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一、实分析与测度论
- 抽象测度与积分
测度空间、σ-代数、可测集、可测函数、正测度、符号测度、复测度、Lebesgue测度、Lebesgue-Stieltjes测度、Hausdorff测度、Carathéodory扩张定理、测度的完备化、外测度、内测度、乘积测度、Fubini定理、Tonelli定理、积分收敛定理（单调收敛、控制收敛、Fatou引理）、Bochner积分（向量值函数）、Radon-Nikodym定理、Lebesgue分解定理、测度的奇异性、绝对连续性。 - 收敛性与可测函数
几乎处处收敛、依测度收敛、Lᵖ收敛、弱Lᵖ收敛、依分布收敛、叶戈罗夫定理（几乎处处收敛近似一致收敛）、卢津定理（可测函数近于连续）、可测函数的逼近（简单函数、连续函数）、Vitali收敛定理、一致可积性、Dunford-Pettis定理（弱紧性刻画）、逐点收敛与极大函数。 - 导数与微分理论
Vitali覆盖引理、Besicovitch覆盖引理、Lebesgue微分定理（局部可积函数的几乎处处可微性）、Radon-Nikodym导数、单调函数的几乎处处可微性、有界变差函数、Jordan分解、绝对连续函数、BV函数的微分、Sobolev空间W^{1,p}的初步、ACL刻画、近似极限、近似连续、密度的Lebesgue点。 - Lᵖ空间与不等式
Lᵖ空间的定义与完备性、Hölder不等式、Minkowski不等式、Lᵖ的对偶空间（p=1,∞时的特殊情况）、L^2的Hilbert结构、嵌入定理（紧嵌入与连续嵌入）、卷积、Young不等式、弱Lᵖ空间、Marcinkiewicz插值定理、Riesz-Thorin插值定理、Lorentz空间、分布函数、重排不等式。 - 抽象测度与拓扑
测度的正则性（内正则、外正则）、Radon测度、紧支撑测度、Borel测度、Riesz表示定理（紧Hausdorff空间上正线性泛涵对应Radon测度）、测度的弱收敛、Prokhorov定理（紧性准则）、测度的紧致性、Dirac测度、Portmanteau定理、测度的Lévy连续性定理、特征函数与测度的对应、取值于Banach空间的测度。 - 容度理论与几何测度论
容度（capacity）、能量、平衡分布、Newton容度、调和测度、Hausdorff维数、遍历性、拟极限、可加泛函、周氏容度、积分几何、Crofton公式、面积余面积公式、整流理论（rectifiable currents）、平板质量、平坦范数、Plateau问题、变分原理。 - Banach空间中的测度与极限
高斯测度、拓扑线性空间上的测度、柱测度、Minlos定理、Feynman积分（形式）、测度的Fourier变换（特征泛函）、大偏差原理、Cramér定理、Sanov定理、熵、收缩原理、Donsker定理（经验测度的收敛）、维纳测度与布朗运动。
二、复分析
- 全纯函数基础
复可微性、Cauchy-Riemann方程、幂级数展开、解析函数、全纯函数的基本性质（调和性、无穷可微性）、Cauchy积分定理、Cauchy积分公式、高阶导数公式、整函数、亚纯函数、孤立奇点分类（可去、极点、本性奇点）、Casorati-Weierstrass定理、Picard大定理与Picard小定理、解析延拓、单值性定理、对称原理。 - 共形映射
共形映射的定义与基本性质、Riemann映射定理（单连通区域到单位圆盘的共形等价）、边界对应（Carathéodory定理）、Schwarz引理及其推广（Schwarz-Pick引理）、单位圆盘的自同构群、上半平面的自同构、共形模、极值长度、Grötzsch问题、Teichmüller理论初步、单叶函数、Bieberbach猜想（de Branges定理）、Koebe 1/4覆盖定理。 - 级数与无穷乘积
Laurent级数、留数定理、幅角原理、Rouché定理、Weierstrass分解定理（整函数的因子分解）、Mittag-Leffler定理（亚纯函数的极部分解）、无穷乘积、Gamma函数、ζ函数、Weierstrassσ函数与椭圆函数、双周期函数、素数定理的复分析证明（简要）。 - 调和函数与次调和函数
Laplace方程、调和函数平均值性质、极大值原理、Dirichlet问题、Perron方法、调和测度、Harnack不等式、调和函数的梯度估计、次调和函数、上调和函数、Riesz分解（次调和函数可表为位势+调和函数）、位势理论、Green函数、调和测度的边界行为、Wiener准则（边界点的正则性）。 - 多复变初步
Hartogs现象（单复变没有的延拓性）、全纯域、拟凸域、Levi问题、多圆柱与球的全纯自同构、Cauchy积分公式的推广（Bochner-Martinelli）、全纯函数的局部性质、Cartan定理、Oka对偶、凝聚层、实解析子流形。 - 黎曼面与单值化
