排序算法详解

一、基础概念

1.1 复杂度

• 时间复杂度：衡量随数据规模 n 增长，操作次数的量级。常用平均、最坏、最好三种。
• 空间复杂度：除输入外，额外占用内存的量级（如递归栈、辅助数组）。

本文用 O 表示渐进上界，如 O(n²)、O(n log n)、O(n + k) 等。下文中各算法的复杂度表统一为：平均时间 、最坏时间 、最好时间 、空间 、稳定性。

1.2 稳定性

稳定排序：相等元素在排序前后相对顺序不变。

• 为何重要：多关键字排序时（先按分数再按学号），稳定排序能保证同分时学号顺序不变。
• 典型场景：先按日期再按金额，希望同一天内金额顺序保持。

本文中的稳定算法：冒泡、插入、归并、计数、基数。

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二、九大排序算法

以下各算法均对 IntArray 原地排序（计数与基数会写回原数组），结构为：思想 → 步骤 → 复杂度 → 代码。

2.1 简单比较排序 O(n²)

1. 冒泡排序 (Bubble Sort)

思想：多轮扫描数组，每轮只比较相邻两项，若逆序则交换，使较大值像「气泡」一样逐步移到右侧；若某轮未发生交换则提前结束。

步骤：

1. i 从 0 到 n-2（共 n-1 轮），每轮设 swapped = false。
2. j 从 0 到 n-2-i：若 arr[j] > arr[j+1] 则交换并设 swapped = true。
3. 若未发生交换则 break；否则进入下一轮。

平均时间	最坏时间	最好时间	空间	稳定性
O(n²)	O(n²)	O(n)	O(1)	稳定

fun bubbleSort(arr: IntArray) {
    for (i in 0 until arr.size - 1) {
        var swapped = false
        for (j in 0 until arr.size - 1 - i) {
            if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                arr[j] = arr[j + 1].also { arr[j + 1] = arr[j] }
                swapped = true
            }
        }
        if (!swapped) break // 已有序则提前结束
    }
}

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2. 选择排序 (Selection Sort)

思想：将数组视为「已确定的前段 + 未排序的后段」。每轮在后段中选出最小值，与当前待放位置交换，从而把最小元依次放到前段末尾。

步骤：

1. i 从 0 到 n-2，表示当前待放位置；令 minIdx = i。
2. j 从 i+1 到 n-1：若 arr[j] < arr[minIdx] 则 minIdx = j。
3. 若 minIdx != i 则交换 arr[i] 与 arr[minIdx]；i 由外层循环自增。

平均时间	最坏时间	最好时间	空间	稳定性
O(n²)	O(n²)	O(n²)	O(1)	不稳定

fun selectionSort(arr: IntArray) {
    for (i in 0 until arr.size - 1) {
        var minIdx = i
        for (j in i + 1 until arr.size) {
            if (arr[j] < arr[minIdx]) minIdx = j
        }
        if (minIdx != i) arr[i] = arr[minIdx].also { arr[minIdx] = arr[i] }
    }
}

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3. 插入排序 (Insertion Sort)

思想：维护「前段有序、后段未排」。每次取后段第一个元素为 key，在前段中从后往前找插入位置，将大于 key 的元素后移，再把 key 放入空位。

步骤：

1. i 从 1 到 n-1，令 key = arr[i]，j = i - 1。
2. 当 j >= 0 且 arr[j] > key 时：arr[j+1] = arr[j]，j--。
3. 将 key 放入 arr[j+1]（j 可能为 -1，则插入到 0）；i 由外层循环自增。

平均时间	最坏时间	最好时间	空间	稳定性
O(n²)	O(n²)	O(n)	O(1)	稳定

fun insertionSort(arr: IntArray) {
    for (i in 1 until arr.size) {
        val key = arr[i]
        var j = i - 1
        while (j >= 0 && arr[j] > key) {
            arr[j + 1] = arr[j]
            j--
        }
        arr[j + 1] = key
    }
}

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2.2 进阶比较排序 O(n log n)

4. 希尔排序 (Shell Sort)

思想：在插入排序基础上引入「步长」：先按较大步长 gap 分组做插入排序，再逐步缩小 gap 直至 1，使数据先大致有序再细调，减少移动次数。

步骤：

1. 令 gap = n / 2；当 gap > 0 时重复以下步骤。
2. 对 i 从 gap 到 n-1：令 key = arr[i]，j = i；当 j >= gap 且 arr[j-gap] > key 时执行 arr[j] = arr[j-gap]、j -= gap；最后 arr[j] = key。
3. 本轮结束后 gap /= 2，直到 gap 为 0。

