【题目来源】
https://www.lanqiao.cn/problems/1020/learning/
【题目描述】
本题为填空题，只需要算出结果后，在代码中使用输出语句将所填结果输出即可。
定义阶乘 n!=1×2×3×......×n。
请问 100!（100的阶乘）有多少个正约数。
【算法分析】
● 约数个数定理：设正整数 n 的质因数分解为 n=p₁ᵏ¹×p₂ᵏ²×...×pₘᵏᵐ，其中 p1，p2，...，pm 是互不相同的质数， ++ki 是质因子 pi 在 n 中的指数++。那么，n 的正约数个数为 (k₁+1)(k₂+1)...(kₘ+1)。
● 推论：设 n! 的质因数分解为 n!=p₁ᵏ¹×p₂ᵏ²×...×pₘᵏᵐ，其中 ++ki 是质因子 pi 在 n! 中的指数++。那么，由约数个数定理知 (n!)^2=(p₁ᵏ¹×p₂ᵏ²×...×pₘᵏᵐ)^2 的正约数个数为 (2k₁+1)(2k₂+1)...(2kₘ+1)。
→ 此推论成立的原理：方程 a×b=M 的正整数解 (a,b) 的组数，等于 M 的正约数个数。因为，每一个约数 d 都唯一对应一组解 (d, M/d) 。
【算法代码】
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=105;
int a[N];
void cal(int n) {
for(int i=2; i*i<=n; i++) {
if(n%i) continue;
while(n%i==0) n/=i,a[i]++;
}
if(n>1) a[n]++;
}
int main() {
int n=100;
for(int i=2; i<=n; i++) cal(i);
LL ans=1;
for(int i=1; i<=n; i++) {
if(a[i]>0) ans=ans*(a[i]+1);
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
/*
39001250856960000
*/【参考文献】
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/158097108
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/158074254