从 DP 到 QP：一文读懂动态规划、二次规划

目录

一、引言

[1.1 问题背景](#1.1 问题背景)

[1.2 本文目的](#1.2 本文目的)

[1.3 一句话先建立直觉](#1.3 一句话先建立直觉)

[二、DP 的基本概念](#二、DP 的基本概念)

[2.1 DP 的定义](#2.1 DP 的定义)

[2.2 DP 的两个核心特征](#2.2 DP 的两个核心特征)

[2.2.1 最优子结构](#2.2.1 最优子结构)

[2.2.2 重叠子问题](#2.2.2 重叠子问题)

[2.3 DP 的本质](#2.3 DP 的本质)

[三、DP 的基本求解流程](#三、DP 的基本求解流程)

[3.1 第一步：定义状态](#3.1 第一步：定义状态)

[3.2 第二步：建立状态转移方程](#3.2 第二步：建立状态转移方程)

[3.3 第三步：初始化边界条件](#3.3 第三步：初始化边界条件)

[3.4 第四步：确定递推顺序](#3.4 第四步：确定递推顺序)

[四、DP 的简单例子](#四、DP 的简单例子)

[4.1 爬楼梯问题](#4.1 爬楼梯问题)

[4.2 状态定义](#4.2 状态定义)

[4.3 状态转移](#4.3 状态转移)

[4.4 边界条件](#4.4 边界条件)

[4.5 含义说明](#4.5 含义说明)

[五、DP 更适合解决什么问题](#五、DP 更适合解决什么问题)

[5.1 离散决策问题](#5.1 离散决策问题)

[5.2 典型应用方向](#5.2 典型应用方向)

[5.3 在路径规划中的作用](#5.3 在路径规划中的作用)

[六、QP 的基本概念](#六、QP 的基本概念)

[6.1 QP 的定义](#6.1 QP 的定义)

[6.2 QP 的标准形式](#6.2 QP 的标准形式)

[6.3 各个符号的含义](#6.3 各个符号的含义)

[6.4 QP 的本质](#6.4 QP 的本质)

[七、为什么很多工程问题会变成 QP](#七、为什么很多工程问题会变成 QP)

[7.1 因为很多目标天然就是"平方项"](#7.1 因为很多目标天然就是“平方项”)

[7.2 一个典型代价函数](#7.2 一个典型代价函数)

[7.3 含义说明](#7.3 含义说明)

[八、QP 更适合解决什么问题](#八、QP 更适合解决什么问题)

[8.1 连续变量优化问题](#8.1 连续变量优化问题)

[8.2 典型工程场景](#8.2 典型工程场景)

[8.3 在路径规划中的作用](#8.3 在路径规划中的作用)

[九、DP 和 QP 的本质区别](#九、DP 和 QP 的本质区别)

[9.1 问题对象不同](#9.1 问题对象不同)

[9.1.1 DP 面向离散状态](#9.1.1 DP 面向离散状态)

[9.1.2 QP 面向连续变量](#9.1.2 QP 面向连续变量)

[9.2 求解思路不同](#9.2 求解思路不同)

[9.2.1 DP 依靠递推](#9.2.1 DP 依靠递推)

[9.2.2 QP 依靠优化建模](#9.2.2 QP 依靠优化建模)

[9.3 表达方式不同](#9.3 表达方式不同)

[9.3.1 DP 的典型形式](#9.3.1 DP 的典型形式)

[9.3.2 QP 的典型形式](#9.3.2 QP 的典型形式)

[9.4 直观理解不同](#9.4 直观理解不同)

[十、为什么工程中常常把 DP 和 QP 结合使用](#十、为什么工程中常常把 DP 和 QP 结合使用)

[10.1 只用 DP 的问题](#10.1 只用 DP 的问题)

[10.2 只用 QP 的问题](#10.2 只用 QP 的问题)

[10.3 组合思路](#10.3 组合思路)

[10.4 组合方式的本质](#10.4 组合方式的本质)

[10.5 一句话总结](#10.5 一句话总结)

十一、一个简化的路径规划例子

[11.1 问题描述](#11.1 问题描述)

[11.2 用 DP 做离散粗搜索](#11.2 用 DP 做离散粗搜索)

[11.3 DP 输出结果](#11.3 DP 输出结果)

[11.4 用 QP 做平滑优化](#11.4 用 QP 做平滑优化)

[11.5 各项物理意义](#11.5 各项物理意义)

[11.6 加入约束](#11.6 加入约束)

[11.7 最终效果](#11.7 最终效果)

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一、引言

1.1 问题背景

在路径规划、自动驾驶、机器人控制、最优控制等方向中，经常会接触到几个高频概念：DP、QP。这些缩写看起来都和"最优"有关，但它们并不处于同一个层级，也不是同一种方法。

