这是一道一次函数 + 二次函数利润模型的综合题，我们一步一步解析。
已知条件
-
进价：8 元/件
-
售价：xxx 元
-
销量：y=−5x+150(8≤x≤15,;x为整数)y = -5x + 150 \quad (8 \le x \le 15,; x为整数)y=−5x+150(8≤x≤15,;x为整数)
-
利润 =（售价 − 进价）× 销量 。设利润为 www，那么
w=(x−8)yw = (x-8)yw=(x−8)y
第（1）问
已知每天利润 425 元，求售价 x。
第一步：建立利润方程
每天利润 425 元，也就是 w=425w = 425w=425 元，而 w=(x−8)yw = (x-8)yw=(x−8)y ，即 450=(x−8)y450 = (x-8)y450=(x−8)y
把 y=−5x+150y = -5x + 150y=−5x+150 代入 450=(x−8)y450 = (x-8)y450=(x−8)y 得到
(x−8)(−5x+150)=425(x-8)(-5x+150)=425(x−8)(−5x+150)=425
展开整理得到
−5x2+190x−1200=425-5x^2 +190x -1200 = 425−5x2+190x−1200=425
移项后得到
x2−38x+325=0x^2 -38x +325 = 0x2−38x+325=0
第二步：解方程
根据求根公式可计算出
x=13或x=25x=13 \quad 或 \quad x=25x=13或x=25
但题目规定：8≤x≤158 \le x \le 158≤x≤15
所以 x=13x=13x=13
第（2）问
求最大利润。
第一步：利润函数
w=(x−8)(−5x+150)w = (x-8)(-5x+150)w=(x−8)(−5x+150)
刚才已经展开过：
w=−5x2+190x−1200w = -5x^2 +190x -1200w=−5x2+190x−1200
这是一个开口向下的二次函数（因为 -5 < 0）。
第二步：求顶点
顶点横坐标：x=−b2a=−1902(−5)=19x = -\frac{b}{2a}= -\frac{190}{2(-5)}= 19x=−2ab=−2(−5)190=19
但题目限制：8≤x≤158 \le x \le 158≤x≤15
顶点 19 不在范围内。
第三步：比较区间端点
因为抛物线顶点在右侧（19），
所以在区间内x越大利润越大。
所以最大值在：x=15x=15x=15
第四步：代入计算
销量：y=−5×15+150=75y=-5×15+150=75y=−5×15+150=75
每件利润：15−8=715-8=715−8=7
总利润：7×75=5257×75=5257×75=525
已知条件整理
-
起跳点 A 的高度：
OA=64mOA = 64mOA=64m⇒ 当 (x=0) 时，(y=64)
-
抛物线最高点：
(24,76)(24,76)(24,76) -
飞行轨迹是二次函数
第一问
求 y 与 x 的函数关系式。
第一步：用顶点式设函数
因为最高点是 (24,76)，
直接用顶点式：
y=a(x−24)2+76y = a(x-24)^2 + 76y=a(x−24)2+76
第二步：代入已知点 (0,64)
64=a(0−24)2+7664 = a(0-24)^2 + 7664=a(0−24)2+76
64=576a+7664 = 576a + 7664=576a+76
576a=−12576a = -12576a=−12
a=−12576a = -\frac{12}{576}a=−57612
a=−148a = -\frac{1}{48}a=−481
✅ 函数关系式
y=−148(x−24)2+76\boxed{y = -\frac{1}{48}(x-24)^2 + 76}y=−481(x−24)2+76
（也可以展开成一般式）
展开：
y=−148x2+x+64y = -\frac{1}{48}x^2 + x + 64y=−481x2+x+64
第二问
已知 (h=21)，问落地点能否超过基准点 K？
关键理解
基准点 K：
- 水平距离：72m
- 高度：21m
即 K 点坐标：(72,21)(72,21)(72,21)
第一步：求运动员落地点
落地时：y=21y = 21y=21
代入函数得到：21=−148(x−24)2+7621 = -\frac{1}{48}(x-24)^2 + 7621=−481(x−24)2+76
第二步：解方程
−148(x−24)2=−55-\frac{1}{48}(x-24)^2 = -55−481(x−24)2=−55
(x−24)2=2640(x-24)^2 = 2640(x−24)2=2640
x−24=±2640x-24 = \pm \sqrt{2640}x−24=±2640
2640≈51.4\sqrt{2640} \approx 51.42640 ≈51.4
所以
x=24±51.4x = 24 \pm 51.4x=24±51.4
得到两个解：
x≈−27.4x \approx -27.4x≈−27.4
x≈75.4x \approx 75.4x≈75.4
落地时取正解：
x≈75.4x \approx 75.4x≈75.4
第三步：比较
基准点 K 在：
x=72x = 72x=72
而落地点：
75.4>7275.4 > 7275.4>72 ，所以能够超过基准点 K