黎曼面定义、转移函数、层、上同调、Riemann-Roch定理、除数、线丛、亏格、Abel-Jacobi定理、Jacobian簇、单值化定理（单连通黎曼面只有三种：球面、复平面、单位圆盘）、模空间、Teichmüller空间、尖点、椭圆曲线、高亏格曲面的复结构、McMullen刚性定理。 - 值分布论与复动力系统
Nevanlinna理论（第一、第二基本定理）、特征函数、亏量、亏值、Picard定理（由Nevanlinna理论推出）、整函数与亚纯函数的增长级、Julia集、Fatou集、Mandelbrot集、有理函数的动力系统、双曲测度、Sullivan的叉点定理、Mane定理。
三、泛函分析（进阶）
- 拓扑向量空间与局部凸空间
拓扑向量空间、局部凸空间、半范数族、Minkowski泛函、Banach空间、Fréchet空间、核空间、空间的对偶、强拓扑、弱拓扑、弱拓扑、Alaoglu定理（单位球弱紧）、Mackey拓扑、桶型空间、一致有界原理的抽象形式、Hahn-Banach定理的几何形式（分离超平面定理）、Bishop-Phelps定理。 - 有界线性算子与谱理论
算子代数（B(X)）、强算子拓扑、弱算子拓扑、紧算子、有限秩算子、Schatten类（迹类、Hilbert-Schmidt类）、谱半径公式、Gelfand变换、Banach代数基本理论、可逆元群、谱集、谱映射定理、紧算子的谱（Riesz-Schauder理论）、自伴算子的谱定理（紧情形与无界情形）、正算子、极分解、正规算子、奇异值分解。 - 无界算子与自伴扩张
闭算子、可闭算子、图范数、对称算子、自伴算子、本质自伴算子、Cayley变换、亏指数、自伴扩张的von Neumann公式、Friedrichs扩张、对自伴算子的谱定理（乘子表示）、谱测度、谱族、Stone公式、量子力学的数学基础（位置、动量算子）、Stone-von Neumann唯一性定理。 - Banach代数与C*-代数
Banach代数、单位化、谱、Gelfand理论、极大理想空间、Gelfand-Naimark定理（交换C-代数同构于连续函数代数）、C-代数、正元、逼近单位、表示理论、GNS构造（表示与态一一对应）、C*-代数的分类、AF代数、K理论初步、K₀群、K₁群、Bott周期性（简要）、扩展理论。 - 非线性泛函分析
Banach空间中的微分学、Frchet导数（可微与全微分）、Gâteaux导数、隐函数定理（Nash-Moser迭代）、Brouwer度与Leray-Schauder度、拓扑度、不动点定理（Schauder、Kakutani、Ky Fan）、单调算子理论、极大单调算子、Minty技巧、增生算子、非光滑分析（次微分、Clarke梯度、凸分析中的泛函推广）、Hamilton-Jacobi方程的黏性解。 - 算子空间与量子泛函分析
算子空间（Banach空间上的完全有界映射）、完全有界范数、Ruan公理、射影张量积、Haagerup张量积、量化Banach空间、自由群作用、局部自反性、Oikhberg定理、完全正映射、Choi表示定理、非交换Lᵖ空间（超算子代数理论）、超滤子与超积、Grothendieck不等式（在算子空间中的改进）、非交换鞅理论。 - Fredholm理论与指标
Fredholm算子、指标、稳定性、紧扰动下的指标不变性、Atkinson定理（Fredholm等价于模紧可逆）、指标的解析定义、本质谱、半Fredholm算子、Weyl谱、Browder谱、指标的乘积公式、椭圆算子与Atiyah-Singer指标定理（简述）、Noncommutative几何（Connes）、Fredholm模、循环上同调、θ可和性。
四、傅立叶分析
- 局部紧群上的调和分析
局部紧群、Haar测度（存在性与唯一性）、模函数、幺模群、群代数L¹(G)、卷积、逼近单位、正则表示、Plancherel定理的初步、Pontryagin对偶（交换群）、特征标群、对偶群、傅里叶变换（交换群）、Plancherel定理（一般交换群）、Tauberian定理（Wiener、Gelfand）。 - 经典傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数、Dirichlet核、Fejér核、Cesàro求和、Fejér定理（连续函数的算术平均收敛）、Gibbs现象、Riemann-Lebesgue引理、平方收敛（Parseval定理）、Lᵖ收敛性（p=1,2,∞的问题）、Carleson定理（L²函数的傅里叶级数几乎处处收敛）、Hunt推广、傅里叶变换在Rⁿ上、Schwartz空间、缓增分布、傅里叶变换的连续延拓、卷积定理、Plancherel定理（L²上的酉性）、Poisson求和公式。 - 乘子与插值理论
