第2章 二体问题
2.1 引言
本章介绍了两物体的运动状态仅由它们之间引力决定的经典二体问题的矢量解法。我们将证明二体中的一个物体相对于另一个物体的运动路径为圆锥曲线，由偏心率决定其具体形状是圆、椭圆、抛物线或双曲线中的一种。利用角动量守恒和能量守恒定律，可以得出上述几种不同类型轨道的一些基本性质。这些性质包括椭圆轨道的周期、抛物线轨道的逃逸速度和双曲线轨道的能量特性。在四种类型轨道之后，我们引入了近焦点坐标系这一概念，为在第4章三维空间中描述轨道作铺垫。
本章中近焦点坐标系为导出拉格朗日系数 fff 和 ggg 提供了背景基础。通过拉格朗日系数 fff 和 ggg ，在已知初始时刻位置和速度矢量的条件下，可以求出此轨道上任意时刻的位置和速度矢量。这些函数将在第5章中兰伯特和高斯定轨法中用到。
为系统地理解拉格朗日点和雅可比常数，本章还对限制性三体问题进行了相关讨论，此节为选学内容。
为了更好地学习本章，同学们可以经常参照附录B中的导读图。
2.2 惯性系中的运动方程
图2.1给出了两个质点在只受相互引力作用下的示意图。如图2.1所示，其质心的位置矢量均为相对于惯性坐标系XYZ而言。此坐标系的原点可能相对于恒星匀速运动，但不发生转动。两物体中的每一个物体均受另一个物体的引力作用。 F12F_{12}F12 为 m2m_2m2 作用在 m1m_1m1 上的力， F21F_{21}F21 为 m1m_1m1 作用在 m2m_2m2 上的力。
在图2.1(a)中，二体系统质心 GGG 的位置矢量 RG\pmb{R}_{G}RG 由下式定义：
RG=m1R1+m2R2m1+m2(2.1) \boldsymbol {R} _ {G} = \frac {m _ {1} \boldsymbol {R} _ {1} + m _ {2} \boldsymbol {R} _ {2}}{m _ {1} + m _ {2}} \tag {2.1} RG=m1+m2m1R1+m2R2(2.1)
因此，质心 GGG 的绝对速度和绝对加速度为
vG=R˙G=m1R˙1+m2R˙2m1+m2(2.2) \boldsymbol {v} _ {G} = \dot {\boldsymbol {R}} _ {G} = \frac {m _ {1} \dot {\boldsymbol {R}} _ {1} + m _ {2} \dot {\boldsymbol {R}} _ {2}}{m _ {1} + m _ {2}} \tag {2.2} vG=R˙G=m1+m2m1R˙1+m2R˙2(2.2)
aG=R¨G=m1R¨1+m2R¨2m1+m2(2.3) \boldsymbol {a} _ {G} = \ddot {\boldsymbol {R}} _ {G} = \frac {m _ {1} \ddot {\boldsymbol {R}} _ {1} + m _ {2} \ddot {\boldsymbol {R}} _ {2}}{m _ {1} + m _ {2}} \tag {2.3} aG=R¨G=m1+m2m1R¨1+m2R¨2(2.3)
式中，"绝对"是指相对于惯性坐标系所测得的量。
设 r\pmb{r}r 为 m2m_{2}m2 相对于 m1m_{1}m1 的位置矢量，即
r=R2−R1(2.4) \boldsymbol {r} = \boldsymbol {R} _ {2} - \boldsymbol {R} _ {1} \tag {2.4} r=R2−R1(2.4)
(a)
(b)
图2.1 惯性坐标系(a)中的两质点受力图(b)
并且设 u^r\hat{\pmb{u}}ru^r 为由 m1m{1}m1 指向 m2m_{2}m2 的单位矢量，所以
u^r=rr(2.5) \hat {\boldsymbol {u}} _ {r} = \frac {\boldsymbol {r}}{r} \tag {2.5} u^r=rr(2.5)
式中， r=∥r∥r = \parallel r\parallelr=∥r∥ 为 r\pmb{r}r 的模。 m1m_{1}m1 仅受指向 m2m_{2}m2 的引力作用。两者间的引力 FgF_{\mathrm{g}}Fg 沿 m1m_{1}m1 和 m2m_{2}m2 的质心连线，由式(1.3)确定。 m1m_{1}m1 作用在 m2m_{2}m2 上的力为：
F21=Gm1m2r2(−u^r)=−Gm1m2r2u^r(2.6) \boldsymbol {F} _ {2 1} = \frac {G m _ {1} m _ {2}}{r ^ {2}} (- \hat {\boldsymbol {u}} _ {r}) = - \frac {G m _ {1} m _ {2}}{r ^ {2}} \hat {\boldsymbol {u}} _ {r} \tag {2.6} F21=r2Gm1m2(−u^r)=−r2Gm1m2u^r(2.6)
式中， −u^r-\hat{\pmb{u}}r−u^r 说明力 F21\pmb{F}{21}F21 的方向为 m2m_{2}m2 指向 m1m_{1}m1 （不要将这里表示引力常量的 GGG 与本书中其他内容表示质心的 GGG 相混淆）。对 m2m_{2}m2 应用牛顿第二运动定律，得 F21=m2R¨2\pmb{F}{21} = m{2}\ddot{\pmb{R}}{2}F21=m2R¨2 ，其中 R¨2\ddot{\pmb{R}}{2}R¨2 为 m2m_{2}m2 的绝对加速度，因此
* \\frac {G m _ {1} m _ {2}}{r \^ {2}} \\hat {\\boldsymbol {u}} _ {r} = m _ {2} \\ddot {\\boldsymbol {R}} _ {2} \\tag {2.7}
应用牛顿第三定律(反作用力定律) F12=−F21\pmb{F}{12} = -\pmb{F}{21}F12=−F21 , 对于 m1m_{1}m1 有
Gm1m2r2u^r=m1R¨1(2.8) \frac {G m _ {1} m _ {2}}{r ^ {2}} \hat {\boldsymbol {u}} _ {r} = m _ {1} \ddot {\boldsymbol {R}} _ {1} \tag {2.8} r2Gm1m2u^r=m1R¨1(2.8)
式(2.7)和式(2.8)即为惯性空间中二体问题的运动方程。将两方程相加可得 m1R¨1+m2R˙2=0\mathbf{m}_1\ddot{\pmb{R}}_1 + m_2\dot{\pmb{R}}2 = \mathbf{0}m1R¨1+m2R˙2=0 。根据式(2.3)可知二体系统质心G的加速度为零，即G以匀速 vG\pmb{v}{G}vG 沿直线运动，所以其相对于XYZ的位置矢量为
