5.二维伊藤引理
上节介绍了一维的伊藤引理，现实生活中常涉及到二维以及多维的问题，所以接下来介绍二维伊藤引理
二维Ito引理
令函数f(t,x,y)f(t,x,y)f(t,x,y)的各一阶和二阶偏导数存在且连续。假设X(t)X(t)X(t)和Y(t)Y(t)Y(t)均是伊藤过程，则相对应的二维伊藤公式如下
df=ftdt+fXdX(t)+fYdY(t)+fXY[dX(t)dY(t)]+12fXX[dX(t)]2+12fYY[dY(t)]2 \begin{equation*} df=f_{t}dt+f_{X}dX(t)+f_{Y}dY(t)+f_{XY}\left[ dX(t)dY(t)\right] +\frac{1}{2}% f_{XX}\left[ dX(t)\right] ^{2}+\frac{1}{2}f_{YY}\left[ dY(t)\right] ^{2} \end{equation*} df=ftdt+fXdX(t)+fYdY(t)+fXY[dX(t)dY(t)]+21fXX[dX(t)]2+21fYY[dY(t)]2
为什么这里项fXY[dX(t)dY(t)]f_{XY}\left[ dX(t)dY(t)\right]fXY[dX(t)dY(t)]系数为1，这个公式来源还是泰勒展开，按理来说应该是12fXY[dX(t)dY(t)]\frac{1}{2}f_{XY}\left[ dX(t)dY(t)\right]21fXY[dX(t)dY(t)]和12fYX[dY(t)dX(t)]\frac{1}{2}f_{YX}\left[ dY(t)dX(t)\right]21fYX[dY(t)dX(t)]，但是因为二阶偏导数存在且连续的情况下fXY=fYXf_{XY}=f_{YX}fXY=fYX。
伊藤乘法法则（Ito's product rule）
假设X(t)X(t)X(t)和Y(t)Y(t)Y(t)均是伊藤过程，则有
d(X(t)Y(t))=X(t)dY(t)+Y(t)dX(t)+dX(t)dY(t) \begin{equation*} d\left( X(t)Y(t)\right) =X(t)dY(t)+Y(t)dX(t)+dX(t)dY(t) \end{equation*} d(X(t)Y(t))=X(t)dY(t)+Y(t)dX(t)+dX(t)dY(t)
注意：对于普通函数F(t)F(t)F(t)和G(t)G(t)G(t)，其微分的乘法法则如下
d(F(t)G(t))=F(t)dG(t)+G(t)dF(t) \begin{equation*} d\left( F(t)G(t)\right) =F(t)dG(t)+G(t)dF(t) \end{equation*} d(F(t)G(t))=F(t)dG(t)+G(t)dF(t)
相比之下，在伊藤过程中，其微分的乘法却多出一项dX(t)dY(t)dX(t)dY(t)dX(t)dY(t)，称为交叉变差项（cross variation term），出现这项的原因在于，布朗运动的二次变差不为0.
大致说明：
proof of product rule
Assume Z(t)=X(t)Y(t)Z(t)=X(t)Y(t)Z(t)=X(t)Y(t) is a stochastic process, and Z(t)Z(t)Z(t) can be written as
Z(X,Y)Z(X,Y)Z(X,Y). As before, ZZZ depends on XXX and Y\ Y Y, hence ZX=Y(t)Z_{X}=Y(t)ZX=Y(t), ZY=X(t)% Z_{Y}=X(t)ZY=X(t); ZXX=0Z_{XX}=0ZXX=0, ZYY=0Z_{YY}=0ZYY=0; ZXY=1Z_{XY}=1ZXY=1.
