数据结构 - 并查集的应用

[数据结构并查集](#数据结构并查集)
- 森林的双亲表示法
- 并查集能解决的问题
- 并查集对数据的操作
- 并查集OJ举例
- - [P3367 【模板】并查集 - 洛谷](#P3367 【模板】并查集 - 洛谷)
  - [P1551 亲戚 - 洛谷并查集模板](#P1551 亲戚 - 洛谷并查集模板)
  - [P1596 Lake Counting S 洛谷二维转一维并查集](#P1596 Lake Counting S 洛谷二维转一维并查集)
  - 1329：【例8.2】细胞
  - [P1955 程序自动分析 - 洛谷离散化处理](#P1955 程序自动分析 - 洛谷离散化处理)
扩展域并查集
- 敌人朋友关系
- [P1892 团伙 - 洛谷](#P1892 团伙 - 洛谷)
- [P2024 食物链 - 洛谷 3个关系](#P2024 食物链 - 洛谷 3个关系)
带权并查集
- 权值为结点间距离的并查集
- [P2024 食物链 - 洛谷](#P2024 食物链 - 洛谷)
- - 扩展域并查集的应用分析
  - 基于分析得出的特别现象
- [P1196 银河英雄传说 - 洛谷](#P1196 银河英雄传说 - 洛谷)
[参考 OJ](#参考 OJ)

数据结构并查集

建议先看树概念及结构-CSDN博客，因为并查集本质就是森林的合并。

森林的双亲表示法

对一棵树而言，除了根节点外，其余每个结点一定有且仅有一个双亲，双亲表示法就是根据这个特点存储树的，也就是把每个结点的双亲存下来。

因此可以采用数组来存储每个结点的父亲结点的编号，这就实现了双亲表示法。

并查集能解决的问题

有些问题需要维护若干个集合，并且基于这些集合要频繁执行下面的操作：

查询操作 （find，可更换）：查找元素 x x x 属于哪一个集合。一般会在每个集合中选取一个元素作为代表，查询的是这个集合中的代表元素。
合并操作 （unionn）：将元素 x x x 所在的集合与元素 y y y 所在的集合合并成一个集合。合并2个元素需要有理由，这个理由在被合并的集合中的任意2个元素都适用。用unionn是为了避免和库中的关键字union冲突。
判断操作 （issame）：判断元素 x x x 和 y y y 是否在同一个集合。

用其他数据结构例如哈希表、键值对等虽然能实现快速查找，但合并时需要遍历整个集合的元素，时间复杂度 O ( N ) \text{O}(N) O(N) ， N N N 是被合并的集合的元素个数。因此哈希表并不能完美适配类似的问题。

并查集是一种用于维护元素所属集合的数据结构，实现为一个森林，其中每棵树表示一个集合 ，树中的结点表示对应集合中的元素 ，根结点代表整个集合 。并查集在双亲表示法的基础上，根结点一般保存自身。

可以发现，这三个问题都是需要找到集合中的元素代表的集合是哪个。若每个集合可以表示成树，则问题可以转化成森林的操作：

查询操作 （find）：查找结点 x x x 的根结点。
合并操作 （unionn）：将结点 x x x 所在的树的根结点，作为结点 y y y 所在的树的一个子树。
判断操作 （issame）：判断结点 x x x 和 y y y 是否在同一个树上。

而这些也是并查集作为数据结构对数据的操作。

并查集对数据的操作

在解决问题时，集合并不是一开始就已经成形，而是在解决问题的过程中根据需求逐渐合并形成的。因此使用并查集解决问题或维护数据需要做的操作：

建立新的集合。这个是必做，开始时将每个元素都作为只有1个结点的树。
合并操作。
查询操作。
判断操作。

建立新的集合 或初始化 ：记 father[i] 表示 i 集合的代表元素也就是根结点。

c 复制代码

void make(vector<int> &father) {
    for (size_t i = 0; i < father.size(); i++)
        father[i] = i;
}

合并操作：

c 复制代码

// 朴素思维，容易使x和y之间间隔的长度变得很长，加大访问难度
// （或集合变成静态链表的形式）因此一般不用
void unionn(int x, int y) {
    father[x] = y;
}

// 优化版本，直接将每个集合的代表元素进行拼接，若集合树的树高为2则忽略
void unionn(int x, int y) {
    x = find(x);
    y = find(y);
    father[y] = x;
}