平均时间	最坏时间	最好时间	空间	稳定性
O(n^1.3)	O(n²)	O(n)	O(1)	不稳定

fun shellSort(arr: IntArray) {
    var gap = arr.size / 2
    while (gap > 0) {
        for (i in gap until arr.size) {
            val key = arr[i]
            var j = i
            while (j >= gap && arr[j - gap] > key) {
                arr[j] = arr[j - gap]
                j -= gap
            }
            arr[j] = key
        }
        gap /= 2
    }
}

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5. 归并排序 (Merge Sort)

思想：分治。将当前区间一分为二，先递归使左右各自有序，再通过双指针合并两个有序段到原数组；合并时取较小者写回并移动指针，保证稳定。

步骤：

1. 若 left >= right 直接返回。
2. mid = left + (right - left) / 2，递归排序 [left, mid] 与 [mid+1, right]。
3. merge ：左半、右半分别复制到 leftArr、rightArr；双指针 i、j 从 0 开始，k 从 left 开始，每次取两段中较小者写入 arr[k] 并移动对应指针；任一指针扫完后，将另一段剩余元素依次写回。

平均时间	最坏时间	最好时间	空间	稳定性
O(n log n)	O(n log n)	O(n log n)	O(n)	稳定

fun mergeSort(arr: IntArray, left: Int = 0, right: Int = arr.size - 1) {
    if (left >= right) return
    val mid = left + (right - left) / 2
    mergeSort(arr, left, mid)
    mergeSort(arr, mid + 1, right)
    merge(arr, left, mid, right)
}

private fun merge(arr: IntArray, left: Int, mid: Int, right: Int) {
    val leftArr = arr.copyOfRange(left, mid + 1)
    val rightArr = arr.copyOfRange(mid + 1, right + 1)
    var i = 0
    var j = 0
    var k = left
    while (i < leftArr.size && j < rightArr.size) {
        arr[k++] = if (leftArr[i] <= rightArr[j]) leftArr[i++] else rightArr[j++]
    }
    while (i < leftArr.size) { arr[k++] = leftArr[i++] }
    while (j < rightArr.size) { arr[k++] = rightArr[j++] }
}

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6. 快速排序 (Quick Sort)

思想：分治。在区间内选一基准（此处取最后一个），用 partition 将「小于等于基准」的放左侧、「大于」的放右侧，基准放到分界位置，再对左右两段递归排序。

步骤：

1. 若 low >= high 直接返回。
2. partition ：pivot = arr[high]，i = low - 1；j 从 low 到 high-1，若 arr[j] <= pivot 则 i++ 并交换 arr[i]、arr[j]；最后交换 arr[i+1] 与 arr[high]，返回 pivotIdx = i + 1。
3. 递归排序 [low, pivotIdx-1] 与 [pivotIdx+1, high]。

平均时间	最坏时间	最好时间	空间	稳定性
O(n log n)	O(n²)	O(n log n)	O(log n)	不稳定

fun quickSort(arr: IntArray, low: Int = 0, high: Int = arr.size - 1) {
    if (low >= high) return
    val pivotIdx = partition(arr, low, high)
    quickSort(arr, low, pivotIdx - 1)
    quickSort(arr, pivotIdx + 1, high)
}

/** 将 [low, high] 按 arr[high] 划分：<= 的在左，最后基准就位并返回其下标 */
private fun partition(arr: IntArray, low: Int, high: Int): Int {
    val pivot = arr[high]
    var i = low - 1  // 小于等于 pivot 的区间末尾
    for (j in low until high) {
        if (arr[j] <= pivot) {
            i++
            arr[i] = arr[j].also { arr[j] = arr[i] }
        }
    }
    arr[i + 1] = arr[high].also { arr[high] = arr[i + 1] }
    return i + 1
}

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7. 堆排序 (Heap Sort)

思想：把数组视为完全二叉树，先自底向上建大顶堆（父 ≥ 子）；再反复将堆顶（当前最大）与末尾交换，并对新的堆顶做下沉（heapify），使剩余部分仍为大顶堆，从而得到升序。

