2024年9月GESP真题及题解(C++七级): 小杨寻宝

2024年9月GESP真题及题解(C++七级): 小杨寻宝

题目描述

小杨有一棵包含 n n n 个节点的树，树上的一些节点放置有宝物。

小杨可以任意选择一个节点作为起点并在树上移动，但是小杨只能经过每条边至多一次，当小杨经过一条边后，这条边就会消失。小杨每经过一个放置有宝物的节点就会取得该宝物。

小杨想请你帮他判断自己能否成功取得所有宝物。

输入格式

本题单个测试点内有多组测试数据 。输入第一行包含一个正整数 t t t，代表测试用例组数。

接下来是 t t t 组测试用例。对于每组测试用例，一共 n + 1 n+1 n+1 行。

第一行包含一个正整数 n n n，代表树的节点数。

第二行包含 n n n 个非负整数 a 1 , a 2 , ... a n a_1, a_2, \dots a_n a1,a2,...an，其中如果 a i = 1 a_i = 1 ai=1，则节点 i i i 放置有宝物；若 a i = 0 a_i = 0 ai=0，则节点 i i i 没有宝物。

之后 n − 1 n - 1 n−1 行，每行包含两个正整数 x i , y i x_i, y_i xi,yi，代表存在一条连接节点 x i x_i xi 和 y i y_i yi 的边。

输出格式

对于每组测试数据，如果小杨能成功取得所有宝物，输出 Yes，否则输出 No。

输入输出样例 1

输入 1

2
5
0 1 0 1 0
1 2
1 3
3 4
3 5
5
1 1 1 1 1
1 2
1 3
3 4
3 5

输出 1

Yes
No

说明/提示

样例 1 解释

对于第一组测试用例，小杨从节点 2 2 2 出发，按照 2 − 1 − 3 − 4 2-1-3-4 2−1−3−4 的顺序即可成功取得所有宝物。

数据规模与约定

子任务编号	数据点占比	t t t	n n n
1 1 1	20 % 20\% 20%	≤ 10 \leq 10 ≤10	≤ 5 \leq 5 ≤5
2 2 2	20 % 20\% 20%	≤ 10 \leq 10 ≤10	≤ 10 3 \leq 10^3 ≤103
3 3 3	60 % 60\% 60%	≤ 10 \leq 10 ≤10	≤ 10 5 \leq 10^5 ≤105

对全部的测试点，保证 1 ≤ t ≤ 10 1 \leq t \leq 10 1≤t≤10， 1 ≤ n ≤ 10 5 1 \leq n \leq 10^5 1≤n≤105， 0 ≤ a i ≤ 1 0 \leq a_i \leq 1 0≤ai≤1，且保证树上至少有一个点放置有宝物。

思路分析

问题本质

这道题的核心是判断树中所有宝物节点是否在一条简单路径上。

关键理解

1. 移动限制：每条边只能走一次，这意味着路径不能有分支，必须是简单路径
2. 需要遍历所有宝物节点：但路径必须是线性的
3. 结论：能成功取得所有宝物 ⇔ 所有宝物节点在一条简单路径上

解决方案

1. 找到宝物节点的直径：

   • 任意选择一个宝物节点作为起点
   • 找到距离该节点最远的宝物节点 u
   • 从 u 出发，找到距离 u 最远的宝物节点 v
   • u 和 v 之间的路径就是宝物节点的直径

2. 检查所有宝物节点是否在路径 u-v 上：

   • 对于任意节点 i，如果它位于路径 u-v 上，则满足：
     • dist(u,i) + dist(i,v) = dist(u,v)
   • 因此只需要检查每个宝物节点是否满足这个条件

算法步骤

1. 建树（邻接表）
2. 找到任意一个宝物节点作为起点
3. 两次DFS求宝物节点的直径端点 u 和 v
4. 检查所有宝物节点是否在路径 u-v 上

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;  // 最大节点数

// 邻接表存储树
vector<int> g[N];
// a[]: 记录每个节点是否有宝物
// d1[]: 记录从节点u到其他节点的距离
// d2[]: 记录从节点v到其他节点的距离
int a[N], d1[N], d2[N];
int n;          // 节点数
int u, v;       // 宝物节点直径的两个端点
int mx;         // 记录当前搜索中的最远距离

/* DFS计算距离
 * u 当前节点
 * fa 父节点（避免回环）
 * dist 从起点到当前节点的距离
 * d[] 距离数组，记录从起点到每个节点的距离
 * 
 * 同时更新最远的宝物节点
 */
void dfs(int u, int fa, int dist, int d[]) {
    d[u] = dist;  // 记录距离
    
    // 如果当前节点有宝物，且距离比当前最远距离更大
    if (a[u] && dist > mx) {
        mx = dist;  // 更新最远距离
        v = u;      // 记录最远节点（参数v是全局变量，会被修改）
    }
    
    // 遍历所有邻居节点
    for (int x : g[u]) {
        if (x != fa) {  // 避免回到父节点
            dfs(x, u, dist + 1, d);
        }
    }
}

//solve函数：处理单个测试用例
void solve() {
    cin >> n;
    
    // 初始化：清空邻接表，读取宝物信息
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        g[i].clear();
    }
    
    // 建立树的邻接表
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        g[x].push_back(y);
        g[y].push_back(x);
    }
    
    // 找到第一个宝物节点作为起点
    int s = 1;
    while (s <= n && !a[s]) s++;
    // 题目保证至少有一个宝物节点，所以s一定存在
    
    // 第一步：从s出发，找到最远的宝物节点u
    mx = -1;        // 初始化最远距离
    dfs(s, 0, 0, d1);  // 计算从s到所有节点的距离
    u = v;          // v现在是最远的宝物节点
    
    // 第二步：从u出发，找到最远的宝物节点v
    // 此时u-v的路径就是宝物节点的直径
    mx = -1;
    dfs(u, 0, 0, d1);  // 重新计算从u到所有节点的距离，记录在d1中
    int t = v;      // v现在是另一个端点，暂存为t
    
    // 第三步：从t出发，计算到所有节点的距离，记录在d2中
    dfs(t, 0, 0, d2);
    
    // 检查所有宝物节点是否在u-t路径上
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (a[i]) {  // 只检查宝物节点
            // 判断节点i是否在路径u-t上：
            // 如果dist(u,i) + dist(i,t) == dist(u,t)，则i在u-t路径上
            if (d1[i] + d2[i] != d1[t]) {
                cout << "No\n";
                return;
            }
        }
    }
    cout << "Yes\n";
}

int main() {
    // 优化输入输出
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    int T;  // 测试用例组数
    cin >> T;
    while (T--) {
        solve();
    }
    return 0;
}

功能分析

核心算法：树直径法判断共线性

1. 第一次DFS ：从任意宝物节点找到最远的宝物节点 u
2. 第二次DFS ：从 u 找到最远的宝物节点 v，确定宝物节点的直径
3. 第三次DFS ：计算所有节点到 v 的距离
4. 验证 ：检查每个宝物节点是否在 u-v 路径上

关键性质

• 如果所有宝物节点在一条简单路径上，那么这条路径一定是宝物节点形成的"子图"的直径

• 对于树上的三个点 u, i, v，点 i 在 u-v 路径上当且仅当：

  dist(u,i) + dist(i,v) = dist(u,v)

时间复杂度

• 每次DFS: O(n)
• 三次DFS: O(3n) = O(n)
• 总复杂度: O(t*n)，其中t≤10，n≤ 10 5 10^5 105

空间复杂度

• 邻接表: O(n)
• 距离数组: O(n)
• 总复杂度: O(n)

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using namespace std;
int main(){
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