【题目来源】
https://www.acwing.com/problem/content/4661/
【题目描述】
给定正整数 n，请问有多少个质数是 n 的约数。
【输入格式】
输入的第一行包含一个整数 n。
【输出格式】
输出一个整数，表示 n 的质数约数个数。
【输入样例】
396
【输出样例】
3
【数据范围】
对于 30% 的评测用例，1≤n≤10000。
对于 60% 的评测用例，1≤n≤10^9。
对于所有评测用例，1≤n≤10^16。
【算法分析】
● 整数唯一分解定理（算术基本定理）
任何一个大于 1 的正整数 n，都可以唯一地表示成有限个质数的乘积形式：n=p₁ᵏ¹×p₂ᵏ²×...×pₘᵏᵐ，其中 p₁<p₂<...<pₘ 是质数，k₁，k₂，....，kₘ 是正整数.且这种分解方式在不考虑顺序的情况下是唯的。
● 整数唯一分解定理是欧拉函数计算公式的理论基础，欧拉函数是整数唯一分解定理的重要应用之一。通俗地讲，整数唯一分解定理是 "地基"，欧拉函数公式是 "盖在地基上的房子"；没有地基，房子建不起来；房子的存在，也印证了地基的稳固。
|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| 整数唯一分解定理 | 欧拉函数 |
| #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; void cal(LL n) { LL cnt=0; for(LL i=2; i*i<=n; i++) { if(n%i==0) { cnt++; while(n%i==0) n/=i; } } if(n>1) cnt++; cout<<cnt; } int main() { LL x; cin>>x; cal(x); return 0; } /* in:18 out:2 */ | #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; void cal(LL n) { LL cnt=n; for(LL i=2; i*i<=n; i++) { if(n%i==0) { cnt=cnt/i*(i-1); while(n%i==0) n/=i; } } if(n>1) cnt=cnt/n*(n-1); cout<<cnt; } int main() { LL x; cin>>x; cal(x); return 0; } /* in:18 out:6 */ |
| 功能：求 n 的不同质因子的个数。 | 功能：求 1~n 中与 n 互质的正整数的个数。 |
● 欧拉函数
（1）欧拉函数 φ(n) 是数论中的重要函数，用于计算 1~n 中与 n 互质的正整数的个数。特别地，当 n=1 时，φ(1)=1。
（2）欧拉函数的计算公式：若 n 的质因数分解为 n=p₁ᵏ¹×p₂ᵏ²×...×pₘᵏᵐ，则 φ(n)=n×(1-1/p₁)×(1-1/p₂)×...×(1-1/pₘ)。其中，p₁，...，pₘ，是 n 的所有质因数。
● 欧拉函数性质
（1）若 p 是质数，φ(p)=p-1。
例如，φ(5)=5-1=4（表示 1~5 中与 5 互质的正整数有 1,2,3,4 等 4 个）。
（2）若 n=pᵏ，φ(pᵏ)=pᵏ-pᵏ⁻¹。
例如，φ(8)=2³-2²=8-4=4（表示 1~8 中与 8 互质的正整数有 1,3,5,7 等 4 个）
（3）积性函数：当 a,b 互质时，φ(ab)=φ(a)φ(b)。
例如，φ(10)=φ(2)×φ(5)=1×4=4（表示 1~10 中与 10 互质的正整数有 1,3,7,9 等 4 个）
（4）通用计算公式：φ(n)=n×(1-1/p₁)×(1-1/p₂)×...×(1-1/pₘ)。其中，p₁，...，pₘ，是 n 的所有质因数。
例如， 由于 18=2×3²，所以 φ(18)=18×(1-1/2)×(1-1/3)=6（表示 1~18 中与 18 互质的正整数有 1,5,7,11,13,17 等 6 个）。详见：https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/148135689。
【算法代码】
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
void cal(LL n) {
LL cnt=0;
for(LL i=2; i*i<=n; i++) {
if(n%i==0) {
cnt++;
while(n%i==0) n/=i;
}
}
if(n>1) cnt++;
cout<<cnt;
}
int main() {
LL x;
cin>>x;
cal(x);
return 0;
}
/*
in:7371287302712134
out:4
*/【参考文献】
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/148176615
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/148177392
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/158039681
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/148159326