🔥工程代码已上传至github：github.com/doublev2026...
二叉树与B树
二叉树问题分析
二叉树的操作效率较高，但是也存在问题。如下一颗满二叉树：
二叉树需要加载到内存的，如果二叉树的节点少则没有什么问题。但是如果二叉树的节点很多 （ 比如1 亿 ）， 就存在如下问题 ：
问题1：在构建二叉树时，需要多次进行i/o操作（海量数据存在数据库或文件中 ）， 节点海量，构建二叉树时速度有影响；
问题2：节点海量，也会造成二叉树的高度很大，会降低操作速度。
多叉树
在二叉树中，每个节点有数据项，最多有两个子节点。如果允许每个节点可以有 更多的数据项 和 更多的子节点 ，就是多叉树（multiway tree）。
2-3树、2-3-4树就是多叉树。多叉树通过重新组织节点，减少树的高度，能对二叉树进行优化。
举例说明（下面2-3树就是一颗多叉树）：
B树基本介绍
B树通过重新组织节点、降低树的高度、减少i/o读写次数来提升效率。
- 如图B树通过重新组织节点，低了树的高度；
- 文件系统及数据库系统的设计者利用了磁盘预读原理，将一个节点的大小设为等于一个页（页的大小通常为4k），这样每个节点只需要一次I/O就可以完全载入；
- 将树的度M设置为1024，在600亿个元素中最多只需要4次I/O操作就可以读取到想要的元素, B树（B+）广泛应用于文件存储系统以及数据库系统中。
2-3树
2-3树简介
2-3树是最简单的B树结构，具有如下特点：
- 2-3树的所有叶子节点都在同一层（只要是B树都满足这个条件）
- 有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点
- 有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点
- 2-3树是由二节点和三节点构成的树
2-3树应用案例
需求：将数列 {16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 构建成2-3树，并保证数据插入的大小顺序
插入规则：
- 2-3树的所有叶子节点都在同一层（只要是B树都满足这个条件）
- 有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点
- 有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点
- 当按照规则插入一个数到某个节点时，不能满足上面三个要求，就需要拆。先向上拆，如果上层满，则拆本层，拆后仍然需要满足上面3个条件
- 对于三节点的子树的值大小仍然遵守（BST 二叉排序树）的规则
其它说明
除了23树，还有234树等，概念和23树类似，也是一种B树。如图所示：
B树、B+树、B*树
B树介绍
B-tree树即B树，B即Balanced，平衡的意思。有人把B-tree翻译成B-树，容易让人产生误解。会以为B-树是一种树，而B树又是另一种树。实际上，B-tree就是指的B树。
前面已经介绍了2-3树和2-3-4树，他们就是B树（英语：B-tree 也写成B-树）。在学习Mysql时，经常听到说某种类型的索引是基于B树或者B+树的，如图：
对上图B树的说明：
- B树的阶：节点的最多子节点个数。比如2-3树的阶是3，2-3-4树的阶是4
- B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点
- 关键字集合分布在整颗树中, 即叶子节点和非叶子节点都存放数据
- 搜索有可能在非叶子结点结束
- 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找
B+树介绍
B+树是B树的变体，也是一种多路搜索树。
对上图B+树的说明：
- B+树的搜索与B树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找
- 所有关键字都出现在叶子结点的链表中（即数据只能在叶子节点【也叫稠密索引】），且链表中的关键字（数据）恰好是有序的
- 不可能在非叶子结点命中
- 非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层
- 更适合文件索引系统
- B树和B+树各有自己的应用场景，不能说B+树完全比B树好，反之亦然
B*树介绍
B*树是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针。
对上图B*树的说明：
- B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3，而B+树的块的最低使用率为B+树的1/2
- 从第1个特点我们可以看出，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高