傅里叶乘子、Lᵖ有界性、Hörmander乘子定理、Marcinkiewicz乘子定理（对调和的）、Mikhlin乘子定理、Littlewood-Paley理论、频率分解、平方函数、Hilbert变换（奇异积分）、Calderón-Zygmund分解、Ap权理论、加权不等式、单边权、Backward反演。 - 调和分析中的实方法
Hardy-Littlewood极大函数、弱(1,1)型、Lᵖ有界性（p>1）、强极大函数、Viimala覆盖引理、奇异积分算子的Calderón-Zygmund理论、标准核、T(1)定理（David-Journé）、拟微分算子与FIO（Fourier积分算子）初步、BMO空间、John-Nirenberg不等式、Fefferman定理（BMO是H¹的对偶）、H¹空间的原子分解、Carleson测度。 - 离散傅里叶分析与快速算法
有限群上的傅里叶变换（有限Abel群）、DFT（离散傅里叶变换）、FFT算法、循环卷积、正交多项式（Chebyshev、Legendre）、傅里叶变换在格点求和、Theta函数、模形式与数论的联系（简要）、离散调和分析、图上的傅里叶分析、谱图论、图拉普拉斯特征值。 - 小波与时频分析
框架、紧框架、Riesz基、正交小波、多分辨分析（MRA）、尺度函数、小波函数、Daubechies小波、Gabor变换（短时傅里叶变换）、Wigner-Ville分布、测不准原理（Heisenberg与Hardy）、调频原子、小波域稀疏性、压缩感知初步（RIP条件）、L¹极小化、Basis Pursuit、相干性。 - 非交换与环面上的傅里叶分析
非交换调和分析（紧李群）、Peter-Weyl定理、特征标、权、豪斯多夫拓扑、谱分布、Weyl公式、Hecke算子、环面Tⁿ上的傅里叶分析、丢番图逼近、Kronecker定理、一致分布、Weyl判别法、范数分布、指数和、解析数论中的应用（圆法、Dirichlet特征）。
五、凸分析
- 凸集与凸锥
凸集、凸组合、仿射集、仿射包、相对内部、极端点、凸锥、极锥、对偶锥、凸集分离定理（超平面分离严格分离）、凸集的支撑函数、Minkowski泛函、凸集的面、暴露点、Krein-Milman定理（凸紧集的极值点生成）、Straszewicz定理、凸集的多面体逼近。 - 凸函数与次微分
凸函数、真凸函数、下半连续凸函数、闭凸函数、上境图、Fenchel共轭（Legendre变换）、二次共轭（凸闭包）、凸函数的Fenchel共轭性质（Moreau包络）、凸函数的次梯度、次微分的几何解释、Moreau-Rockafellar定理（次微分和与复合）、切锥与法锥（凸情形）、单调算子与凸次微分的对应、极大单调算子的表示（Rockafellar）、凸函数的Lipschitz性、方向导数。 - 凸优化与对偶
凸规划、KKT条件（Kuhn-Tucker）、强对偶、弱对偶、Fenchel对偶定理、拉格朗日对偶、线性规划的对偶理论（作为特例）、鞍点定理、锥线性优化、半定规划、二次锥规划、内点法、次梯度下降法、临近点算法、ADMM（交替方向乘子法）。 - 凸体与凸几何
凸体（紧凸集内点非空）、Minkowski和、Minkowski不等式、Brun-Minkowski定理（体积的凸性）、混合体积、等周不等式、投影体、截面体、凸体的表面积测度、Petty投影不等式、Mahler猜想（体积乘积）、仿射等周不等式、Loomis-Whitney不等式、凸体的曲率测度、Aleksandrov-Fenchel不等式。 - 凸分析在变分与PDE中的应用
变分法中的凸性、弱下半连续性、Morrey猜想（拟凸性与凸性的关系）、凸积分泛函的存在性、Lavrentiev现象、屈曲现象、凸包与弛豫、Young测度（描述振荡行为）、梯度Young测度、凸可积分条件、非凸变分问题的微观结构（相变）、单调算子与演化方程（Hille-Yosida）、梯度流、凸势的梯度流（JKO格式）。 - 极值组合凸性与离散凸性
Minkowski和、混合体积的离散版本、凸多面体的Ehrhart多项式（格点多面体计数）、Pick定理（平面格点多边形）、凸体的格点逼近、Minkowski定理（格点凸体）、连续凸体与离散凸体的对偶、离散凸函数（L♮凸性、M凸性）、离散次梯度、凸离散优化（动态凸分析）、凸包与整数规划的Chvátal-Gomory割。 - 抽象凸性（广义凸性）
序拓扑向量空间中的凸性、σ-凸性、拟凸函数、伪凸函数、广义凸集（星形、径向）、凸性模与光滑模、无限维凸优化中的紧性、Banach空间中的凸函数的Frechet可微性、Asplund空间、Stegall变分原理、支撑压缩、凸集的密度与几何测度论的联系、凸体的非方常数。