dZ=Ztdt+ZXdX+ZYdY+12ZXX(dX)2+12ZYY(dY)2+ZXY(dX)(dY)=0+Y(t)dX(t)+X(t)dY(t)+0+0+dXdY=Y(t)dX(t)+X(t)dY(t)+dX(t)dY(t) \begin{aligned} dZ =&Z_{t}dt+Z_{X}dX+Z_{Y}dY+\frac{1}{2}Z_{XX}(dX)^{2}+\frac{1}{2}% Z_{YY}(dY)^{2}+Z_{XY}(dX)(dY) \\ =&0+Y(t)dX(t)+X(t)dY(t)+0+0+dXdY \\ =&Y(t)dX(t)+X(t)dY(t)+dX(t)dY(t) \end{aligned} dZ===Ztdt+ZXdX+ZYdY+21ZXX(dX)2+21ZYY(dY)2+ZXY(dX)(dY)0+Y(t)dX(t)+X(t)dY(t)+0+0+dXdYY(t)dX(t)+X(t)dY(t)+dX(t)dY(t)
d(XY)=XdY+YdX+dXdY \begin{equation*} d(XY)=XdY+YdX+dXdY \end{equation*} d(XY)=XdY+YdX+dXdY
This result is known as the Ito product rule.
伊藤乘法法则
对d(X(t)Y(t))=Y(t)dX(t)+X(t)dY(t)+dX(t)dY(t)d(X(t)Y(t))=Y(t)dX(t)+X(t)dY(t)+dX(t)dY(t)d(X(t)Y(t))=Y(t)dX(t)+X(t)dY(t)+dX(t)dY(t)的两侧同时取积分，可得
∫0td(X(u)Y(u))=∫0tX(u)dY(u)+∫0tY(u)dX(u)+∫0td⟨X,Y⟩(u) \begin{equation*} \int_{0}^{t}d\left( X(u)Y(u)\right) =\int_{0}^{t}X(u)dY(u)+\int_{0}^{t}Y(u)dX(u)+\int_{0}^{t}d\left\langle X,Y\right\rangle (u) \end{equation*} ∫0td(X(u)Y(u))=∫0tX(u)dY(u)+∫0tY(u)dX(u)+∫0td⟨X,Y⟩(u)
X(t)Y(t)=X(0)Y(0)+∫0tX(u)dY(u)+∫0tY(u)dX(u)+∫0td⟨X,Y⟩(u) \begin{equation*} X(t)Y(t)=X(0)Y(0)+\int_{0}^{t}X(u)dY(u)+\int_{0}^{t}Y(u)dX(u)+\int_{0}^{t}d% \left\langle X,Y\right\rangle (u) \end{equation*} X(t)Y(t)=X(0)Y(0)+∫0tX(u)dY(u)+∫0tY(u)dX(u)+∫0td⟨X,Y⟩(u)
其中d⟨X,Y⟩(u)=dX(u)dY(u)d\left\langle X,Y\right\rangle (u)=dX(u)dY(u)d⟨X,Y⟩(u)=dX(u)dY(u)也就是交叉变差项。
伊藤乘法法则的推论
假设X(t)X(t)X(t)是伊藤过程，G(t)G(t)G(t)是确定性函数，则有
d(X(t)G(t))=X(t)dG(t)+G(t)dX(t) \begin{equation*} d\left( X(t)G(t)\right) =X(t)dG(t)+G(t)dX(t) \end{equation*} d(X(t)G(t))=X(t)dG(t)+G(t)dX(t)
注意：此处没有交叉变差项dG(t)dX(t)dG(t)dX(t)dG(t)dX(t)，这是因为确定性函数G(t)G(t)G(t)当中不包含随机项，因此将之与随机函数X(t)X(t)X(t)求交叉变差后，dG(t)dX(t)≡0dG(t)dX(t) \equiv 0dG(t)dX(t)≡0，忽略。
大概理解的意思就是，确定性函数dG(t)dG(t)dG(t)当中只有dtdtdt项，没有dW(t)dW(t)dW(t)。只有X(t)X(t)X(t)中含有dW(t)dW(t)dW(t)，因为我们在前边得知dW(t)dt=0dW(t)dt=0dW(t)dt=0，所以也就没有交叉变差项dG(t)dX(t)dG(t)dX(t)dG(t)dX(t)
进一步如上，我们也可以推导到积分的形式。
