具体情况我们下面再详细分析。
- 更新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束。
- 更新平衡因子过程中出现不平衡，对不平衡子树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了子树的高度，不会再影响上一层，所以插入结束。
2.2.2 平衡因子更新
更新原则：
-
平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度
-
只有子树高度变化才会影响当前结点平衡因子。
-
插入结点，会增加高度，所以新增结点在 parent 的右子树，parent 的平衡因子++，新增结点在 parent 的左子树，parent 平衡因子--。
if (cur == parent->_right) { parent->_bf++;//右边插入 父节点平衡因子++ } else { parent->_bf--;//左边插入 父节点平衡因子-- } -
parent 所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新。
更新停止条件：
-
更新后 parent 的平衡因子等于 0 ，更新中 parent 的平衡因子变化为
-1->0 或者 1->0，说明更新前 parent 子树一边高一边低，新增的结点插入在低的那边，插入后 parent 所在的子树高度不变，不会影响 parent 的父亲结点的平衡因子，更新结束。if (parent->_bf == 0) { break; } -
更新后 parent 的平衡因子等于 1 或 -1 ，更新前更新中 parent 的平衡因子变化为
0->1 或者 0->-1，说明更新前 parent 子树两边一样高，新增的插入结点后，parent 所在的子树一边高一边低，parent 所在的子树符合平衡要求，但是高度增加了 1，会影响 parent 的父亲结点的平衡因子，所以要继续向上更新。else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
// 继续往上更新
cur = parent;
parent = parent->_parent;
} -
更新后 parent 的平衡因子等于 2 或 -2 ，更新前更新中 parent 的平衡因子变化为
1->2 或者 -1->-2，说明更新前 parent 子树一边高一边低，新增的插入结点在高的那边，parent 所在的子树高的那边更高了，破坏了平衡，parent 所在的子树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的目标有两个：1、把 parent 子树旋转平衡。2、降低 parent 子树的高度，恢复到插入结点以前的高度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插入结束。// 如果 parent 的平衡因子为 2 或 -2，说明以 parent 为根的子树已失衡，必须旋转
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
//旋转详解见旋转章节
// 情况 1：LL 型失衡（左子树过高，且插入发生在左孩子的左侧）
// 条件：parent 左倾严重（_bf = -2），且 cur（parent 的左孩子）也左倾（_bf = -1）
if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent); // 右单旋（Right Rotation）
}
// 情况 2：RR 型失衡（右子树过高，且插入发生在右孩子的右侧）
// 条件：parent 右倾严重（_bf = 2），且 cur（parent 的右孩子）也右倾（_bf = 1）
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent); // 左单旋（Left Rotation）
}
// 情况 3：LR 型失衡（左子树过高，但插入发生在左孩子的右侧）
// 条件：parent 左倾严重（_bf = -2），但 cur（parent 的左孩子）右倾（_bf = 1）
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent); // 先对 cur 左旋，再对 parent 右旋（左右双旋）
}
// 情况 4：RL 型失衡（右子树过高，但插入发生在右孩子的左侧）
// 条件：parent 右倾严重（_bf = 2），但 cur（parent 的右孩子）左倾（_bf = -1）
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent); // 先对 cur 右旋，再对 parent 左旋（右左双旋）
}// ⚠️ 重要：旋转完成后，整棵子树高度恢复至插入前， // 不会影响 parent 的祖先节点，因此可直接 break 结束更新}
-
不断更新，更新到根，根的平衡因子是 1 或 -1 也停止了。
while (parent) { ... }
2.3 旋转
2.3.1 旋转的原则
- 保持搜索树的规则
- 让旋转的树从不满足变平衡，其次降低旋转树的高度
旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。
2.3.2 右单旋
- 下图1 展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树，是一种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2/图3/图4/图5进行了详细描述。
（图1 ⬆️）
- 在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从