RG=RG0+vGt(2.9) \boldsymbol {R} _ {G} = \boldsymbol {R} _ {G _ {0}} + \boldsymbol {v} _ {G} t \tag {2.9} RG=RG0+vGt(2.9)
式中， RG0R_{G_0}RG0 为 t=0t = 0t=0 时刻 GGG 的位置矢量。因此，一个二体系统的质心可以作为一个惯性坐标系的原点。
例2.1 应用运动方程来说明，为何在轨宇航员会经历失重状态。
当我们的身体有支撑时，通过接触力我们可以意识到自己的体重。设一质量为 mAm_{\mathrm{A}}mA 的宇航员乘坐一个质量 mSm_{\mathrm{S}}mS 的航天飞机绕地飞行。地心到航天飞机的距离为 rrr ，地球的质
量为 MEM_{\mathrm{E}}ME ，因为作用在航天飞机上的唯一外力为引力 Fs)g\pmb{F}{\mathrm{s}}){\mathrm{g}}Fs)g ，所以航天飞机的运动方程为
FS)g=mSaS(a) \left. \boldsymbol {F} _ {\mathrm {S}}\right) _ {\mathrm {g}} = m _ {\mathrm {S}} \boldsymbol {a} _ {\mathrm {S}} \tag {a} FS)g=mSaS(a)
由式(2.6)可得
FS)g=−GMEmSr2u^r(b) \left. \boldsymbol {F} _ {\mathrm {S}}\right) _ {\mathrm {g}} = - \frac {G M _ {\mathrm {E}} m _ {\mathrm {S}}}{r ^ {2}} \hat {\boldsymbol {u}} _ {r} \tag {b} FS)g=−r2GMEmSu^r(b)
式中， u^r\hat{\pmb{u}}_ru^r 为地心指向航天飞机的单位矢量。由式(a)和式(b)，可得
aS=−GMEr2u^r(c) \boldsymbol {a} _ {\mathrm {S}} = - \frac {\mathrm {G M} _ {\mathrm {E}}}{r ^ {2}} \hat {\boldsymbol {u}} _ {r} \tag {c} aS=−r2GMEu^r(c)
宇航员的运动方程为
FA)g+CA=mAaA(d) \left. \boldsymbol {F} _ {\mathrm {A}}\right) _ {\mathrm {g}} + \boldsymbol {C} _ {\mathrm {A}} = m _ {\mathrm {A}} \boldsymbol {a} _ {\mathrm {A}} \tag {d} FA)g+CA=mAaA(d)
式中， FA\pmb{F}{\mathrm{A}}FA 为宇航员所受到的引力（即重力）； CAC{\mathrm{A}}CA 为宇航员所受到的接触力（如座椅、安全带等）的合力； aA\pmb{a}_{\mathrm{A}}aA 为宇航员的加速度。根据式(2.6)，可得
FA)g=−GMEmAr2u^r(e) \left. \boldsymbol {F} _ {\mathrm {A}}\right) _ {\mathrm {g}} = - \frac {G M _ {\mathrm {E}} m _ {\mathrm {A}}}{r ^ {2}} \hat {\boldsymbol {u}} _ {r} \tag {e} FA)g=−r2GMEmAu^r(e)
因为航天员和航天飞机一同运动，所以
aA=aS=−GMEr2u^r(f) \boldsymbol {a} _ {\mathrm {A}} = \boldsymbol {a} _ {\mathrm {S}} = - \frac {G M _ {\mathrm {E}}}{r ^ {2}} \hat {\boldsymbol {u}} _ {r} \tag {f} aA=aS=−r2GMEu^r(f)
将式(e)、式(f)代入式(d)，可得
* \\frac {G M _ {\\mathrm {E}} m _ {\\mathrm {A}}}{r \^ {2}} \\hat {\\boldsymbol {u}} _ {r} + C _ {\\mathrm {A}} = m _ {\\mathrm {A}} \\left(- \\frac {G M _ {\\mathrm {E}}}{r \^ {2}} \\hat {\\boldsymbol {u}} _ {r}\\right)
显然，上式中 CA=0C_{\mathrm{A}} = 0CA=0 ，即宇航员所受接触力合力为0，由于没有引力的反作用力施加在宇航员身体上，所以他们感受不到重力。
由式(2.6)中的引力所产生的势能 VVV 为
V=−Gm1m2r(2.10) V = - \frac {G m _ {1} m _ {2}}{r} \tag {2.10} V=−rGm1m2(2.10)
对一势能函数进行梯度运算可以求出相应的作用力
F=−∇V(2.11) \boldsymbol {F} = - \boldsymbol {\nabla} V \tag {2.11} F=−∇V(2.11)
在笛卡儿坐标系中
∇=∂∂xi^+∂∂yj^+∂∂zk^(2.12) \nabla = \frac {\partial}{\partial x} \hat {\boldsymbol {i}} + \frac {\partial}{\partial y} \hat {\boldsymbol {j}} + \frac {\partial}{\partial z} \hat {\boldsymbol {k}} \tag {2.12} ∇=∂x∂i^+∂y∂j^+∂z∂k^(2.12)
附录E表明：一质量均匀分布的对称球体 MMM ，所产生的对外的引力和引力势能，与处于球心处一质量为 MMM 的质点所产生的引力和引力势能相等。因此，有关二体问题的结论不仅适用于质点，也可应用于球体。当然，两球体不能相互接触。
2.3 相对运动方程
将式(2.7)乘以 m1m_{1}m1 ，式(2.8)乘以 m2m_{2}m2 ，可得
* \\frac {G m _ {1} \^ {2} m _ {2}}{r \^ {2}} \\hat {\\boldsymbol {u}} _ {r} = m _ {1} m _ {2} \\ddot {\\mathbf {R}} _ {2}
Gm1m22r2u^r=m1m2R¨1 \frac {G m _ {1} m _ {2} ^ {2}}{r ^ {2}} \hat {\boldsymbol {u}} _ {r} = m _ {1} m _ {2} \ddot {\boldsymbol {R}} _ {1} r2Gm1m22u^r=m1m2R¨1
