文章目录
- 一、基础算术运算
- 二、分数、小数与百分数
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- [2.1 分数](#2.1 分数)
- [2.2 小数](#2.2 小数)
- [2.3 百分数](#2.3 百分数)
- 三、代数运算方法
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- [3.1 式子的化简与展开](#3.1 式子的化简与展开)
- [3.2 方程求解](#3.2 方程求解)
- [3.3 消元法](#3.3 消元法)
- 四、进阶运算技巧
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- [4.1 速算与估算](#4.1 速算与估算)
- [4.2 逻辑推理运算](#4.2 逻辑推理运算)
- 五、通用思路
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- [5.1 分类讨论与完全归纳法](#5.1 分类讨论与完全归纳法)
- [5.2 抽屉原理](#5.2 抽屉原理)
- [5.3 逆向思维与倒推法](#5.3 逆向思维与倒推法)
- [5.4 赋值法与特例检验](#5.4 赋值法与特例检验)
- [5.5 图形化与建模法](#5.5 图形化与建模法)
- [5.6 对称与轮换思想](#5.6 对称与轮换思想)
- [5.7 不变量原理](#5.7 不变量原理)
高中数学运算方法，基础逻辑
一、基础算术运算
- 基础：括号=>乘除=加减
- 凑整法：如 97+38 = (100-3)+38 = 100+35
- 分解法：如 25×44 = 25×(40+4) = 1000+100
二、分数、小数与百分数
2.1 分数
- 加减：通分 → 分子相加减 → 约分
- 乘除：分子乘除分子，分母乘除分母（除以分数等于乘其倒数）
- 关键：找最小公倍数（通分）、最大公因数（约分）
2.2 小数
- 加减：对齐小数点
- 乘除：转换为整数计算后重新定位小数点
2.3 百分数
- 换算：百分数 ↔ 小数 ↔ 分数
- 应用：增长率、折扣、浓度问题
三、代数运算方法
3.1 式子的化简与展开
- 分配律：a(b+c) = ab + ac
- 合并同类项：3x+5x = 8x
- 完全平方公式： ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (a+b)2=a2+2ab+b2
- 平方差： ( a + b ) ( a − b ) = a 2 + b 2 (a+b)(a-b)=a^2+b^2 (a+b)(a−b)=a2+b2
3.2 方程求解
- 线性方程：移项、合并、系数化1； 3 x + 7 = x − 1 = > 2 x = > − 8 = > x = − 4 3x+7=x−1=>2x=>-8=>x=-4 3x+7=x−1=>2x=>−8=>x=−4
- 方程组：2、代入消元法；存在某未知数系数为1；2、加减消元法；未知数系数复杂时；
- 二次方程：1、因式分解法； a x 2 + b x + c = 0 , a b c > 0 ，寻找四个整数 m n p q ，使得 ( m x + p ) ( n x + q ) = 0 ax^2+bx+c=0,abc>0，寻找四个整数mnpq，使得(mx+p)(nx+q)=0 ax2+bx+c=0,abc>0，寻找四个整数mnpq，使得(mx+p)(nx+q)=0，十字相乘法排列mnpq使得 m q + n p = b mq+np=b mq+np=b；2、配方法；常数项移到右侧，左侧增加常数项平方项，开方求解；配方公式： a x 2 + b x + c = a ( x + b 2 a ) 2 + 4 a c − b 2 4 a 2 = 0 ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}=0 ax2+bx+c=a(x+2ab)2+4a24ac−b2=0；3、求根公式；来源于配方法， x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} x=2a−b±b2−4ac ， Δ = b 2 − 4 a c Δ=b^2 - 4ac Δ=b2−4ac对解的个数有影响
