一、二维坐标系旋转矩阵
假设平面坐标系Oxqyq逆时针旋转α角后得到坐标系Oxpyp，如下图所示：从Q点分别向ER和OP作垂线，垂足分别为F、P。
图1 平面坐标系旋转关系
从图中可以得到：
写成矩阵形式，矢量r在Oxqyq坐标系中的坐标(xq,yq)与在Oxpyp坐标系中的坐标存在以下几何关系：
记：
Lqp即为Oxqyq坐标系到Oxpyp坐标系转换矩阵，也即大名鼎鼎的Givens旋转矩阵。Givens旋转矩阵有以下重要性质：
1、Givens矩阵为正交矩阵，有以下关系：
2、传递性：
设有三个坐标系Sp ,Sq , S r , 矢量r在这三个坐标系的分量阵可用相应的转换矩阵联系起来，并且Lpr仍为正交矩阵，即：
二、三维坐标系转换矩阵
基于以上平面坐标系的旋转矩阵和旋转矩阵的传递性质，可以利用三维坐标系的单轴旋转矩阵推导出三维坐标系转换矩阵。
2.1 绕z轴旋转的旋转矩阵
假设绕z轴逆时针旋转φ角：得到过渡坐标系x1y1zg。
图4 绕x轴旋转示意
L1g转换矩阵如下：
2.2 绕y轴旋转的旋转矩阵
假设绕y轴逆时针旋转θ角：得到过渡坐标系x2y1z2。
图3 绕y轴旋转示意
L21转换矩阵如下：
2.3 绕x轴旋转的旋转矩阵
假设绕x轴逆时针旋转ψ角：
图2 绕x轴旋转示意
Lb2转换矩阵如下：
应用传递律可得三维坐标系旋转矩阵：