将两式相减，可得
m1m2(R¨2−R¨1)=−Gm1m2r2(m1+m2)u^r m _ {1} m _ {2} \left(\ddot {\boldsymbol {R}} _ {2} - \ddot {\boldsymbol {R}} _ {1}\right) = - \frac {G m _ {1} m _ {2}}{r ^ {2}} \left(m _ {1} + m _ {2}\right) \hat {\boldsymbol {u}} _ {r} m1m2(R¨2−R¨1)=−r2Gm1m2(m1+m2)u^r
约去共同因子 m1m2m_{1}m_{2}m1m2 ，运用式(2.4)可得
r¨=−G(m1+m2)r2u^r(2.13) \ddot {\boldsymbol {r}} = - \frac {G \left(m _ {1} + m _ {2}\right)}{r ^ {2}} \hat {\boldsymbol {u}} _ {r} \tag {2.13} r¨=−r2G(m1+m2)u^r(2.13)
引力参数 μ\muμ 定义如下：
μ=G(m1+m2)(2.14) \mu = G \left(m _ {1} + m _ {2}\right) \tag {2.14} μ=G(m1+m2)(2.14)
μ\muμ 的单位为 km3/s2\mathrm{km}^3 /\mathrm{s}^2km3/s2 ，结合式(2.5)与式(2.14)，式(2.13)可写为
r¨=−μr3r(2.15) \ddot {r} = - \frac {\mu}{r ^ {3}} r \tag {2.15} r¨=−r3μr(2.15)
式(2.15)即为 m2m_{2}m2 相对于 m1m_{1}m1 运动的二阶微分方程。该式中有两个积分常矢量，每个矢量均有三个标量分量。因此，式(2.15)有六个积分常数。注意到如下结论：将上述诸式中 m1,m2m_{1}, m_{2}m1,m2 的位置相交换所得结果与将式(2.15)乘以 −1-1−1 是一致的。也就是说，从 m1m_{1}m1 看
图2.2 固连于 m1m_{1}m1 质心的运动坐标系 xyzxyzxyz
m2m_{2}m2 的运动与从 m2m_{2}m2 看 m1m_{1}m1 的运动是完全一致的。
式(2.15)中的相对位置矢量 r\pmb{r}r 是在惯性坐标系中定义的。但在固连在 m1m_{1}m1 上的运动坐标系中测量 r\pmb{r}r 的各分量将更加方便。在如图2.2所示的运动坐标系 xyzxyzxyz 中， r\pmb{r}r 的表达式为
r=xi^+yj^+zk^ \boldsymbol {r} = x \hat {\boldsymbol {i}} + y \hat {\boldsymbol {j}} + z \hat {\boldsymbol {k}} r=xi^+yj^+zk^
单位矢量本身在 xyzxyzxyz 坐标系中是固定的，所以对其系数求导便得到相对速度 r˙相对\dot{r}{\text{相对}}r˙相对 和相对加速度 r¨相对\ddot{r}{\text{相对}}r¨相对
r˙相 对=x˙i^+y˙j^+z˙k^r¨相 对=x¨i^+y¨j^+z¨k^ \begin{array}{l} \dot {\pmb {r}} _ {\text {相 对}} = \dot {x} \hat {\pmb {i}} + \dot {y} \hat {\pmb {j}} + \dot {z} \hat {\pmb {k}} \\ \ddot {\pmb {r}} _ {\text {相 对}} = \ddot {x} \hat {\pmb {i}} + \ddot {y} \hat {\pmb {j}} + \ddot {z} \hat {\pmb {k}} \\ \end{array} r˙相 对=x˙i^+y˙j^+z˙k^r¨相 对=x¨i^+y¨j^+z¨k^
由式(1.40)得知绝对加速度 r¨\ddot{\pmb{r}}r¨ 和相对加速
度 r¨相对\ddot{r}_{\text{相对}}r¨相对 的关系为
r¨=r¨相 对+Ω˙×r+Ω×(Ω×r)+2Ω×r˙相 对 \ddot {\boldsymbol {r}} = \ddot {\boldsymbol {r}} _ {\text {相 对}} + \dot {\boldsymbol {\Omega}} \times \boldsymbol {r} + \boldsymbol {\Omega} \times (\boldsymbol {\Omega} \times \boldsymbol {r}) + 2 \boldsymbol {\Omega} \times \dot {\boldsymbol {r}} _ {\text {相 对}} r¨=r¨相 对+Ω˙×r+Ω×(Ω×r)+2Ω×r˙相 对
式中， Ω\pmb{\Omega}Ω 和 Ω˙\dot{\pmb{\Omega}}Ω˙ 分别为运动坐标系的角速度和角加速度。因此只有当 Ω=Ω˙=0\pmb{\Omega} = \dot{\pmb{\Omega}} = \mathbf{0}Ω=Ω˙=0 时， r¨=r¨相对\ddot{\pmb{r}} = \ddot{\pmb{r}}_{\text{相对}}r¨=r¨相对 才成立。也就是说，当运动坐标系为非旋转坐标系时，式(2.15)的左边可用相
对加速度来表示。
如图2.3所示，作为二体问题的一个例子，我们考虑两个大小一致，互不接触的物体 m1m_{1}m1 和 m2m_{2}m2 ，均放置在惯性坐标系中。在 t=0t = 0t=0 时， m1m_{1}m1 静止于坐标系原点， m2m_{2}m2 位于 m1m_{1}m1 右侧，以与 XXX 轴成 45∘45^{\circ}45∘ 的速度 v0\pmb{v}{0}v0 向右上方运动。在只有两者间相互引力的作用下，惯性坐标系中的二物体运动状态由式(2.7)和式(2.8)所决定。这种运动是相当复杂的。图2.3给出了计算机生成的这些方程的解。但在任何时刻， m1m{1}m1 和 m2m_{2}m2 均位于XY平面内，等距离地分列于质心 GGG 的两侧。其质心 GGG 的直线路径也在图2.3中给出。当从 m1m_{1}m1 观察时，同样的运动看起来就会简单一些。如图2.4(a)中给出的计算机仿真结果。图2.4(a)反映了式(2.15)的解，从中可以看到：相对于 m1,m2m_{1}, m_{2}m1,m2 的运动轨迹为一椭圆（质心相对于 m1m_{1}m1 的运动路径亦为椭圆）。图2.4(b)表明： m1m_{1}m1 和 m2m_{2}m2 相对于质心的运动路径均为椭圆。