很多初学者在刚接触这些概念时，容易产生两个疑问：

• DP 和 QP 到底有什么区别？

如果这些关系没有理顺，后面在学习轨迹规划、控制器设计或者阅读论文时，就很容易概念混淆。

1.2 本文目的

本文希望解决以下几个问题：

• DP 到底是什么；
• QP 到底是什么；
• 二者本质区别在哪里；
• 为什么工程中常常把 DP 和 QP 搭配使用；

1.3 一句话先建立直觉

如果先不管严格定义，可以先用一句比较形象的话建立直觉：

DP 更擅长在离散空间里"找路"，QP 更擅长在连续空间里"修路"。

而在控制领域中：

• LQR 是一种经典的无约束最优控制方法；
• MPC 是一种带预测、带优化、可处理约束的控制框架；
• QP 往往是很多 MPC 问题在线求解时的数学落脚点。

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二、DP 的基本概念

2.1 DP 的定义

DP，全称 Dynamic Programming ，中文叫动态规划。

它是一种求解最优化问题的经典思想，其核心在于：

将一个复杂问题分解为若干相互关联的子问题，通过保存子问题结果，避免重复计算，并利用递推关系逐步求得全局最优解。

2.2 DP 的两个核心特征

动态规划之所以能够成立，通常依赖两个前提。

2.2.1 最优子结构

所谓最优子结构，是指原问题的最优解可以由子问题的最优解构成。

例如最短路径问题中，从起点到终点的最优路径，往往包含若干中间节点，而从起点到这些中间节点的部分路径本身也应该是最优的。

2.2.2 重叠子问题

所谓重叠子问题，是指在求解过程中会反复遇到相同的子问题。

如果每次都重复计算这些子问题，效率会很低。DP 的做法就是把这些结果保存下来，后续直接使用。

2.3 DP 的本质

从本质上看，DP 是一种基于状态递推的离散最优化方法。

它最重要的不是"公式有多复杂"，而是两个问题：

• 当前状态怎么定义；
• 当前状态如何由历史状态转移而来。

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三、DP 的基本求解流程

3.1 第一步：定义状态

状态定义是 DP 中最关键的一步。

常见形式包括：

• dp[i]：表示到第 i 个阶段时的最优值；
• dp[i][j]：表示考虑前 i 个元素、处于第 j 个条件下的最优值；
• dp[l][r]：表示区间 [l,r] 上的最优结果。

状态定义正确，后面的转移关系才容易写出来。

3.2 第二步：建立状态转移方程

状态转移方程描述的是：

当前状态由哪些之前的状态推导而来。

例如一个通用形式可以写成：

3.3 第三步：初始化边界条件

任何 DP 都需要边界条件，否则递推无法开始。

例如：

• dp[0]=0
• dp[1]=1
• 某些不可达状态初始化为 +∞ 或极大值

初始化是否正确，直接影响最终结果。

3.4 第四步：确定递推顺序

因为当前状态依赖历史状态，所以计算顺序必须正确。

常见顺序包括：

• 从小到大；
• 从左到右；
• 按区间长度递增；
• 按拓扑顺序递推。

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四、DP 的简单例子

4.1 爬楼梯问题

假设每次可以走 1 阶或 2 阶，问到第 n 阶有多少种方法。

4.2 状态定义

定义：

f(n)=到第 n 阶的方法数

4.3 状态转移

到第 n 阶，最后一步只可能有两种情况：

• 从第 n−1阶走 1 步；
• 从第 n−2 阶走 2 步。

因此有：

f(n) = f(n−1) + f(n−2)

4.4 边界条件

f(1)=1 , f(2)=2

4.5 含义说明

这个例子说明，DP 并不是去枚举所有路径，而是利用前面状态的结果递推得到当前状态。

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五、DP 更适合解决什么问题

5.1 离散决策问题

DP 更适合处理变量和决策都比较离散的问题，例如：

• 选还是不选；
• 到第几个阶段；
• 当前剩余多少容量；
• 当前在第几个网格点；
• 当前处理到字符串的第几个字符。

5.2 典型应用方向

常见 DP 问题包括：

• 背包问题；
• 最长公共子序列；
• 编辑距离；
• 区间合并问题；
• 网格最短路径；
• 树形动态规划；
• 状压动态规划。

5.3 在路径规划中的作用

在路径规划中，DP 常用于：

• 离散地图搜索；
• 全局粗路径生成；
• 候选拓扑选择；
• 障碍物绕行策略初步确定。

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六、QP 的基本概念

6.1 QP 的定义

QP，全称 Quadratic Programming ，中文叫二次规划。

它是一类优化问题，特点是：

• 目标函数是二次函数；
• 约束通常是线性的。

6.2 QP 的标准形式

一个标准的二次规划问题通常写为：

满足约束：

以及必要时的等式约束：

6.3 各个符号的含义

其中：

• x：待优化变量；
• Q：二次项矩阵；
• c：一次项系数；
• Ax≤b：不等式约束；
• Aeqx=beq：等式约束。

6.4 QP 的本质

QP 的本质可以概括为：

在满足约束条件的前提下，寻找一组连续变量，使总代价最小。

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七、为什么很多工程问题会变成 QP

7.1 因为很多目标天然就是"平方项"