对d(X(t)G(t))=X(t)dG(t)+G(t)dX(t)d(X(t)G(t))=X(t)dG(t)+G(t)dX(t)d(X(t)G(t))=X(t)dG(t)+G(t)dX(t)的两侧同时取积分，可得
∫0td(X(u)G(u))=∫0tX(u)dG(u)+∫0tG(u)dX(u) \begin{equation*} \int_{0}^{t}d\left( X(u)G(u)\right) =\int_{0}^{t}X(u)dG(u)+\int_{0}^{t}G(u)dX(u) \end{equation*} ∫0td(X(u)G(u))=∫0tX(u)dG(u)+∫0tG(u)dX(u)
X(t)G(t)=X(0)G(0)+∫0tX(u)dG(u)+∫0tG(u)dX(u) \begin{equation*} X(t)G(t)=X(0)G(0)+\int_{0}^{t}X(u)dG(u)+\int_{0}^{t}G(u)dX(u) \end{equation*} X(t)G(t)=X(0)G(0)+∫0tX(u)dG(u)+∫0tG(u)dX(u)
进一步，还可以得到
∫0tX(u)dG(u)=X(u)G(u)∣0t−∫0tG(u)dX(u) \begin{equation*} \int_{0}^{t}X(u)dG(u)=X(u)G(u){\LARGE |}{0}^{t}-\int{0}^{t}G(u)dX(u) \end{equation*} ∫0tX(u)dG(u)=X(u)G(u)∣0t−∫0tG(u)dX(u)
∫0tG(u)dX(u)=X(u)G(u)∣0t−∫0tX(u)dG(u) \begin{equation*} \int_{0}^{t}G(u)dX(u)=X(u)G(u){\LARGE |}{0}^{t}-\int{0}^{t}X(u)dG(u) \end{equation*} ∫0tG(u)dX(u)=X(u)G(u)∣0t−∫0tX(u)dG(u)
此处的结果与普通微积分的分部积分相似。integration by parts
6.习题
例6
假设随机过程X(t)X(t)X(t)对应的随机微分方程如下
dX(t)=−12bX(t)dt+12σdW(t) \begin{equation*} dX(t)=-\frac{1}{2}bX(t)dt+\frac{1}{2}\sigma dW(t) \end{equation*} dX(t)=−21bX(t)dt+21σdW(t)
求Y(t)=X(t)exp[12bt]Y(t)=X(t)\exp [\frac{1}{2}bt]Y(t)=X(t)exp[21bt]的随机微分方程。其中bbb和σ\sigmaσ都是常数。
解：Y(t)=X(t)exp[12bt]Y(t)=X(t)\exp [\frac{1}{2}bt]Y(t)=X(t)exp[21bt]左边可以看作是一个随机过程，右边是一个确定性函数。因此可以利用乘法法则。
令G(t)=exp[12bt]G(t)=\exp[\frac{1}{2}bt]G(t)=exp[21bt]，
微分可以得到dG(t)=exp[12bt]12bdt=12bG(t)dtdG(t)=\exp [\frac{1}{2}bt]\frac{1}{2}bdt=\frac{1}{2}bG(t)dtdG(t)=exp[21bt]21bdt=21bG(t)dt
dY(t)=d(X(t)G(t))=X(t)dG(t)+G(t)dX(t)=X(t)12bG(t)dt+G(t)[−12bX(t)dt+12σdW(t)]=12σG(t)dW(t)=12σexp[12bt]dW(t) \begin{aligned} dY(t) =&d\left( X(t)G(t)\right) =X(t)dG(t)+G(t)dX(t) \\ =&X(t)\frac{1}{2}bG(t)dt+G(t)\left[ -\frac{1}{2}bX(t)dt+\frac{1}{2}\sigma dW(t)\right] \\ =&\frac{1}{2}\sigma G(t)dW(t)=\frac{1}{2}\sigma \exp [\frac{1}{2}bt]dW(t) \end{aligned} dY(t)===d(X(t)G(t))=X(t)dG(t)+G(t)dX(t)X(t)21bG(t)dt+G(t)[−21bX(t)dt+21σdW(t)]21σG(t)dW(t)=21σexp[21bt]dW(t)