h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平衡因子从-1变成-2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太高了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。- 旋转核心步骤，因为5 < b子树的值 < 10，将b变成10的左子树 ，10变成5的右子树 ，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原则。如果插入之前10整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。
cpp
// 右单旋（Right Rotation）------ 用于处理 LL 型失衡（左子树过高）
// parent：失衡的父节点（即平衡因子为 -2 的节点）
void RoteR(Node* parent)
{
// 1. 获取 parent 的左孩子（subL），它将成为新的子树根
Node* subL = parent->_left;
// 2. 获取 subL 的右子树（subLR）
// 这部分子树的值满足：subL->val < subLR->val < parent->val
// 旋转后，它将被挂到 parent 的左边
Node* subLR = subL->_right;
// 3. 将 subLR 作为 parent 的新左子树
parent->_left = subLR;
// 4. 如果 subLR 不为空，更新其父指针指向 parent
// （避免悬空指针，维护双向链接）
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
// 5. 保存 parent 的父节点（parentParent）
// 因为旋转后，subL 会取代 parent 的位置，
// 需要将 parentParent 与 subL 连接起来
Node* parentParent = parent->_parent;
// 6. 将 parent 作为 subL 的右孩子
// （因为 parent > subL，符合 BST 性质）
subL->_right = parent;
// 7. 更新 parent 的父指针，指向新的父节点 subL
parent->_parent = subL;
// 8. 判断 parent 是否是整棵树的根节点
if (parent == _root)
{
// 9. 如果是根，则新的根变为 subL
_root = subL;
// 10. 根节点的父指针设为 nullptr
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
// 11. 如果不是根，说明是在局部子树中旋转
// 需要把 parentParent 和 subL 连接起来
// 12. 判断 parent 原来是 parentParent 的左孩子还是右孩子
if (parentParent->_left == parent)
{
// 13. 如果是左孩子，现在让 subL 接替它的位置
parentParent->_left = subL;
}
else
{
// 14. 如果是右孩子，同样让 subL 接替
parentParent->_right = subL;
}
// 15. 更新 subL 的父指针，指向 parentParent
subL->_parent = parentParent;
}
// 16. 更新平衡因子（bf）
// 右单旋后，parent 和 subL 所在子树高度恢复平衡
// 且它们的左右子树高度相等 → bf = 0
// （此结论适用于标准 LL 型插入场景）
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
}（图2 ⬆️）
（图3 ⬆️）
（图4 ⬆️）
(图5 ⬆️)
2.3.3 左单旋
- 图6展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树（h>=0），a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树，是一种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上面左旋类似。
(图6 ⬆️)
- 在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平衡因子从1变成2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太高了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。
- 旋转核心步骤，因为10 < b子树的值 < 15，将b变成10的右子树，10变成15的左子树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原则。如果插入之前10整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。
cpp
void RotateL(Node* parent)
{
// 1. 获取 parent 的右孩子 subR（即将成为新的根节点）
Node* subR = parent->_right;
// 2. 获取 subR 的左子树 subRL（旋转后将挂在 parent 右侧）
Node* subRL = subR->_left;
// 3. 将 subRL 挂到 parent 的右侧
parent->_right = subRL;
// 4. 如果 subRL 非空，则更新其父指针指向 parent
if (subRL) {
subRL->_parent = parent;