(原先静止)
图2.3 由惯性坐标系观察两个相同的物体仅在引力作用下的运动
由于质心的加速度为0，可以将其用作一惯性坐标系。在图2.1中，设 r1\pmb{r}1r1 和 r2\pmb{r}2r2 分别为 m1,m2m{1}, m{2}m1,m2 的位置矢量。 m2m_2m2 相对于质心的运动方程为
* \\frac {G m _ {1} m _ {2}}{r \^ {2}} \\hat {\\boldsymbol {u}} _ {r} = m _ {2} \\ddot {\\boldsymbol {r}} _ {2} \\tag {2.16}
式中， r\pmb{r}r 为 m2m_{2}m2 相对于 m1m_{1}m1 的位置矢量，即
r=r2−r1 \boldsymbol {r} = \boldsymbol {r} _ {2} - \boldsymbol {r} _ {1} r=r2−r1
由于质心相对于其本身的位置矢量为0，由式(2.1)可得
m1r1+m2r2=0 m _ {1} \boldsymbol {r} _ {1} + m _ {2} \boldsymbol {r} _ {2} = \mathbf {0} m1r1+m2r2=0
所以
r1=−m2m1r2 \boldsymbol {r} _ {1} = - \frac {m _ {2}}{m _ {1}} \boldsymbol {r} _ {2} r1=−m1m2r2
图2.4 运动图示
(a)由 m1m_{1}m1 （或 m2m_{2}m2 ）观察；(b)由两者的质心观察
即
r=m1+m2m1r2 \boldsymbol {r} = \frac {m _ {1} + m _ {2}}{m _ {1}} \boldsymbol {r} _ {2} r=m1m1+m2r2
将此式代入式(2.16)，并利用 u^r=r2r2\hat{\pmb{u}}_r = \frac{\pmb{r}_2}{r_2}u^r=r2r2 ，可得
* G \\frac {m _ {1} \^ {3} m _ {2}}{\\left(m _ {1} + m _ {2}\\right) \^ {2} r _ {2} \^ {3}} \\boldsymbol {r} _ {2} = m _ {2} \\ddot {\\boldsymbol {r}} _ {2}
简化后，可得
* \\left(\\frac {m _ {1}}{m _ {1} + m _ {2}}\\right) \^ {3} \\frac {\\mu}{r _ {2} \^ {3}} \\boldsymbol {r} _ {2} = \\ddot {\\boldsymbol {r}} _ {2} \\tag {2.17}
式中， μ\muμ 由式(2.14)给出，设
μ′=(m1m1+m2)3μ \mu^ {\prime} = \left(\frac {m _ {1}}{m _ {1} + m _ {2}}\right) ^ {3} \mu μ′=(m1+m2m1)3μ
则式(2.17)可简化为
r¨2=−μ′r23r2 \ddot {r} _ {2} = - \frac {\mu^ {\prime}}{r _ {2} ^ {3}} r _ {2} r¨2=−r23μ′r2
显然，上式与式(2.15)相一致。
类似地， m1m_{1}m1 相对于质心的运动方程为
r¨1=−μ′′r13r1 \ddot {\boldsymbol {r}} _ {1} = - \frac {\mu^ {\prime \prime}}{r _ {1} ^ {3}} \boldsymbol {r} _ {1} r¨1=−r13μ′′r1
式中
μ′′=(m2m1+m2)3μ \mu^ {\prime \prime} = \left(\frac {m _ {2}}{m _ {1} + m _ {2}}\right) ^ {3} \mu μ′′=(m1+m2m2)3μ
由图2.4可知：二体中的任一物体相对于质心的运动方程，均与二体中一个物体相对于另一个物体的运动方程有相同的形式，亦即选择不同的参照物时，二体运动方程的形式均是类似的。
人们可能会想知道两个以上物体，在彼此间引力作用下的运动状态。实际上 NNN 体问题 (N>2)(N > 2)(N>2) 是相当复杂，本质上是混沌的，没有封闭解。我们可以利用计算机模拟（参照附录C)来对一些特殊情况进行相应了解。图2.5给出了三个等质量，初始时在惯性坐标系中沿 XXX 轴等距离分布物体的运动示意图。质心(即中间一个)有初速度而其他两个处于静止状态。随着时间的推移，我们并未看到如图2.3中所示二体问题那样的周期行为。如果选择三体系统的质心为参照点，我们将会更加容易看到如图2.6所示那样混沌的运动路线。从上述计算机的模拟图示结果可以看出：这些质点最终将发生碰撞。
图2.5 由惯性坐标系观察的三个相同物体的运动初始时， m1m_{1}m1 和 m3m_{3}m3 静止，而 m2m_{2}m2 的初始速度 v0\pmb{v}_{0}v0 指向右上方
图2.6 由固连于质心 GGG 的惯性坐标系观察图2.5中的相同运动
2.4 角动量和轨道方程
m2m_{2}m2 相对于 m1m_{1}m1 的角动量为 m2m_{2}m2 的相对线动量 m2r˙m_{2} \dot{r}m2r˙ 的矩(式(1.17))，
H2/1=r×m2r˙ \boldsymbol {H} _ {2 / 1} = \boldsymbol {r} \times m _ {2} \dot {\boldsymbol {r}} H2/1=r×m2r˙
式中， r˙=v\dot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{v}r˙=v 为 m2m_{2}m2 相对于 m1m_{1}m1 的速度。将此方程除以 m2m_{2}m2 ，并令 h=H2/1m2h = \frac{H_{2 / 1}}{m_2}h=m2H2/1 ，则
h=r×r˙(2.18) \boldsymbol {h} = \boldsymbol {r} \times \dot {\boldsymbol {r}} \tag {2.18} h=r×r˙(2.18)
h\pmb{h}h 为 m2m_{2}m2 每单位质量的相对角动量，即单位相对角动量，其单位为 km2/s\mathrm{km}^2/\mathrm{s}km2/s ，对 h\pmb{h}h 求导，可得
