剑指offer-63、数据流中的中位数

题⽬描述

如何得到⼀个数据流中的中位数？如果从数据流中读出奇数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后位于中间的数值。如果从数据流中读出偶数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后中间两个数的平均值。我们使⽤ Insert() ⽅法读取数据流，使⽤ GetMedian() ⽅法获取当前读取数据的中位数。

思路及解答

排序列表法

维护一个列表，每次获取中位数前进行排序

java 复制代码

import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;
import java.util.List;

public class MedianFinder1 {
    private List<Integer> data;
    
    public MedianFinder1() {
        data = new ArrayList<>();
    }
    
    // 插入数字到数据流
    public void Insert(Integer num) {
        data.add(num);
        // 每次插入后排序，保持列表有序
        Collections.sort(data);
    }
    
    // 获取当前数据流的中位数
    public Double GetMedian() {
        int size = data.size();
        if (size == 0) return 0.0;
        
        if (size % 2 == 1) {
            // 奇数个元素，返回中间值
            return (double) data.get(size / 2);
        } else {
            // 偶数个元素，返回中间两个数的平均值
            int mid = size / 2;
            return (data.get(mid - 1) + data.get(mid)) / 2.0;
        }
    }
}

插入操作：每次插入需要排序，时间复杂度O(n log n)
获取中位数：直接通过索引访问，时间复杂度O(1)
空间复杂度：O(n)，需要存储所有数据

插入排序法

在方法一基础上优化，在插入时就找到正确位置，避免每次都完整排序。同时利用二分查找找到插入位置，减少排序开销

java 复制代码

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class MedianFinder2 {
    private List<Integer> data;
    
    public MedianFinder2() {
        data = new ArrayList<>();
    }
    
    public void Insert(Integer num) {
        // 使用二分查找找到合适的插入位置
        int left = 0, right = data.size() - 1;
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (data.get(mid) < num) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        // 在找到的位置插入元素
        data.add(left, num);
    }
    
    public Double GetMedian() {
        int size = data.size();
        if (size == 0) return 0.0;
        
        if (size % 2 == 1) {
            return (double) data.get(size / 2);
        } else {
            int mid = size / 2;
            return (data.get(mid - 1) + data.get(mid)) / 2.0;
        }
    }
}

插入操作：二分查找O(log n) + 插入操作O(n) = O(n)
获取中位数：O(1)，通过索引直接访问
优化效果：比方法一有明显提升，特别适合部分有序的数据

双堆法

是最高效的解法，利用大顶堆和小顶堆的特性来动态维护中位数，使用大顶堆存较小一半，小顶堆存较大一半

⽤⼀个数字来不断统计数据流中的个数，并且创建⼀个最⼤堆，⼀个最⼩堆

如果插⼊的数字的个数是奇数的时候，让最⼩堆⾥⾯的元素个数⽐最⼤堆的个数多 1 ，这样⼀来中位数就是⼩顶堆的堆顶
如果插⼊的数字的个数是偶数的时候，两个堆的元素保持⼀样多，中位数就是两个堆的堆顶的元素相加除以2 。

java 复制代码

public class Solution {
	private int count = 0;
	private PriorityQueue<Integer> min = new PriorityQueue<Integer>();
	private PriorityQueue<Integer> max = new PriorityQueue<Integer>(new
	
	Comparator<Integer>() {
		public int compare(Integer o1, Integer o2) {
			return o2 - o1;
		}
	});
	
	public void Insert(Integer num) {
		count++;
		if (count % 2 == 1) {
			// 奇数的时候，需要最⼩堆的元素⽐最⼤堆的元素多⼀个。
			// 先放到最⼤堆⾥⾯，然后弹出最⼤的
			max.offer(num);
			// 把最⼤的放进最⼩堆
			min.offer(max.poll());
		} else {
			// 放进最⼩堆
			min.offer(num);
			// 把最⼩的放进最⼤堆
			max.offer(min.poll());
		}
	}
		
	public Double GetMedian() {
		if (count % 2 == 0) {
			return (min.peek() + max.peek()) / 2.0;
		} else {
			return (double) min.peek();
		}
	}
}

插入操作：堆的插入操作O(log n)，平衡操作O(log n)，总体O(log n)
获取中位数：直接访问堆顶元素，O(1)时间复杂度
空间复杂度：O(n)，需要存储所有数据

为什么这种方法有效？

大顶堆 （maxHeap）：存储数据流中较小的一半数字，堆顶是这一半中的最大值
小顶堆 （minHeap）：存储数据流中较大的一半数字，堆顶是这一半中的最小值
平衡维护：确保两个堆的大小相差不超过1，这样中位数就只与两个堆顶有关