}
// 5. 记录 parent 的父节点 parentParent，用于后续调整
Node* parentParent = parent->_parent;
// 6. 将 parent 作为 subR 的左孩子
subR->_left = parent;
// 7. 更新 parent 的父指针指向 subR
parent->_parent = subR;
// 8. 判断 parent 是否为根节点
if (parent == _root) {
// 9. 若是根节点，则更新根节点为 subR，并设置 subR 的父指针为空
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
} else {
// 10. 如果不是根节点，则根据 parent 是 parentParent 的左或右孩子进行相应调整
if (parentParent->_left == parent) {
// 11. 如果 parent 是左孩子，则让 subR 接替它的位置
parentParent->_left = subR;
} else {
// 12. 如果 parent 是右孩子，则同样让 subR 接替
parentParent->_right = subR;
}
// 13. 更新 subR 的父指针指向 parentParent
subR->_parent = parentParent;
}
// 14. 重置平衡因子 bf
// 对于 RR 型失衡，旋转后 parent 和 subR 的 bf 都应为 0
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}2.3.4 左右双旋
通过图7和图8 可以看到，左边高时，如果插入位置不是在a子树，而是插入在b子树，b子树高度从h变成h+1，引发旋转，右单旋无法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边高，但是插入在b子树中，10为跟的子树不再是单纯的左边高，对于10是左边高，但是对于5是右边高，需要用两次旋转才能解决，以5为旋转点进行一个左单旋，以10为旋转点进行一个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。
(图7 ⬆️)
（图8 ⬆️）
图7和图8 分别为左右双旋中h等于0和h等于具体场景分析 ，下面我们将a/b/c子树抽象为高度h的AVL子树进行分析，另外我们需要把b子树的细节进一步展开为8和左子树高度为h-1的e和f子树，因为我们要对b的父亲5为旋转点进行左单旋，左单旋需要动b树中的左子树。b子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察8的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论。
场景1: h >= 1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为-1，旋转后8和5平衡因子为0，10平衡因子为1。
场景2: h >= 1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为1，旋转后8和10平衡因子为0，5平衡因子为-1。
场景3: h == 0时，a/b/c都是空树，b自己就是一个新增结点，不断更新5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为0，旋转后8和10和5平衡因子均为0。
cpp
// LR 双旋：处理 parent 左子树过高，但"高"的部分在其左孩子的右子树中（即 LR 型失衡）
// 典型场景：parent->_bf == -2 且 parent->_left->_bf == 1
void RotateLR(Node* parent)
{
// 1. 获取 parent 的左孩子（subL）
Node* subL = parent->_left;
// 2. 获取 subL 的右孩子（subLR）------ 这是实际插入新节点导致失衡的位置
Node* subLR = subL->_right;
// 3. ⚠️ 关键！记录 subLR 原始的平衡因子
// 因为后续两次单旋会修改 _bf，但最终 bf 更新依赖于插入前 subLR 的状态
int bf = subLR->_bf;
// 4. 第一步：对 subL 执行左单旋（将 LR 转为 LL 型）
RotateL(subL);
// 5. 第二步：对 parent 执行右单旋（解决 LL 型失衡）
RotateR(parent);
// 6. 根据 subLR 原始的 bf，分情况更新三个节点的平衡因子
// （注意：此时 subLR 已成为新子树的根，subL 和 parent 成为其左右孩子）
if (bf == 0)
{
// 情况1：subLR 本身是叶子或左右子树等高（插入前高度一致）
// → 旋转后三者都平衡
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
// 情况2：subLR 的右子树更高（插入发生在 subLR->right）
// → 旋转后：
// - subL 的左子树比右子树低1层 → bf = -1
// - parent 两侧等高 → bf = 0
// - subLR 平衡 → bf = 0
subL->_bf = -1;
parent->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
// 情况3：subLR 的左子树更高（插入发生在 subLR->left）
// → 旋转后：
// - subL 平衡 → bf = 0
// - parent 的右子树比左子树高1层 → bf = 1
// - subLR 平衡 → bf = 0