dhdt=r˙×r˙+r×r¨ \frac {\mathrm {d} \boldsymbol {h}}{\mathrm {d} t} = \dot {\boldsymbol {r}} \times \dot {\boldsymbol {r}} + \boldsymbol {r} \times \ddot {\boldsymbol {r}} dtdh=r˙×r˙+r×r¨
由于 r˙×r˙=0\dot{\boldsymbol{r}}\times \dot{\boldsymbol{r}} = \mathbf{0}r˙×r˙=0 ，且由式(2.15)可知 r¨=−(μ/r3)r\ddot{\pmb{r}} = -(\mu /r^3)\pmb {r}r¨=−(μ/r3)r ，所以
r×r¨=r×(−μr3r)=−μr3(r×r)=0 \boldsymbol {r} \times \ddot {\boldsymbol {r}} = \boldsymbol {r} \times \left(- \frac {\mu}{r ^ {3}} \boldsymbol {r}\right) = - \frac {\mu}{r ^ {3}} (\boldsymbol {r} \times \boldsymbol {r}) = \boldsymbol {0} r×r¨=r×(−r3μr)=−r3μ(r×r)=0
因此
dhdt=0(或 者r×r˙=常 量)(2.19) \frac {\mathrm {d} \pmb {h}}{\mathrm {d} t} = 0 \quad (\text {或 者} \pmb {r} \times \dot {\pmb {r}} = \text {常 量}) \tag {2.19} dtdh=0(或 者r×r˙=常 量)(2.19)
在任一时刻，位置矢量 r\pmb{r}r 和速度矢量 r˙\dot{\pmb{r}}r˙ 均位于同一平面，如图2.7所示。其叉乘 r×r˙\pmb{r} \times \dot{\pmb{r}}r×r˙ 垂直于此平面。由于 r×r˙=h\pmb{r} \times \dot{\pmb{r}} = \pmb{h}r×r˙=h ，所以此平面的单位法矢量为
h^=hh(2.20) \hat {\boldsymbol {h}} = \frac {\boldsymbol {h}}{h} \tag {2.20} h^=hh(2.20)
根据式(2.19)可得，此单位矢量为常量，因此， m2m_2m2 围绕 m1m_1m1 的路径位于一平面之内。
既然 m2m_2m2 围绕 m1m_1m1 的运动路径形成一个平面, 那么可以如图 2.8 所示那样, 很方便地从平面上方俯视其路径。将相对速度矢量 r˙\dot{\pmb{r}}r˙ 沿 m1m_1m1 的径向和其垂直方向分解为 vr=vru^r\pmb{v}_r = v_r\hat{\pmb{u}}_rvr=vru^r
图2.7 位于法线为 h\pmb{h}h 的平面内 m2m_{2}m2 相对于 m1m_{1}m1 的路径
图2.8 从轨道平面的上方观察 m2m_{2}m2 的速度分量
和 v⊥=v⊥u^⊥\pmb{v}{\perp} = v{\perp}\hat{\pmb{u}}_{\perp}v⊥=v⊥u^⊥ ，其中 u^r\hat{\pmb{u}}ru^r 和 u^⊥\hat{\pmb{u}}{\perp}u^⊥ 分别为径向和与其垂直方向(地平经度)的单位矢量。
此时，式(2.18)可以表达为
h=ru^r×(vru^r+v⊥u^⊥)=rv⊥h^ \boldsymbol {h} = r \hat {\boldsymbol {u}} _ {r} \times \left(v _ {r} \hat {\boldsymbol {u}} _ {r} + v _ {\perp} \hat {\boldsymbol {u}} _ {\perp}\right) = r v _ {\perp} \hat {\boldsymbol {h}} h=ru^r×(vru^r+v⊥u^⊥)=rv⊥h^
即
h=rv⊥(2.21) h = r v _ {\perp} \tag {2.21} h=rv⊥(2.21)
显然，角动量的大小仅取决于相对速度的垂直分量。
如图2.9所示，在时间间隔 dt\mathrm{d}tdt 内，位置矢量 r\pmb{r}r 扫过的区域面积为 dA\mathrm{dA}dA 。从图中可知，三角形 dA\mathrm{dA}dA 的面积为
dA=12×底×高=12×vdt×rsinϕ=12r(rsinϕ)dt=12rv⊥dt \mathrm {d} A = \frac {1}{2} \times \text {底} \times \text {高} = \frac {1}{2} \times v \mathrm {d} t \times r \sin \phi = \frac {1}{2} r (r \sin \phi) \mathrm {d} t = \frac {1}{2} r v _ {\perp} \mathrm {d} t dA=21×底×高=21×vdt×rsinϕ=21r(rsinϕ)dt=21rv⊥dt
利用式(2.21)，可得
dAdt=h2(2.22) \frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t} = \frac {h}{2} \tag {2.22} dtdA=2h(2.22)
式中， dAdt\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}dtdA 称为面积速度，由式(2.22)可知其为一常数。用德国天文学家开普勒(1571---1630)的名字，将此结论命名为开普勒第二定律，即行星在相同时间内扫过的面积相等。
在对式(2.15)进行积分前，让我们回顾一下矢量的baccab法则
A×(B×C)=B(A⋅C)−C(A⋅B)(2.23) \boldsymbol {A} \times (\boldsymbol {B} \times \boldsymbol {C}) = \boldsymbol {B} (\boldsymbol {A} \cdot \boldsymbol {C}) - \boldsymbol {C} (\boldsymbol {A} \cdot \boldsymbol {B}) \tag {2.23} A×(B×C)=B(A⋅C)−C(A⋅B)(2.23)
图2.9 在时间 dt\mathrm{d}tdt 内相对位置矢量 r\pmb{r}r 所扫过的面积元 dA\mathrm{dA}dA
以及
r⋅r=r2(2.24) \boldsymbol {r} \cdot \boldsymbol {r} = r ^ {2} \tag {2.24} r⋅r=r2(2.24)
对式(2.24)求导