步骤：

1. 建堆：i 从 n/2-1 到 0，对当前节点 i 做 heapify（下沉），得到大顶堆。
2. i 从 n-1 到 1：交换 arr[0] 与 arr[i]，再对长度 i、根下标 0 做 heapify；i 减 1 重复。
3. heapify(arr, n, i) ：取左右子下标 2i+1、2i+2；若子存在且大于当前节点则记 largest 为子下标；若 largest != i 则交换 arr[i] 与 arr[largest] 并递归 heapify(arr, n, largest)。

平均时间	最坏时间	最好时间	空间	稳定性
O(n log n)	O(n log n)	O(n log n)	O(1)	不稳定

fun heapSort(arr: IntArray) {
    val n = arr.size
    // 自底向上建大顶堆
    for (i in n / 2 - 1 downTo 0) heapify(arr, n, i)
    // 每次把堆顶（最大）换到末尾，再对剩余做下沉
    for (i in n - 1 downTo 1) {
        arr[0] = arr[i].also { arr[i] = arr[0] }
        heapify(arr, i, 0)
    }
}

private fun heapify(arr: IntArray, n: Int, i: Int) {
    var largest = i
    val left = 2 * i + 1
    val right = 2 * i + 2
    if (left < n && arr[left] > arr[largest]) largest = left
    if (right < n && arr[right] > arr[largest]) largest = right
    if (largest != i) {
        arr[i] = arr[largest].also { arr[largest] = arr[i] }
        heapify(arr, n, largest)
    }
}

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2.3 非比较排序

8. 计数排序 (Counting Sort)

思想：适用于整数且取值范围不大。先统计每个值出现次数，再做前缀和得到每个值在有序结果中的起始下标；从后往前遍历原数组，按该下标写入辅助数组并减 1，保证相同值相对顺序不变（稳定）。

步骤：

1. 若数组为空则返回；求 min、max，range = max - min + 1，开辟 count 长度为 range。
2. 遍历原数组：对每个值 num 执行 count[num - min]++。
3. 前缀和：i 从 1 到 range-1，count[i] += count[i-1]。
4. 从后往前遍历原数组：令 v = arr[idx] - min，将 arr[idx] 写入 output[count[v]-1]，然后 count[v]--。
5. 将 output 拷贝回 arr。

平均时间	最坏时间	最好时间	空间	稳定性
O(n + k)	O(n + k)	O(n + k)	O(n + k)	稳定

k = 数据范围（max - min + 1）

fun countingSort(arr: IntArray) {
    if (arr.isEmpty()) return
    val min = arr.minOrNull()!!
    val max = arr.maxOrNull()!!
    val range = max - min + 1
    val count = IntArray(range)
    for (num in arr) count[num - min]++
    for (i in 1 until range) count[i] += count[i - 1]
    val output = IntArray(arr.size)
    for (idx in arr.indices.reversed()) {
        val v = arr[idx] - min
        output[count[v] - 1] = arr[idx]
        count[v]--
    }
    output.copyInto(arr)
}

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9. 基数排序 (Radix Sort)

思想：不直接比较大小，而是按「位」排序。从个位到最高位，每次按当前位做一次稳定排序（如按该位的计数排序），这样低位有序后，再按高位排一次即得到整体有序（当前实现仅适用于非负整数）。

步骤：

1. 若数组为空则返回；求 max，exp = 1。
2. 当 max / exp > 0 时：按当前位 (值/exp) % 10 调用 countingSortByDigit(arr, exp)，然后 exp *= 10，直到最高位处理完。
3. countingSortByDigit(arr, exp)：统计该位 0 到 9 的个数到 count；做前缀和；从后往前按该位写入 output，再拷贝回 arr。

平均时间	最坏时间	最好时间	空间	稳定性
O(n × k)	O(n × k)	O(n × k)	O(n + k)	稳定

k = 位数

fun radixSort(arr: IntArray) {
    if (arr.isEmpty()) return
    val max = arr.maxOrNull()!!
    var exp = 1
    while (max / exp > 0) {
        countingSortByDigit(arr, exp)
        exp *= 10
    }
}

private fun countingSortByDigit(arr: IntArray, exp: Int) {
    val n = arr.size
    val output = IntArray(n)
    val count = IntArray(10)
    for (i in 0 until n) count[(arr[i] / exp) % 10]++
    for (i in 1..9) count[i] += count[i - 1]
    for (i in n - 1 downTo 0) {
        val d = (arr[i] / exp) % 10
        output[count[d] - 1] = arr[i]
        count[d]--
    }
    output.copyInto(arr)
}