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
subLR->_bf = 0;
}
// 📌 注意：bf 只可能是 -1, 0, 1（AVL 性质保证），无需处理其他值
}2.3.5 右左双旋
- 跟左右双旋类似，下面我们把 a/b/c 树抽象为高度 h 的 AVL 子树进行分析，另外我们需要把 b 子树的细节进一步展开为 12 和左子树高度为 h-1 的 e 和 f 子树，因为我们要对 b 的父亲 15 为旋转点进行右单旋，右单旋需要动 b 树中的右子树。b 子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察 12 的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论。
- 场景1：h >= 1 时，新增结点插入在 e 子树，e 子树高度从 h-1 变为 h 并不断更新 12->15->10 平衡因子，引发旋转，其中 12 的平衡因子为 -1，旋转后 10 和 12 平衡因子为 0，15 平衡因子为 1。
- 场景2：h >= 1 时，新增结点插入在 f 子树，f 子树高度从 h-1 变为 h 并不断更新 12->15->10 平衡因子，引发旋转，其中 12 的平衡因子为 1，旋转后 15 和 12 平衡因子为 0，10 平衡因子为 -1。
- 场景3：h == 0 时，a/b/c 都是空树，b 自己就是一个新增结点，不断更新 15->10 平衡因子，引发旋转，其中 12 的平衡因子为 0，旋转后 10 和 12 和 15 平衡因子均为 0。
cpp
// RL 双旋：处理 RL 型失衡（右子树的左子树过高）
// 触发条件：parent->_bf == 2 且 parent->_right->_bf == -1
void RotateRL(Node* parent)
{
// 1. 获取 parent 的右孩子 subR（失衡发生在它的左子树）
Node* subR = parent->_right;
// 2. 获取 subR 的左孩子 subRL ------ 这是实际导致失衡的"高"子树根节点
Node* subRL = subR->_left;
// 3. ⚠️ 关键：提前保存 subRL 的原始平衡因子
// 因为后续两次单旋会修改 _bf，但最终 bf 更新依赖于插入前的状态
int bf = subRL->_bf;
// 4. 第一步：对 subR 执行右单旋（RotateR）
// 目的：将 RL 结构（右-左）转化为 RR 结构（右-右）
// 旋转后，subRL 成为 subR 所在子树的新根
RotateR(subR);
// 5. 第二步：对 parent 执行左单旋（RotateL）
// 目的：解决转化后的 RR 型失衡
// 旋转后，subRL 成为整个局部子树的新根，
// parent 成为其左孩子，subR 成为其右孩子
RotateL(parent);
// 6. 根据 subRL 原始的平衡因子 bf，分三种情况更新平衡因子
// （注意：此时 parent、subR、subRL 的父子关系已由两次旋转重新建立）
if (bf == 0)
{
// 场景1：subRL 本身是新插入的叶子节点（左右子树均为空）
// → 旋转后三者子树高度完全平衡
subR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
// 场景2：新节点插入在 subRL 的右子树（subRL->_right）
// → 旋转后：
// - parent 的左子树比右子树低一层 → parent->_bf = -1
// - subR 左右子树等高 → subR->_bf = 0
// - subRL 作为新根，左右子树高度一致 → subRL->_bf = 0
subR->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
// 场景3：新节点插入在 subRL 的左子树（subRL->_left）
// → 旋转后：
// - parent 左右子树等高 → parent->_bf = 0
// - subR 的右子树比左子树高一层 → subR->_bf = 1
// - subRL 作为新根，平衡 → subRL->_bf = 0
subR->_bf = 1;
parent->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
// 📌 注意：AVL 树中 bf 只可能为 -1, 0, 1，无需处理其他值
}2.3.6 平衡因子更新表格&&插入完整代码
| 旋转类型 | 失衡类型 | 触发条件（parent 与 child 的 _bf） |
关键节点说明 | subXx 原始 _bf |
插入位置 | 旋转后 _bf 值（更新结果） |
|---|---|---|---|---|---|---|
| RotateR | LL | parent._bf == -2 child = parent->_left child._bf == -1 |
subL = parent->_left |
--- | subL 的左子树 |
parent._bf = 0 subL._bf = 0 |
| RotateL | RR | parent._bf == 2 child = parent->_right child._bf == 1 |
subR = parent->_right |
--- | subR 的右子树 |
parent._bf = 0 subR._bf = 0 |
| RotateLR | LR | parent._bf == -2 child = parent->_left child._bf == 1 |
subL = parent->_left subLR = subL->_right |
0 | subLR 本身（叶子） |
parent._bf = 0 subL._bf = 0 subLR._bf = 0 |