在轨迹优化和控制中，我们经常希望：

• 偏差尽量小；
• 轨迹尽量平滑；
• 控制输入变化尽量柔和；
• 加速度或 jerk 尽量小。

这些目标往往都可以写成平方项。

7.2 一个典型代价函数

例如可以写成：

其中：

• e：偏差；
• a：加速度；
• Δu：控制输入变化量；
• w1,w2,w3​：权重系数。

7.3 含义说明

这个目标函数的含义很直观：

• 第一项让系统尽量贴近目标；
• 第二项抑制过大的加速度；
• 第三项让控制量变化更平滑。

由于总代价是平方项的加权和 ，因此非常容易整理为一个二次规划问题。

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八、QP 更适合解决什么问题

8.1 连续变量优化问题

QP 更适合处理如下问题：

• 轨迹点位置优化；
• 速度、加速度分配；
• 控制输入求解；
• 曲线平滑；
• 控制分配；
• 带约束最小二乘问题。

8.2 典型工程场景

QP 常出现在：

• 自动驾驶轨迹优化；
• 机器人轨迹平滑；
• 机械臂运动优化；
• 足式机器人力分配；
• 模型预测控制；
• 约束最小二乘估计。

8.3 在路径规划中的作用

在路径规划中，QP 常用于：

• 平滑参考路径；
• 限制曲率和加速度；
• 控制轨迹偏差；
• 满足边界和障碍约束；
• 生成更适合执行的连续轨迹。

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九、DP 和 QP 的本质区别

9.1 问题对象不同

9.1.1 DP 面向离散状态

DP 中关注的是：

• 第几个阶段；
• 当前处于哪个离散节点；
• 还剩多少容量；
• 当前匹配到哪里。

9.1.2 QP 面向连续变量

QP 中关注的是：

• 位置；
• 速度；
• 加速度；
• 控制输入；
• 轨迹点坐标。

9.2 求解思路不同

9.2.1 DP 依靠递推

DP 的思路是：

• 定义状态；
• 写出转移方程；
• 逐步递推；
• 得到最优解。

9.2.2 QP 依靠优化建模

QP 的思路是：

• 定义优化变量；
• 构造目标函数；
• 加入约束条件；
• 调用求解器求最优解。

9.3 表达方式不同

9.3.1 DP 的典型形式

9.3.2 QP 的典型形式

约束为：

9.4 直观理解不同

可以这样理解：

• DP 是在离散候选解中找最优；
• QP 是在连续可行域中调优最优。

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十、为什么工程中常常把 DP 和 QP 结合使用

10.1 只用 DP 的问题

如果只用 DP 来做路径规划，虽然可以得到一条可行路径，但往往存在以下问题：

• 路径是离散的；
• 折线感较强；
• 曲率不连续；
• 轨迹不够平滑；
• 不适合直接给控制器执行。

10.2 只用 QP 的问题

如果一开始就只用 QP 来在复杂环境中找路，也会遇到问题：

• 需要较强的全局引导；
• 障碍物绕行拓扑难以直接表达；
• 建模复杂度高；
• 计算压力较大。

10.3 组合思路

因此，工程上常用如下组合：

• 先用 DP 做粗搜索；
• 再用 QP 做精优化。

10.4 组合方式的本质

这种组合本质上就是：

• DP 负责确定"往哪儿走"；
• QP 负责确定"怎样走得更平滑"。

10.5 一句话总结

所以最经典的一句话就是：

DP 负责找路，QP 负责修路。

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十一、一个简化的路径规划例子

11.1 问题描述

假设机器人需要从起点到终点，中间存在多个障碍物。

11.2 用 DP 做离散粗搜索

将环境离散成网格，设从起点到网格点 i 的最小代价为 dp[i]，则可以写成：

其中：

• N(i)为状态 i 的可达前驱节点；
• cost(j,i)为从节点 j 到节点 i 的代价。

11.3 DP 输出结果

DP 输出的结果通常是一条离散折线路径。

它解决的是"能不能走、往哪里绕"的问题。

11.4 用 QP 做平滑优化

11.5 各项物理意义

这个目标函数中：

• 第一项限制轨迹不要偏离参考路径太远；
• 第二项限制相邻轨迹点变化过大；
• 第三项限制二阶差分过大，从而提升平滑性。

11.6 加入约束

再加入安全约束，例如：

11.7 最终效果

这样，QP 就能够在 DP 给出的可行路径基础上，生成一条更加平滑、更加可执行的连续轨迹。