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三、总结与选型

3.1 对比表

算法	平均时间	最坏时间	最好时间	空间	稳定性	典型场景
冒泡排序	O(n²)	O(n²)	O(n)	O(1)	稳定	教学、小数据
选择排序	O(n²)	O(n²)	O(n²)	O(1)	不稳定	交换代价大时
插入排序	O(n²)	O(n²)	O(n)	O(1)	稳定	小数据、近似有序
希尔排序	O(n^1.3)	O(n²)	O(n)	O(1)	不稳定	中等规模
归并排序	O(n log n)	O(n log n)	O(n log n)	O(n)	稳定	需稳定性或链表
快速排序	O(n log n)	O(n²)	O(n log n)	O(log n)	不稳定	通用、平均最快
堆排序	O(n log n)	O(n log n)	O(n log n)	O(1)	不稳定	不能递归、Top-K
计数排序	O(n + k)	O(n + k)	O(n + k)	O(n + k)	稳定	整数、范围小
基数排序	O(n × k)	O(n × k)	O(n × k)	O(n + k)	稳定	整数、多位数

3.2 使用示例

fun main() {
    val arr = intArrayOf(64, 34, 25, 12, 22, 11, 90)
    quickSort(arr)  // 可替换为任意上述排序函数
    println(arr.contentToString())  // [11, 12, 22, 25, 34, 64, 90]
}

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四、工程实践与延伸

4.1 Kotlin 标准库

实际项目优先使用标准库，无需手写排序：

arr.sort()                              // 升序，原地
arr.sortDescending()                    // 降序，原地
val sorted = arr.sorted()                // 升序，返回新 List
val sortedDesc = arr.sortedDescending()  // 降序，返回新 List
arr.sortWith(compareBy { kotlin.math.abs(it) })           // 自定义比较
arr.sortWith(compareBy<DataClass>({ it.a }, { it.b }))    // 多关键字

Kotlin/JVM 的 sort() 多为 Dual-Pivot QuickSort，工程上足够好用。

4.2 边界与注意点

情况	说明
空数组	计数、基数中已做 isEmpty() 判断；其余算法循环不执行即安全。
单元素	各算法均可处理，归并/快排的 left >= right 已覆盖。
基数排序与负数	当前实现针对非负整数；若有负数需按符号分桶或整体偏移。
计数排序范围大	max - min 很大时需 O(n + k) 空间且常数大，不如快排/归并。

4.3 快排优化

• 随机基准 ：val pivot = arr[Random.nextInt(high - low + 1) + low]（需 import kotlin.random.Random），减轻有序/近似有序时的 O(n²) 退化。
• 三路划分：将等于基准的放中间，只对严格小于和严格大于的两段递归，重复多时更高效。

4.4 桶排序简介

将数据分到有限个桶中，每桶内再排序（如插入排序），最后按桶顺序输出。适合均匀分布的浮点数等。

• 时间：平均 O(n + k)，k 为桶数。
• 空间：O(n)。
• 稳定性：取决于桶内排序是否稳定。

4.5 正确性验证

• 与标准库对比：先 val expected = arr.copyOf().also { it.sort() }，再对副本 执行自实现排序，用 副本.contentEquals(expected) 比较。
• 测试用例：随机、全相同、已排序、逆序、含重复元素等。
• 可配合 JUnit 等做单元测试。

4.6 更多场景与算法

更多排序「场景」（问题类型）：

场景	说明	常用思路
全量排序	整体有序	快排、归并、sort()
Top-K / 部分排序	前 K 大/小	堆、快速选择
多关键字排序	先 A 后 B，同 A 保持顺序	稳定排序或 sortWith(compareBy(...))
自定义规则	按绝对值、字段等	任意算法 + Comparator
链表排序	只能顺序访问	归并排序
外排序	数据在磁盘、内存不足	分块排序 + 多路归并
近似有序	大部分已有序	插入排序、Tim Sort

工程中常见其他算法：

名称	说明
Tim Sort	归并 + 插入，稳定，Python/Java 默认对象排序。
Dual-Pivot QuickSort	双基准快排，Kotlin/JVM sort() 常用。
IntroSort	快排 + 堆 + 插入混合，C++ std::sort，避免快排最坏。
桶排序	见 4.4。

小结：九大算法是经典必学；工程中优先用标准库。全量排序、Top-K、多关键字、链表、外排序等均为常见场景，按需求选对应算法或 API 即可。