| 1 | subLR->_right |
parent._bf = 0 subL._bf = -1 subLR._bf = 0 |
||||
| -1 | subLR->_left |
parent._bf = 1 subL._bf = 0 subLR._bf = 0 |
||||
| RotateRL | RL | parent._bf == 2 child = parent->_right child._bf == -1 |
subR = parent->_right subRL = subR->_left |
0 | subRL 本身（叶子） |
parent._bf = 0 subR._bf = 0 subRL._bf = 0 |
| 1 | subRL->_right |
parent._bf = -1 subR._bf = 0 subRL._bf = 0 |
||||
| -1 | subRL->_left |
parent._bf = 0 subR._bf = 1 subRL._bf = 0 |
cpp
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
cur->_bf = 0;
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
while (parent)
{
if (cur == parent->_right)
{
parent->_bf++;//右边插入 父节点平衡因子++
}
else
{
parent->_bf--;//左边插入 父节点平衡因子--
}
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
// 继续往上更新
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
// 旋转处理
if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);
}
else
{
assert(false);
}
break;
}
else
{
// 插入之前这棵树就有2/-2 bf的节点，这棵树之前就不是AVL树
assert(false);
}
}
return true;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout<<endl;
}
private:
void RotateR(Node* parent)
{
//结合图1 看代码 不然脑子一团浆糊
Node* subL =parent->_left;
Node* subLR =subL->_right;
parent->_left = subLR;
//注意 subLR可能为空
if(subLR)
subLR->_parent=parent;
//如果调整的是局部子树 所以最好纪录下parent的parent
Node* parentParent = parent->_parent;
subL->_right=parent;
parent->_parent=subL;
//如果parent是根节点
if (parent == _root)
{
_root=subL;
subL->_parent=nullptr;
}
else
{
// 如果调整的是局部子树
if(parentParent->_left==parent)
{
parentParent->_left=subL;
}
else
{
parentParent->_right=subL;
}
subL->_parent=parentParent;
}
parent->_bf =subL->_bf=0;
}
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR=parent->_right;
Node* subRL=subR->_left;
parent->_right=subRL;
//防止subRL为空
if (subRL)
subRL->_parent=parent;
Node* parentParent=parent->_parent;
subR->_left=parent;
parent->_parent=subR;
if (parent==_root)
{
_root=subR;
}
else
{
// 如果调整的是局部子树
if(parentParent->_left==parent)
{
parentParent->_left=subR;
}
else
{
parentParent->_right=subR;
}
subR->_parent=parentParent;
}
parent->_bf =subR->_bf=0;
}
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR= subL->_right;
//因为单旋回修改平衡因子 所以要提前纪录 其实难的不是旋转本身 而是后面要分清楚平衡因子的调节
int bf=subLR->_bf;
RotateL(subL);
RotateR(parent);
if (bf == 0)
{
subL->_bf=parent->_bf=subLR->_bf=0;
}
else if(bf == 1)
{
subL->_bf=-1;
parent->_bf=0;
subLR->_bf=0;
}
else if (bf == -1)
{
subL->_bf=0;
parent->_bf=1;
subLR->_bf=0;
}
}
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL= subR->_left;
//因为单旋回修改平衡因子 所以要提前纪录 其实难的不是旋转本身 而是后面要分清楚平衡因子的调节
int bf=subRL->_bf;
RotateR(subR);
RotateL(parent);
