状态的演化：量子世界的时间箭头 | 量子门与酉变换

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从薛定谔方程到矩阵乘法，量子态如何随时间流动？

引言：量子态不是静止的

在之前的文章中，我们学会了如何用态矢 (|\psi\rangle) 描述一个量子系统的状态。我们也知道量子可以同时处于多个状态的叠加------比如一个量子比特可以同时是 (|0\rangle) 和 (|1\rangle)。但一个自然而然的问题是：量子态会随时间变化吗？如果会，它是如何演化的？

在经典物理中，物体的状态（位置、速度）随时间的变化由牛顿定律支配。在量子世界，状态的演化由薛定谔方程 描述。但幸运的是，对于量子计算而言，我们并不需要求解偏微分方程------在封闭量子系统中，演化被简化为一个非常优雅的数学形式：酉变换。

本文将带你深入理解：

量子态演化的数学本质------酉矩阵
为什么演化必须是"酉"的（概率守恒）
量子门就是实现演化的酉矩阵
以X门为例，亲手计算态矢的变换
用Python模拟量子门的作用

一、封闭系统的演化：酉变换

1.1 基本假设

量子力学中有一条基本假设：封闭量子系统的演化由酉变换描述。所谓"封闭"，是指系统与外界没有相互作用，没有测量干扰。

具体地说，假设系统在 t0t_0t0 时刻处于状态 ∣ψ(t0)⟩|\psi(t_0)\rangle∣ψ(t0)⟩，经过一段时间后，在 ttt 时刻的状态为：
∣ψ(t)⟩=U(t,t0)∣ψ(t0)⟩ |\psi(t)\rangle = U(t, t_0) |\psi(t_0)\rangle ∣ψ(t)⟩=U(t,t0)∣ψ(t0)⟩

其中 (U(t, t_0)) 是一个只依赖于时间 (t) 和 (t_0) 的算符，它满足酉性条件 ：
U†U=UU†=I U^\dagger U = U U^\dagger = I U†U=UU†=I

这里 U†U^\daggerU† 是 UUU 的共轭转置（转置后再取每个元素的复共轭），III 是单位矩阵。

1.2 为什么必须是酉的？

酉性条件有两个核心物理要求：

概率守恒 ：初始态 ∣ψ(t0)⟩|\psi(t_0)\rangle∣ψ(t0)⟩ 满足归一化 ⟨ψ(t0)∣ψ(t0)⟩=1\langle\psi(t_0)|\psi(t_0)\rangle = 1⟨ψ(t0)∣ψ(t0)⟩=1。演化后：
$\\langle\\psi(t)\|\\psi(t)\\rangle = \\langle\\psi(t_0)\| U\^\\dagger U \|\\psi(t_0)\\rangle = \\langle\\psi(t_0)\|\\psi(t_0)\\rangle = 1 $4 概率和始终为1，符合物理实际。$

1.3 酉矩阵的性质

酉矩阵的行列式的模为1：∣det⁡U∣=1|\det U| = 1∣detU∣=1
酉矩阵的特征值的模为1
酉矩阵的列向量构成一组标准正交基

在量子计算中，所有合法的量子门都是酉矩阵。

二、量子门：酉矩阵的物理化身

2.1 什么是量子门？

量子门就是作用在量子比特上的基本操作，对应一个酉矩阵。它们可以改变量子比特的状态，但必须保持归一化和可逆性。

最简单的量子门是作用在单量子比特上的门，它们在计算基 {∣0⟩,∣1⟩}\{|0\rangle, |1\rangle\}{∣0⟩,∣1⟩} 下可以表示为 2×22 \times 22×2 酉矩阵。

2.2 泡利矩阵：基础中的基础

泡利矩阵是一组最重要的酉矩阵，它们构成了单量子比特门的基础：