剑指offer-80、⼆叉树中和为某⼀值的路径(二)

题⽬描述

给定⼀个⼆叉树root和⼀个整数值 sum ，求该树有多少路径的的节点值之和等于 sum 。

该题路径定义不需要从根节点开始，也不需要在叶⼦节点结束，但是⼀定是从⽗亲节点往下到孩⼦节点
总节点数⽬为 n
保证最后返回的路径个数在整形范围内

假如⼆叉树 root 为 {1,2,3,4,5,4,3,#,#,-1} ， sum=6 ，那么总共如下所示，

思路及解答

双重递归法（暴力解法）

外层递归遍历所有节点作为起点，内层递归计算从该点向下的路径和

java 复制代码

public class Solution {
    public int pathSum(TreeNode root, int targetSum) {
        if (root == null) return 0;
        
        // 以当前节点为起点的路径数 + 左右子树的路径数
        return countPaths(root, targetSum) + 
               pathSum(root.left, targetSum) + 
               pathSum(root.right, targetSum);
    }
    
    /**
     * 计算以当前节点为起点的路径数
     */
    private int countPaths(TreeNode node, long targetSum) {
        if (node == null) return 0;
        
        int count = 0;
        
        // 如果当前节点值等于目标值，找到一条路径
        if (node.val == targetSum) {
            count++;
        }
        
        // 递归计算左右子树
        count += countPaths(node.left, targetSum - node.val);
        count += countPaths(node.right, targetSum - node.val);
        
        return count;
    }
}

时间复杂度：O(n²)，最坏情况下每个节点都要递归遍历其子树
空间复杂度：O(n)，递归栈深度

前缀和哈希表（最优解）

从根节点到当前节点的路径和curSum，查找curSum-targetSum是否存在

前缀和核心思想：

路径和 = 当前前缀和 - 之前某个前缀和
curSum - targetSum是否存在于前缀和哈希表中
如果存在，说明从那个节点到当前节点的路径和为targetSum

执行示例（树[10,5,-3,3,2,null,11,3,-2,null,1]，sum=8）：

text 复制代码

从根到节点3：前缀和=10+5+3=18
targetSum=8 → 查找18-8=10是否存在
哈希表中有10（根节点）→ 找到路径：5->3

java 复制代码

import java.util.HashMap;

public class Solution {
    public int pathSum(TreeNode root, int targetSum) {
        // 哈希表存储前缀和及其出现次数
        HashMap<Long, Integer> prefixSum = new HashMap<>();
        prefixSum.put(0L, 1); // 初始前缀和为0，出现1次
        
        return dfs(root, 0, targetSum, prefixSum);
    }
    
    private int dfs(TreeNode node, long curSum, int targetSum, 
                    HashMap<Long, Integer> prefixSum) {
        if (node == null) return 0;
        
        // 计算从根节点到当前节点的前缀和
        curSum += node.val;
        
        // 查找前缀和中是否存在curSum - targetSum
        // 如果存在，说明从那个节点到当前节点的路径和为targetSum
        int count = prefixSum.getOrDefault(curSum - targetSum, 0);
        
        // 将当前前缀和加入哈希表
        prefixSum.put(curSum, prefixSum.getOrDefault(curSum, 0) + 1);
        
        // 递归处理左右子树
        count += dfs(node.left, curSum, targetSum, prefixSum);
        count += dfs(node.right, curSum, targetSum, prefixSum);
        
        // 回溯：移除当前前缀和，避免影响其他分支
        prefixSum.put(curSum, prefixSum.get(curSum) - 1);
        
        return count;
    }
}

时间复杂度：O(n)，每个节点只访问一次
空间复杂度：O(n)，哈希表存储n个前缀和

记忆化递归法

使用记忆化技术缓存计算结果，为每个节点存储从该节点向下的路径和计数,优化递归效率。

java 复制代码

import java.util.HashMap;

public class Solution {
    public int pathSum(TreeNode root, int targetSum) {
        return pathSumHelper(root, targetSum, new HashMap<>());
    }
    
    private int pathSumHelper(TreeNode node, int targetSum, 
                              HashMap<TreeNode, Integer> memo) {
        if (node == null) return 0;
        
        // 如果结果已缓存，直接返回
        if (memo.containsKey(node)) {
            return memo.get(node);
        }
        
        // 计算以当前节点为起点的路径数
        int count = countFromNode(node, targetSum, 0);
        
        // 递归计算左右子树
        count += pathSumHelper(node.left, targetSum, memo);
        count += pathSumHelper(node.right, targetSum, memo);
        
        // 缓存结果
        memo.put(node, count);
        
        return count;
    }
    
    private int countFromNode(TreeNode node, int targetSum, long currentSum) {
        if (node == null) return 0;
        
        currentSum += node.val;
        int count = 0;
        
        if (currentSum == targetSum) {
            count++;
        }
        
        count += countFromNode(node.left, targetSum, currentSum);
        count += countFromNode(node.right, targetSum, currentSum);
        
        return count;
    }
}

时间复杂度：O(n)，每个节点计算一次
空间复杂度：O(n)，缓存所有节点结果