ddt(r⋅r)=2rdrdt \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} t} (\boldsymbol {r} \cdot \boldsymbol {r}) = 2 r \frac {\mathrm {d} \boldsymbol {r}}{\mathrm {d} t} dtd(r⋅r)=2rdtdr
又因为
ddt(r⋅r)=r⋅drdt+drdt⋅r=2r⋅drdt \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} t} (\boldsymbol {r} \cdot \boldsymbol {r}) = \boldsymbol {r} \cdot \frac {\mathrm {d} \boldsymbol {r}}{\mathrm {d} t} + \frac {\mathrm {d} \boldsymbol {r}}{\mathrm {d} t} \cdot \boldsymbol {r} = 2 \boldsymbol {r} \cdot \frac {\mathrm {d} \boldsymbol {r}}{\mathrm {d} t} dtd(r⋅r)=r⋅dtdr+dtdr⋅r=2r⋅dtdr
由此我们可以得出如下的重要关系：
r⋅r˙=rr˙(2.25a) \boldsymbol {r} \cdot \dot {\boldsymbol {r}} = r \dot {\boldsymbol {r}} \tag {2.25a} r⋅r˙=rr˙(2.25a)
因为 r˙=v,r˙=∥r∥\dot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{v}, \dot{\boldsymbol{r}} = \parallel \boldsymbol{r} \parallelr˙=v,r˙=∥r∥ ，式(2.25a)又可写为
r⋅v=∥r∥d∥r∥dt(2.25b) \boldsymbol {r} \cdot \boldsymbol {v} = \| \boldsymbol {r} \| \frac {\mathrm {d} \| \boldsymbol {r} \|}{\mathrm {d} t} \tag {2.25b} r⋅v=∥r∥dtd∥r∥(2.25b)
现在，将式(2.15)两边同时与角动量 h\pmb{h}h 叉乘，可得
r¨×h=−μr3r×h(2.26) \ddot {\boldsymbol {r}} \times \boldsymbol {h} = - \frac {\mu}{r ^ {3}} \boldsymbol {r} \times \boldsymbol {h} \tag {2.26} r¨×h=−r3μr×h(2.26)
因为 ddt(r˙×h)=r¨×h+r˙×h˙\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (\dot{\boldsymbol{r}}\times \boldsymbol {h}) = \ddot{\boldsymbol{r}}\times \boldsymbol {h} + \dot{\boldsymbol{r}}\times \dot{\boldsymbol{h}}dtd(r˙×h)=r¨×h+r˙×h˙ ，式(2.26)左边可写为
r¨×h=ddt(r˙×h)−r˙×h˙ \ddot {\boldsymbol {r}} \times \boldsymbol {h} = \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} t} (\dot {\boldsymbol {r}} \times \boldsymbol {h}) - \dot {\boldsymbol {r}} \times \dot {\boldsymbol {h}} r¨×h=dtd(r˙×h)−r˙×h˙
由式(2.19)角动量为常量 (h˙=0)(\dot{\pmb{h}} = \mathbf{0})(h˙=0) ，所以上式可简化为：
r¨×h=ddt(r˙×h)(2.27) \ddot {\boldsymbol {r}} \times \boldsymbol {h} = \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} t} (\dot {\boldsymbol {r}} \times \boldsymbol {h}) \tag {2.27} r¨×h=dtd(r˙×h)(2.27)
式(2.26)右边通过下述一系列代换可变换为：
1r3r×h=1r3[r×(r×r˙)]=1r3[r×(r⋅r˙)−r˙(r⋅r)]=1r3[r(r′)−r˙r2]=r˙−r˙rr2 \begin{array}{l} \frac {1}{r ^ {3}} \boldsymbol {r} \times \boldsymbol {h} = \frac {1}{r ^ {3}} [ \boldsymbol {r} \times (\boldsymbol {r} \times \dot {\boldsymbol {r}}) ] \\ = \frac {1}{r ^ {3}} [ r \times (r \cdot \dot {r}) - \dot {r} (r \cdot r) ] \\ = \frac {1}{r ^ {3}} [ r (r ^ {\prime}) - \dot {r} r ^ {2} ] \\ = \frac {\dot {r} - \dot {r} r}{r ^ {2}} \\ \end{array} r31r×h=r31[r×(r×r˙)]=r31[r×(r⋅r˙)−r˙(r⋅r)]=r31[r(r′)−r˙r2]=r2r˙−r˙r
（由式(2.18）得）
（由式(2.23)bac-cab法则得）
（由式(2.24)、(2.25a）得）
注意到
ddt(rr)=r˙r−r˙r˙r2=−r˙−r˙rr2 \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} t} \left(\frac {\boldsymbol {r}}{r}\right) = \frac {\dot {\boldsymbol {r}} r - \dot {\boldsymbol {r}} \dot {\boldsymbol {r}}}{r ^ {2}} = - \frac {\dot {\boldsymbol {r}} - \dot {\boldsymbol {r}} r}{r ^ {2}} dtd(rr)=r2r˙r−r˙r˙=−r2r˙−r˙r
