排序——堆排序

一、概念及结构

堆是一种特殊的树形数据结构，通常表现为一棵完全二叉树，是用二叉树的顺序存储方式来存储元素的。堆分为小堆和大堆

1.1 小堆

父结点小于子结点，但是父结点下面的两个子结点没大小区分。

1.2 大堆

父结点大于子结点，但是父结点下面的两个子结点没大小区分。

二、建堆（小堆示例）

2.1 向上调整建堆

适用于一边插入一边建堆的情况。插入节点后，找到它的父结点，让父结点与它进行比较，如果小于它则退出，如果大于则交换位置，重复上述操作直至循环结束或跳出循环。

cpp 复制代码

void AdjustUp(int* arr, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (arr[child] < arr[parent])//改为 > 建大堆
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
        {
            break;
        }
	}
}

注：Swap是交换位置函数。

cpp 复制代码

void Swap(int* p1, int* p2)
{
	int temp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = temp;
}

2.2 向下调整建堆

适用于对父节点进行调整。先找到较小的那个孩子，让该孩子与它进行比较，如果孩子大于它则退出，如果小于则交换位置，重复上述操作直至循环结束或跳出循环。

cpp 复制代码

void AdjustDown(int* arr, int n, int parent)
{
	int child = (parent * 2) + 1;//先默认找到左孩子
	while (child < n)
	{
        //判断左孩子是否大于右孩子，child + 1 < n防止非法访问
		if (child + 1 < n && arr[child + 1] < arr[child])
			child++;

		if (arr[parent] > arr[child])
		{
			Swap(&arr[parent], &arr[child]);
			parent = child;
			child = (parent * 2) + 1;
		}
		else
        {
            break;
        }
	}
}

三、TOPK问题

TOPK问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素。一般来说数据量比较大。如果有一个数组，数组里有N个数据，我们要找最大的前K个数据，要怎么做呢？

3.1 法一：

先整体建立一个大堆，然后让根节点与该堆的最后一个节点交换，然后拿取该堆最后的结点，再让根结点向下调整。重复上述操作K次。

cpp 复制代码

void Heapsort(int* a, int n)
{
	int k = 0;
	scanf("%d", &k);
	for (int i = 0; i < n; i++)
		AdjustUp(a, i);

	while (k--)
	{
		Swap(&a[n - 1], &a[0]);
		AdjustDown(a, n - 1, 0);
		n--;
	}
}

3.2 法二：

先从数组中取前k个数建立一个小堆，然后遍历后面的元素，后与堆顶元素比较，如果大于则进行交换，然后向下调整。最后拿出该堆即可。

cpp 复制代码

void Heapsort(int* a, int n)
{
	int k = 0;
	scanf("%d", &k);
	for (int i = (k - 2) / 2; i >= 0; i--)
		AdjustDown(a, k, i);

	for (int i = k; i < n; i++)
	{
		if (a[i] > a[0])
		{
			Swap(&a[i], &a[0]);
			AdjustDown(a, k, 0);
		}
	}
}

(k - 2) / 2是为了拿到该堆中最后一个父节点的下标：子节点的下标求出父节点的下标的公式是 (i - 1) / 2 ，但是这里 k - 1 先当于是最后一个孩子节点的下标所以是 (k - 2) / 2。