if (bf == 0)
{
subR->_bf=parent->_bf=subRL->_bf=0;
}
else if(bf == 1)
{
subR->_bf=0;
parent->_bf=-1;
subRL->_bf=0;
}
else if (bf == -1)
{
subR->_bf=1;
parent->_bf=0;
subRL->_bf=0;
}
}2.4 AVL树平衡检测
我们实现的AVL树是否合格，我们通过检查左右子树高度差的程序进行反向验证，同时检查一下结点的平衡因子更新是否出现了问题。
cpp
// 公共接口：检查整棵树是否为合法的 AVL 树
bool IsBalanceTree()
{
return _IsBalanceTree(_root); // 从根节点开始递归校验
}
private:
// 辅助函数：计算以 root 为根的子树的高度
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0; // 空树高度为 0
int leftHeight = _Height(root->_left); // 递归求左子树高度
int rightHeight = _Height(root->_right); // 递归求右子树高度
// 返回较高子树的高度 + 1（当前节点）
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
// 核心校验函数：递归检查每个节点是否满足 AVL 性质
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return true; // 空树视为平衡
// 1. 计算左右子树的实际高度
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
// 2. 根据实际高度计算真实的平衡因子（定义：右高 - 左高）
int bf = rightHeight - leftHeight;
// 3. 检查两个关键条件：
// a) 平衡因子绝对值是否 ≥ 2（失衡）
// b) 节点存储的 _bf 是否与实际计算的 bf 一致（更新错误）
if (abs(bf) >= 2 || bf != root->_bf)
{
// 若任一条件失败，打印出错节点的 key（假设 _kv 是 pair 类型）
cout << root->_kv.first << " 平衡因子异常" << endl;
return false;
}
// 4. 递归检查左右子树是否也满足 AVL 性质
return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}2.5 AVL树的高度和节点个数
cpp
// 公共接口：获取整棵树的高度
int Height()
{
return _Height(_root); // 从根节点开始计算高度
}
// 公共接口：获取整棵树的节点总数
int Size()
{
return _Size(_root); // 从根节点开始统计节点数
}
private:
// 递归计算以 root 为根的子树中节点的总个数
int _Size(Node* root)
{
// 若当前节点为空，返回 0；
// 否则，返回左子树节点数 + 右子树节点数 + 当前节点（1）
return root == nullptr ? 0 : _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
}
// 递归计算以 root 为根的子树的高度
// 树的高度定义为：从根到最远叶子节点的最长路径上的边数 + 1（即节点层数）
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return 0; // 空树高度为 0
}
// 递归获取左右子树的高度
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
// 返回较高的子树高度 + 1（加上当前节点所在层）
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}✅ 功能总结
| 函数 | 作用 | 时间复杂度 | 说明 |
|---|---|---|---|
Size() |
返回 AVL 树中节点总数 | O(n) | 遍历所有节点一次 |
Height() |
返回 AVL 树的高度（层数） | O(n) | 递归求最大深度 |
📌 高度定义说明 ：
此处采用 "节点层数" 定义（空树高度为 0，单节点树高度为 1），这是数据结构中的常见约定，与 AVL 平衡因子计算一致。
2.6 AVL树的查找
cpp
// 在 AVL 树中根据 key 查找对应的节点
// 返回指向键值对为 key 的节点指针；若未找到，返回 nullptr
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root; // 从根节点开始查找
// 沿着 BST 的搜索路径向下遍历，直到找到目标或到达空指针
while (cur)
{
// 如果当前节点的 key 小于目标 key，说明目标在右子树
if (cur->_kv.first < key)
{
cur = cur->_right;
}
// 如果当前节点的 key 大于目标 key，说明目标在左子树
else if (cur->_kv.first > key)
{
cur = cur->_left;
}
// 相等：找到目标节点，直接返回
else
{
return cur;
}
}
// 循环结束说明未找到，返回 nullptr
return nullptr;
}3 AVL树的完整代码&&AVL树的删除
AVL树完整代码因篇幅原因请进入我的码云自行下载 AVL树的删除可以参考 殷人昆老师的数据结构树 树的PDF和完整代码都传入了码云 点此转跳