因此
1r3r×h=−ddt(rr)(2.28) \frac {1}{r ^ {3}} \boldsymbol {r} \times \boldsymbol {h} = - \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} t} \left(\frac {\boldsymbol {r}}{r}\right) \tag {2.28} r31r×h=−dtd(rr)(2.28)
将式(2.27)和式(2.28)代入式(2.26)，可得
ddt(r˙×h)=ddt(μrr) \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} t} (\dot {\boldsymbol {r}} \times \boldsymbol {h}) = \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} t} \left(\mu \frac {\boldsymbol {r}}{r}\right) dtd(r˙×h)=dtd(μrr)
或记为
ddt(r˙×h−μrr)=0 \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} t} \left(\dot {\boldsymbol {r}} \times \boldsymbol {h} - \mu \frac {\boldsymbol {r}}{r}\right) = 0 dtd(r˙×h−μrr)=0
即
r˙×h−μrr=C(2.29) \dot {\boldsymbol {r}} \times \boldsymbol {h} - \mu \frac {\boldsymbol {r}}{r} = \boldsymbol {C} \tag {2.29} r˙×h−μrr=C(2.29)
式中，矢量 C\pmb{C}C 为任意积分常量。式(2.29)是运动方程 r¨=−(μr3)r\ddot{\boldsymbol{r}} = -\left(\frac{\mu}{r^3}\right)\boldsymbol{r}r¨=−(r3μ)r 的一次积分表达式。将式(2.29)两边与角动量 h\pmb{h}h 作点乘，可得
(r˙×h)⋅h−μr⋅hr=C⋅h (\dot {r} \times h) \cdot h - \mu \frac {r \cdot h}{r} = C \cdot h (r˙×h)⋅h−μrr⋅h=C⋅h
由于 r˙×h\dot{\boldsymbol{r}}\times \boldsymbol{h}r˙×h 与 r˙\dot{\boldsymbol{r}}r˙ 及 h\pmb{h}h 均垂直，所以 (r˙×h)⋅h=0(\dot{\boldsymbol{r}}\times \boldsymbol {h})\cdot \boldsymbol {h} = 0(r˙×h)⋅h=0 ；同样的，由于 h=r×r˙h = r\times \dot{r}h=r×r˙ 与 r\pmb{r}r 及 r˙\dot{\pmb{r}}r˙ 均垂直，所以 r⋅h=0r\cdot h = 0r⋅h=0 。因此， C⋅h=0C\cdot h = 0C⋅h=0 ，即 ccc 与 h\pmb{h}h 相垂直，而 h\pmb{h}h 为轨道平面的法矢量，所以 ccc 必位于轨道平面之中。
式(2.29)可另写为如下形式：
rr+e=r˙×hμ(2.30) \frac {\boldsymbol {r}}{r} + \boldsymbol {e} = \frac {\dot {\boldsymbol {r}} \times \boldsymbol {h}}{\mu} \tag {2.30} rr+e=μr˙×h(2.30)
式中， e=C/μe = C / \mue=C/μ 。无量纲矢量 eee 称为偏心率矢量。由矢量 eee 所定义的直线称之为拱线。为了得到标量形式，我们将式(2.30)两边作点乘运算
r⋅rr+r⋅e=r⋅(r˙×h)μ(2.31) \frac {\boldsymbol {r} \cdot \boldsymbol {r}}{r} + \boldsymbol {r} \cdot \boldsymbol {e} = \frac {\boldsymbol {r} \cdot (\dot {\boldsymbol {r}} \times \boldsymbol {h})}{\mu} \tag {2.31} rr⋅r+r⋅e=μr⋅(r˙×h)(2.31)
可以利用矢量的叉乘与点乘的交换性来简化等式的右边
A⋅(B×C)=(A×B)⋅C(2.32) \boldsymbol {A} \cdot (\boldsymbol {B} \times \boldsymbol {C}) = (\boldsymbol {A} \times \boldsymbol {B}) \cdot \boldsymbol {C} \tag {2.32} A⋅(B×C)=(A×B)⋅C(2.32)
可得
r⋅(r˙×h)=(r×r˙)⋅h=h⋅h=h2(2.33) \boldsymbol {r} \cdot (\dot {\boldsymbol {r}} \times \boldsymbol {h}) = (\boldsymbol {r} \times \dot {\boldsymbol {r}}) \cdot \boldsymbol {h} = \boldsymbol {h} \cdot \boldsymbol {h} = h ^ {2} \tag {2.33} r⋅(r˙×h)=(r×r˙)⋅h=h⋅h=h2(2.33)
将式(2.33)代入式(2.31)的右边，并将 r⋅r=r2r\cdot r = r^2r⋅r=r2 代入式(2.31)左边，可得
r+r⋅e=h2μ(2.34) r + r \cdot e = \frac {h ^ {2}}{\mu} \tag {2.34} r+r⋅e=μh2(2.34)
注意到在式(2.30)到式(2.34)的推导过程中，我们消去了时间这一变量。这是在方程(2.33)中得以体现的，因为 hhh 为常数。最后根据点乘的定义可得
r⋅e=recosθ \boldsymbol {r} \cdot \boldsymbol {e} = r e \cos \theta r⋅e=recosθ
图2.10 偏心率矢量 e\pmb{e}e 和位置矢量 r\pmb{r}r 的夹角即真近点角
