【数论快速指数幂龟速乘】P8652 [蓝桥杯 2017 国 C] 小数第 n 位|普及+

本文涉及知识点

P8652 [蓝桥杯 2017 国 C] 小数第 n 位

题目描述

我们知道，整数做除法时，有时得到有限小数，有时得到无限循环小数。

如果我们把有限小数的末尾加上无限多个 0 0 0，它们就有了统一的形式。

本题的任务是：在上面的约定下，求整数除法小数点后的第 n n n 位开始的 3 3 3 位数。

输入格式

一行三个整数： a a a， b b b， n n n，用空格分开。 a a a 是被除数， b b b 是除数， n n n 是所求的小数后位置（ 0 < a , b , n < 10 9 0<a,b,n<10^9 0<a,b,n<109）

输出格式

一行 3 3 3 位数字，表示： a a a 除以 b b b，小数后第 n n n 位开始的 3 3 3 位数字。

输入输出样例 #1

输入 #1

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1 8 1

输出 #1

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输入输出样例 #2

输入 #2

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1 8 3

输出 #2

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输入输出样例 #3

输入 #3

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282866 999000 6

输出 #3

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说明/提示

时限 1 秒, 256M。蓝桥杯 2017 年第八届国赛

数论快速指数幂龟速乘

a/b的第n位小数。

本题 ⟺ a × 10 n = b x + c \iff a \times 10^n = bx+c ⟺a×10n=bx+c,求x的个位数。

由于n最大1e9，故long long会溢出。

令 x = 10y + z，结果就是z。

如果左式 > 10b。左式子-10b，y--。

故 a × 10 n m o d ( 10 b ) / b a \times 10^n \mod (10b)/b a×10nmod(10b)/b就是答案

用快速指数幂，可以在O(logn)的时间内求出结果。

mod最大1e10，两个1e10相乘long long会溢出。

代码

核心代码

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
	vector<T> ret;
	T tmp;
	while (cin >> tmp) {
		ret.emplace_back(tmp);
		if ('\n' == cin.get()) { break; }
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};

class Solution {
public:
	tuple<int, int, int> Ans(long long a, long long b, long long n) {
		return { f(a,b,n),f(a,b,n + 1),f(a,b,n + 2) };
	}
	long long QuickPow(long long a, long long b, long long mod) {
		long long ret = 1;
		while (b) {
			if (b & 1) {
				ret = SlowMul(ret, a, mod);
				b--;
			}
			else {
				a = SlowMul(a, a, mod);
				b = b / 2;
			}
		}
		return ret;
	}
	long long SlowMul(long long a, long long b, long long mod)
	{
		const long long c = 10000;
		const long long b1 = b / c, b2 = b % c;
		long long t = (a * b1) % mod;
		t = (t * c) % mod;
		return (t + a * b2) % mod;
	}
	int f(long long a, long long b, long long n) {
		const long long i10n = QuickPow(10, n, 10 * b);
		return SlowMul(a, i10n, 10 * b) / b;
	}
};

int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
	//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;	
	long long a, b, n;
	cin >> a >> b >> n;
#ifdef _DEBUG		
		//printf("N=%d,W=%d,H=%d", N,W,H);
		//Out(cc, ",cc=");
		//Out(rr, ",rr=");
	   //Out(ab, ",ab=");
	   //Out(par, "par=");
	   //Out(que, "que=");
	   //Out(B, "B=");
#endif // DEBUG	
		auto res = Solution().Ans(a,b,n);
		cout << get<0>(res) << get<1>(res) << get<2>(res) << "\n";
	return 0;
};

单元测试

cpp 复制代码

TEST_METHOD(TestMethod11)
		{	
			auto res = Solution().Ans(1,8,1);
			AssertEx(make_tuple( 1,2,5 ), res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod12)
		{
			auto res = Solution().Ans(1, 8,3);
			AssertEx(make_tuple(5, 0, 0), res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod13)
		{
			auto res = Solution().Ans(282866, 999000 ,6);
			AssertEx(make_tuple(9, 1, 4), res);
		}

单元测试

cpp 复制代码

TEST_METHOD(TestMethod11)
		{	
			auto res = Solution().Ans(1,8,1);
			AssertEx(make_tuple( 1,2,5 ), res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod12)
		{
			auto res = Solution().Ans(1, 8,3);
			AssertEx(make_tuple(5, 0, 0), res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod13)
		{
			auto res = Solution().Ans(282866, 999000 ,6);
			AssertEx(make_tuple(9, 1, 4), res);
		}

扩展阅读

我想对大家说的话
工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。
学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作
有效学习：明确的目标及时的反馈拉伸区（难度合适）专注
闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛
失败+反思=成功成功+反思=成功

视频课程

先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

如无特殊说明，本算法用**C++**实现。

【数论 快速指数幂 龟速乘】P8652 [蓝桥杯 2017 国 C] 小数第 n 位|普及+

本文涉及知识点

P8652 [蓝桥杯 2017 国 C] 小数第 n 位

题目描述

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输入输出样例 #1

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输入输出样例 #2

输入 #2

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输入输出样例 #3

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