3.3 消元法
- 代入消元：用等式代替变量
- 加减消元：让系数抵消
- 整体消元：不求个体，只求整体
- 几何消元：通过已知条件的关系式，消去几何条件、化简整理，得到代数方程
- 逻辑消元：消去不可能的情况
- 组合计数中的消元：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣
- 不等式中的消元：已知 x + y = 1 , 求 x 2 + y 2 x+y=1,求x^2+y^2 x+y=1,求x2+y2最小值, 消去 y=1−x， x 2 + y 2 = x 2 + ( 1 − x ) 2 = 2 x 2 − 2 x + 1 = 2 ( x − 0.5 ) + 0.5 > = 0.5 x^2+y^2=x^2+(1-x)^2=2x^2-2x+1=2(x-0.5)+0.5>=0.5 x2+y2=x2+(1−x)2=2x2−2x+1=2(x−0.5)+0.5>=0.5
- 传递消元：A > B，B > C，C > D，D > E，E > A。这不可能，因为会推出A > A；
四、进阶运算技巧
4.1 速算与估算
- 速算：1、凑整、分解；2、利用特殊乘积，25 × 4 = 100；125 × 8 = 1000；3、平方数： 11 2 = 121 , 12 2 = 144 , 13 2 = 169 , 14 2 = 196 , 15 2 = 225 , 16 2 = 256 , 17 2 = 289 , 18 2 = 324 , 19 2 = 361 11^2=121,12^2=144,13^2=169,14^2=196,15^2=225,16^2=256,17^2=289,18^2=324,19^2=361 112=121,122=144,132=169,142=196,152=225,162=256,172=289,182=324,192=361；4、末位是5的平方，(n5)² = n×(n+1)接25；5、左位算法：从高位开始读数，47 + 36，先算 40+30=70，再算 7+6=13，最后 70+13=83，大脑负担小、易于验算；
- 估算：1、取整简化，7.9 × 6.1 ≈ 8 × 6 = 48；2、判断数量级：19.8 × 4.9， 约等于 20×5=100，如果算出结果是 9.8 或 980数量级那就验证错误；3、上下界估算：29 × 42 估算，下限：25 × 40 = 1000，上限：30 × 45 = 1350，接近 30×42=1260；
- 常用分数、小数、百分数互换：1、1/2 = 0.5 = 50%；2、1/4 = 0.25 = 25%， 3/4 = 0.75 = 75%；3、1/5 = 0.2 = 20%， 1/10 = 0.1 = 10%；3、1/3 ≈ 0.333 ≈ 33.3%， 2/3 ≈ 0.667 ≈ 66.7%；
4.2 逻辑推理运算
- 数字谜题（算式推理）：给出一个不完整的算式，推理出所有未知数字，1、位数分析：积/商的位数、进位情况；2、奇偶性分析：奇数×奇数=奇数，数+数=偶数；3、整除与尾数：从个位入手，结合进位推理；极值估算：确定数字的大致范围。
- 定义新运算：题目定义一种全新的运算符号（如 a ⊕ b = 3 a − 2 b a⊕b=3a−2b a⊕b=3a−2b）;1、严格理解定义，运算顺序和操作对象；2、逐层代入：遇到嵌套运算时，从内到外按新规则计算；3、转化为普通方程：当需要解方程时，把新运算表达式按定义写成普通代数式再解。
- 网格推理：在方格中填入数字，满足某种运算规则；1、找唯一确定格：利用行、列、区域的交叉约束。2、从结果反推：尤其是乘除法，因数分解是利器。3、排除法：某格可能填什么？哪些不可能？
- 基本逻辑：1、枚举与筛选法，当可能性有限时，列出所有可能，再用条件逐一排除；2、反证与假设法，假设某个结论成立，推出与已知矛盾；3、极端情况分析，考虑最大值、最小值、中间值；4、整体法：不关心细节，先算总和、总积、总差，总体运算之后得到简化式。