式中， eee 为偏心率(偏心率矢量 e\pmb{e}e 的模）， θ\thetaθ 为真近点角。如图2.10所示， θ\thetaθ 为固定的偏心率矢量 e\pmb{e}e 和可变位置矢量 r\pmb{r}r 的夹角（其他常用真近点角的表示符号为 v,f,v,ϕ)v,f,v,\phi)v,f,v,ϕ) 。利用偏心率和真近点角可以将式(2.34)改写为
r+recosθ=h2μ r + r e \cos \theta = \frac {h ^ {2}}{\mu} r+recosθ=μh2
或表示成
r=h2μ11+ecosθ(2.35) r = \frac {h ^ {2}}{\mu} \frac {1}{1 + e \cos \theta} \tag {2.35} r=μh21+ecosθ1(2.35)
这就是轨道方程，其定义了 m2m_2m2 相对于m1m_{1}m1 的运动轨迹。
注意: μ,h,e\mu, h, eμ,h,e 均为常数, 且当偏心率为负值时无意义, 即 e⩾0e \geqslant 0e⩾0 , 因为此轨道方程为圆锥曲线, 包括椭圆, 所以这就是开普勒第一定律的数学描述: 行星围绕太阳做椭圆运动。二体问题的轨道常称为开普勒轨道。
在2.3节中，我们指出：相对运动的积分方程式(2.15)中含六个积分常数。本节中我们试图找出这六个积分常数：角动量 h\pmb{h}h 的三个分量和偏心率矢量 e\pmb{e}e 的三个分量。但我们已证明 h\pmb{h}h 垂直于 e\pmb{e}e ，这便形成了一个已知条件： h⋅e=0\pmb{h} \cdot \pmb{e} = 0h⋅e=0 ，所以 h\pmb{h}h 和 e\pmb{e}e 的六个积分常数中，实际上只有五个是相互独立的。在第3章中我们将对第六个运动常数进行阐述。
位置矢量 r\pmb{r}r 的角速度为 θ˙\dot{\theta}θ˙ , 即真近点角的变化率。垂直于位置矢量的速度分量可由角速度表示
v⊥=rθ˙(2.36) v _ {\perp} = r \dot {\theta} \tag {2.36} v⊥=rθ˙(2.36)
将式(2.36)代入式(2.21)就得到以角速度表示的单位角动量
h=r2θ˙(2.37) h = r ^ {2} \dot {\theta} \tag {2.37} h=r2θ˙(2.37)
我们可以很容易地求出图2.11所示的速度径向和侧向分量。由 h=rv⊥h = r v_{\perp}h=rv⊥ 可得
v⊥=hr v _ {\perp} = \frac {h}{r} v⊥=rh
将式(2.35)中的 rrr 代入上式，显然有
v⊥=μh(1+ecosθ)(2.38) v _ {\perp} = \frac {\mu}{h} (1 + e \cos \theta) \tag {2.38} v⊥=hμ(1+ecosθ)(2.38)
又因为 vr=r˙v_{r} = \dot{r}vr=r˙ ，对式(2.35)求导，可得
r˙=drdt=h2μ[−e(−θ˙sinθ)(1+ecosθ)2]=h2μesinθ(1+ecosθ)2hr2 \dot {r} = \frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t} = \frac {h ^ {2}}{\mu} \left[ - \frac {e (- \dot {\theta} \sin \theta)}{(1 + e \cos \theta) ^ {2}} \right] = \frac {h ^ {2}}{\mu} \frac {e \sin \theta}{(1 + e \cos \theta) ^ {2}} \frac {h}{r ^ {2}} r˙=dtdr=μh2[−(1+ecosθ)2e(−θ˙sinθ)]=μh2(1+ecosθ)2esinθr2h
这里我们利用了式(2.37)的结果。将式(2.35)再次代入，化简后，最终可得
vr=μhesinθ(2.39) v _ {r} = \frac {\mu}{h} e \sin \theta \tag {2.39} vr=hμesinθ(2.39)
由式(2.35)可知：当 θ=0\theta = 0θ=0 时， m2m_{2}m2 与 m1m_{1}m1 相距最近（r最小，但当 e=0e = 0e=0 时为特殊情况， m2m_{2}m2 与 m1m_{1}m1 两者间的距离为常量）。拱线上距离最近的点称为近地点。如图2.11所示，令真近点角等于0时，可得近地点的距离 rpr_{\mathrm{p}}rp 为
rp=h2μ11+e(2.40) r _ {\mathrm {p}} = \frac {h ^ {2}}{\mu} \frac {1}{1 + e} \tag {2.40} rp=μh21+e1(2.40)
显然，近地点处 vr=0v_{r} = 0vr=0 。
图2.11也给出了飞行路径角 γ\gammaγ ，其为速度矢量 v=r˙\pmb {v} = \dot{\pmb{r}}v=r˙ 和垂直于位置矢量的法线之间的夹角。此法线与 v⊥\pmb{v}_{\perp}v⊥ 的方向一致，称之为当地地平。由图2.11显示
tanγ=vrv⊥(2.41) \tan \gamma = \frac {v _ {r}}{v _ {\perp}} \tag {2.41} tanγ=v⊥vr(2.41)
代入式(2.38)和式(2.39)，可得
tanγ=esinθ1+ecosθ(2.42) \tan \gamma = \frac {e \sin \theta}{1 + e \cos \theta} \tag {2.42} tanγ=1+ecosθesinθ(2.42)
图2.11 m2m_{2}m2 在以 m1m_{1}m1 为中心的极坐标系的位置和速度、真近点角 θ\thetaθ 以及飞行路径角 γ\gammaγ
由于 cos(−θ)=cosθ\cos (-\theta) = \cos \thetacos(−θ)=cosθ ，所以由此轨道方程所描述的轨迹关于拱线对称，如图2.12所示。图中也给出了连接轨道上任意两点的直线，称为弦。通过质心且与拱线相垂直的弦称为通径。由于对称性，质心将通径分为长度均为 ppp 的两部分，每一部分称为半通径。 ppp 也称为轨道参数。由式(2.35)显然可得
p=h2μ(2.43) p = \frac {h ^ {2}}{\mu} \tag {2.43} p=μh2(2.43)
由于 m2m_{2}m2 相对于 m1m_{1}m1 的路径处于一个平面内，为简便起见，我们仍从平面的上方来分析研究其轨迹。除非有特殊原因，一般情况下可认为偏心率矢量指向右方且 m2m_{2}m2 围绕 m1m_{1}m1 呈逆时针方向运动，即真近点角以逆时针方向为正。这也与通常极坐标中的符号约定相一致。
图2.12 轨道上任意两点间的弦和通径