例7
已知关于S(t)S(t)S(t)的随机微分方程如下
dS(t)=μS(t)dt+V(t)S(t)dW1(t) \begin{equation*} dS(t)=\mu S(t)dt+\sqrt{V(t)}S(t)dW_{1}(t) \end{equation*} dS(t)=μS(t)dt+V(t) S(t)dW1(t)
其中
dV(t)=[a+bV(t)]dt+ξV(t)αdW2(t) \begin{equation*} dV(t)=\left[ a+bV(t)\right] dt+\xi V(t)^{\alpha }dW_{2}(t) \end{equation*} dV(t)=[a+bV(t)]dt+ξV(t)αdW2(t)
并且W1(t)W_{1}(t)W1(t)和W2(t)W_{2}(t)W2(t)均是标准布朗运动，两者的相关系数为ρ\rhoρ。求f(t,S,V)f(t,S,V)f(t,S,V)的随机微分方程。
df=ftdt+fSdS+fVdV+12[fSS(dS)2+fVV(dV)2]+fSV(dS)(dV) \begin{equation*} df=f_{t}dt+f_{S}dS+f_{V}dV+\frac{1}{2}\left[ f_{SS}(dS)^{2}+f_{VV}(dV)^{2}% \right] +f_{SV}(dS)(dV) \end{equation*} df=ftdt+fSdS+fVdV+21[fSS(dS)2+fVV(dV)2]+fSV(dS)(dV)
dS(t)dS(t)dS(t) and dV(t)dV(t)dV(t) are showed above, continually, (dS(t))2=V(t)S2(t)dt% (dS(t))^{2}=V(t)S^{2}(t)dt(dS(t))2=V(t)S2(t)dt, (dV(t))2=ξ2V(t)2αdt(dV(t))^{2}=\xi ^{2}V(t)^{2\alpha }dt(dV(t))2=ξ2V(t)2αdt. and we know dW1(t)dW2(t)=ρdtdW_{1}(t)dW_{2}(t)=\rho dtdW1(t)dW2(t)=ρdt beafore.
dS(t)dV(t)=ρξV(t)12+αS(t)dt \begin{equation*} dS(t)dV(t)=\rho \xi V(t)^{\frac{1}{2}+\alpha }S(t)dt \end{equation*} dS(t)dV(t)=ρξV(t)21+αS(t)dt
df=ftdt+fSdS+fVdV+12[fSS(dS)2+fVV(dV)2]+fSV(dS)(dV) \begin{equation*} df=f_{t}dt+f_{S}dS+f_{V}dV+\frac{1}{2}\left[ f_{SS}(dS)^{2}+f_{VV}(dV)^{2}% \right] +f_{SV}(dS)(dV) \end{equation*} df=ftdt+fSdS+fVdV+21[fSS(dS)2+fVV(dV)2]+fSV(dS)(dV)
The final result is
df=[ft+μS(t)fS+(a+bV(t))fV+ρξV(t)12+αS(t)fSV+12S(t)V(t)fSS+12ξ2V(t)2αfVV]dt+V(t)S(t)fSdW1(t)+ξV(t)αfVdW2(t) \begin{aligned} df =&\left[ f_{t}+\mu S(t)f_{S}+(a+bV(t))f_{V}+\rho \xi V(t)^{\frac{1}{2}% +\alpha }S(t)f_{SV}+\frac{1}{2}S(t)V(t)f_{SS}+\frac{1}{2}\xi ^{2}V(t)^{2\alpha }f_{VV}\right] dt \\ &+\sqrt{V(t)}S(t)f_{S}dW_{1}(t)+\xi V(t)^{\alpha }f_{V}dW_{2}(t) \end{aligned} df=[ft+μS(t)fS+(a+bV(t))fV+ρξV(t)21+αS(t)fSV+21S(t)V(t)fSS+21ξ2V(t)2αfVV]dt+V(t) S(t)fSdW1(t)+ξV(t)αfVdW2(t)
Heston 模型1993年提出的随机波动率模型，得到期权价格的解析解。