// 更优雅的优化版本，原理都是一样的
void unionn(int x, int y) {
    father[find(y)] = find(x);
}

查询操作：

朴素寻找，非递归。

c 复制代码

int find(int x) {
    while (x != father[x])
        x = father[x];
    return x;
}

朴素寻找，递归。

cpp 复制代码

int find(int x) {
    if (x != father[x])
        return find(father[x]);
    return x;
}

路径压缩（递归）。即查询的过程中，将所有结点的父结点改成根结点，防止数据成链的特殊情况。也有按秩合并，详细见《算法导论》，平时使用路径压缩即可。一般情况下路径压缩也是最常用的，除非有特殊需求。

cpp 复制代码

// 路径压缩的查询操作
int find(int x) {
    if (x != father[x])
        father[x] = find(father[x]);
    return father[x];
}
// 这个代码可以简写成2行或3行
int find(int x) {
    return x == father[x] ? x : (father[x] = find(father[x]));
}

路径压缩还可用非递归实现，原理都是栈数据结构。

cpp 复制代码

int find(int x) {
    stack<int> sk;
    sk.push(x);
    while (father[x] != x) {
        sk.push(father[x]);
        x = father[x];
    }
    while (!sk.empty()) {
        father[sk.top()] = x;
        sk.pop();
    }
    return x;
}

判断操作，即判断 2 个结点是否是同一个集合：

c 复制代码

bool judg(int x, int y) {
    return find(x) == find(y);
}

并查集OJ举例

P3367 【模板】并查集 - 洛谷

说是模板题，但数据量增大，查询操作只能用路径压缩。

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int>father;

int find(int x) {
	return x == father[x] ? x : (father[x] = find(father[x]));
}

int main() {
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	father.resize(n + 1, 0);
	//建立新的集合
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		father[i] = i;
	for (int i = 1, z, x, y; i <= m; i++) {
		cin >> z>>x>>y;
		if (z == 1) {
			//合并操作
			father[find(x)] = find(y);
		}
		else {
			//判断操作
			cout << (find(x) == find(y) ? "Y" : "N") << endl;
		}
	}
	return 0;
}

P1551 亲戚 - 洛谷并查集模板

P1551 亲戚 - 洛谷

1346：【例4-7】亲戚(relation)

可以利用并查集来维护亲戚关系，算是并查集的模板题。本题要输入的数据量相对较大，全部使用cin获取数据可能超时，所以用scanf配合路径压缩。

1346：【例4-7】亲戚(relation) 参考程序：

c 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int>father;

//路径压缩
int find(int x) {
	if (x != father[x])
		father[x] = find(father[x]);
	return father[x];
}

int main() {
	int n, m, q;
	cin >> n >> m;
	father.resize(n + 1, 0);
	//建立新的集合
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		father[i] = i;

	while (m--) {
		int x, y;
		scanf("%d%d", &x, &y);
		x = find(x);
		y = find(y);
		//合并操作
		if (x != y)//个人感觉有没有这个影响不大
			father[x] = y;
	}
	cin >> q;
	while (q--) {
		int x, y;
		scanf("%d%d", &x, &y);
		//查询操作
		cout << (find(x) == find(y) ? "Yes" : "No") << "\n";
	}
	return 0;
}

P1551 亲戚 - 洛谷的数据量比1346：【例4-7】亲戚(relation)小，可以用cin。

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int>father;

//路径压缩查询操作
int find(int x) {
	return x == father[x] ? x : (father[x] = find(father[x]));
}

int main() {
	int n, m, p;
	cin >> n >> m >> p;
	father.resize(n + 1, 0);
	//建立新的集合
	for (int i = 0; i <= n; i++)
		father[i] = i;

	//按照最初关系进行合并
	for (int i = 1, x, y, fx, fy; i <= m; i++) {
		cin >> x >> y;
		//合并操作
		fx = find(x);
		fy = find(y);
		father[fx] = fy;
	}

	for (int i = 1, x, y; i <= p; i++) {
		cin >> x >> y;
		//判断操作
		if (find(x) == find(y))
			cout << "Yes\n";
		else
			cout << "No\n";
	}
	return 0;
}

数据结构 - 并查集的应用

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