五、通用思路
5.1 分类讨论与完全归纳法
- 当问题存在多种可能性时，系统地、不重不漏地列出所有情况，逐一分析，最终得出结论
- 真假话问题：甲、乙、丙三人中有一人说真话。甲说："乙在说谎。"乙说："丙在说谎。"丙说："甲和乙都在说谎。"问谁说真话？解：
1、分类：假设真话者是甲、乙、丙三种情况
2、逐一分析：
若甲真 → 乙说谎 ✓，丙说谎？乙说"丙在说谎"为假，则丙说真话？矛盾。
若乙真 → 甲说谎 ✓，丙说谎 ✓，丙的话"甲乙都说谎"为假（因为乙真），一致。
若丙真 → 甲乙都说谎，但若甲说谎，则"乙在说谎"为假 → 乙说真话，矛盾。
3、结论：乙说真话。
5.2 抽屉原理
- 有10个互不相同的正整数，它们都小于等于18，总和为100，证明必有两数和=19
- 1、配对
2、在1到18这个范围内，和为19的数正好可以配成9对：
(1,18), (2,17), (3,16), (4,15), (5,14), (6,13), (7,12), (8,11), (9,10)
3、每对选一个为9个数字，当选择最后一个时候就会匹配一对
5.3 逆向思维与倒推法
- 一个数，先加5，再乘3，再减7，得到29。求原数
- 设该数为x, ( x + 5 ) ∗ 3 − 7 = 29 (x+5)*3-7=29 (x+5)∗3−7=29，求x的过程就是逆向过程。
5.4 赋值法与特例检验
- 定义a⊕b=2a+3b，判断这个运算是否满足结合律。
解：直接赋值：(1⊕2)⊕3=(2×1+3×2)⊕3=8⊕3=2×8+3×3=25
1⊕(2⊕3)=1⊕(2×2+3×3)=1⊕13=2×1+3×13=41
结果：不满足结合律- 命题："两个无理数的和一定是无理数。"
解：取特例： 2 + − 2 = 0 \sqrt{2}+-\sqrt{2}=0 2 +−2 =0, 0（有理数）→ 命题假。
特例检验是反驳错误命题的最快武器。- 意义：1、降低认知负荷，将未知数变为具体某个的数；2、快速排除错误选项；
5.5 图形化与建模法
定义：把抽象的数量关系、逻辑关系，转化为看得见、摸得着的图形、图表、模型------让问题自己"画"出答案。
- 甲不在队头，乙不在队尾，丙在甲和乙之间，丁在丙前面。确定四人排队顺序。
1、画一条线段表示队伍位置。
2、根据条件逐步标注可能位置，用排除法确定唯一顺序。
3、丁乙丙甲、乙丁丙甲
5.6 对称与轮换思想
- 几何对称：图形关于某条线、某个点对称，则对应部分性质相同。等腰三角形两底角相等。
不需要分别证明左角和右角------由对称性，它们必须相等。- 代数轮换对称：若一个问题在将变量顺序变化后形式不变，则称为轮换对称。1、多项式与恒等式： x + y + z = 1 , x y + x z + y z = 2 , 求 x 2 + y 2 + z 2 x+y+z=1,xy+xz+yz=2,求x^2+y^2+z^2 x+y+z=1,xy+xz+yz=2,求x2+y2+z2 x 2 + y 2 + z 2 = ( x + y + z ) 2 − 2 ( x y + x z + y z ) = 1 − 2 ∗ 2 = − 3 x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)=1-2*2=-3 x2+y2+z2=(x+y+z)2−2(xy+xz+yz)=1−2∗2=−3
5.7 不变量原理
- 核心：在变化过程中，寻找保持不变的量（和、积、奇偶性、余数等），利用它作为推理的锚点。
- 翻牌游戏：桌上7张牌正面朝上。每次必须翻转恰好4张牌。经过若干次操作，能否使所有牌反面朝上？
1、寻找不变量：每次翻转4张牌，设翻转前，正面朝上的牌数为 k, 所选择的4张里a张为正，那么反面的又4-a，这次行动正面牌变化为 4 − a − a = 4 − 2 a 4-a-a=4-2a 4−a−a=4−2a, 又因为 a可以是0,1,2,3,4，对应的 Δ = 4 − 2 a Δ=4-2a Δ=4−2a Δ∈{+4,+2,0,−2,−4}
2、初始正面数=7（奇数），Δ为偶数，奇数减去偶数，依然是奇数；
3、目标正面数=0（偶数），不可能达到。