目录
[一、MPC 最核心的思想（必须先理解）](#一、MPC 最核心的思想（必须先理解）)
[2.5）滚动求解（Receding Horizon）](#2.5）滚动求解（Receding Horizon）)
[二、为什么预测区间较控制区间多 1？](#二、为什么预测区间较控制区间多 1？)
[三、MPC 状态预测：以 4 步预测为例（Np=4）](#三、MPC 状态预测：以 4 步预测为例（Np=4）)
[四、构造大向量 X 和 U](#四、构造大向量 X 和 U)
[五、得到经典 MPC 预测矩阵：X = Fx + GU](#五、得到经典 MPC 预测矩阵：X = Fx + GU)
[1）F 矩阵（预测初始状态的贡献）](#1）F 矩阵（预测初始状态的贡献）)
[2）G 矩阵（控制量对未来状态的影响）](#2）G 矩阵（控制量对未来状态的影响）)
[六、X = F xₖ + G U 在时间轴上的含义](#六、X = F xₖ + G U 在时间轴上的含义)
[1）第一次优化（在时刻 k）](#1）第一次优化（在时刻 k）)
[2）第二次优化（在时刻 k+1）](#2）第二次优化（在时刻 k+1）)
[九、MPC 代价函数构建与 QP 优化问题形成过程](#九、MPC 代价函数构建与 QP 优化问题形成过程)
[1）构造 MPC 代价函数 J](#1）构造 MPC 代价函数 J)
[2）将 X = F xₖ + G U 代入代价函数](#2）将 X = F xₖ + G U 代入代价函数)
[3）最终 QP 形式（直接给 qpOASES 求解）](#3）最终 QP 形式（直接给 qpOASES 求解）)
[十、代价函数二次型展开、QP 核心矩阵 H、f 和有/无约束QP的二次型代价函数梯度求解手推步骤](#十、代价函数二次型展开、QP 核心矩阵 H、f 和有/无约束QP的二次型代价函数梯度求解手推步骤)
[十一、QP 求解 → 得到最优控制序列 U*](#十一、QP 求解 → 得到最优控制序列 U*)
MPC（模型预测控制）概念
模型预测控制（Model Predictive Control，MPC）是一种 基于模型的优化控制方法 。
它不是像 PID 那样"根据当前误差给输出"，
也不是像纯追踪（Pure Pursuit）、Stanley 那样用几何关系求转角。
MPC 是用"未来好几步"的预测来决定"现在该怎么做"。
核心思想只有一句话：
在未来 N 步时间上，让系统的状态 X 尽量跟随参考轨迹 Xref，
并找到一串最优控制量 U，使代价最小、约束满足。
因此，MPC 本质上是：
"控制 + 预测 + 规划 + 优化" 的统一框架
前言
模型预测控制（Model Predictive Control, MPC）是现代自动驾驶、AGV、无人机中最主流的轨迹跟踪控制器。
然而，很多人只会用，却不知道：
-
MPC 的未来状态是怎么预测的？
-
控制输入 uk 是从哪里"求"出来的？
-
为什么预测区间总是比控制区间多 1？
-
MPC 如何变成一个二次规划（QP）问题？
本文将一步步从 离散模型 → 预测矩阵 → 代价函数 → QP 优化问题 → 得到最优控制量 整体推导，让你真正理解 MPC 的底层数学结构。
一、MPC 最核心的思想（必须先理解）
1）关键思想：
在 MPC 中：
uₖ、uₖ₊₁、uₖ₊₂......都不是提前设定的，
而是优化器求解出来的最优控制序列（决策变量）。
我们并不是给出一个 uk，然后预测未来状态。
而是：
2）步骤：
2.1）MPC未来N步的控制量
MPC 会把未来 N 步的控制量
全部当成 未知变量。
2.2）构建优化目标：
未来轨迹误差最小+控制量最小+满足约束
2.3）二次规划（QP）求解器
最终通过 二次规划（QP）求解器 求出一整串最优控制量序列 U*。
2.4）执行第一个控制量
MPC 每次只执行第一个控制量：
2.5）滚动求解（Receding Horizon）
然后进入下一时刻，滚动求解（Receding Horizon）。
二、为什么预测区间较控制区间多 1？
MPC 的预测模型：
结构如下：
css
时间步： k k+1 k+2 k+3 k+4
|---------|----------|----------|----------|
状态： x_k x_{k+1} x_{k+2} x_{k+3} x_{k+4}
↑ ↑ ↑ ↑
控制： u_k u_{k+1} u_{k+2} u_{k+3}
(第1步) (第2步) (第3步) (第4步)
预测区间： [-------------- Np = 4 步状态预测 --------------]
控制区间： [----------- Nu = 4 个控制量 -----------]可以看到：
-
状态点：xₖ, xₖ₊₁, xₖ₊₂, xₖ₊₃, xₖ₊₄ → 5 个
-
控制量：uₖ, uₖ₊₁, uₖ₊₂, uₖ₊₃ → 4 个
所以预测区间状态数量 = 控制区间 + 1 ，
本质原因就是：状态是"节点"，控制是"节点之间的边"。
三、MPC 状态预测：以 4 步预测为例（Np=4）
MPC离散线性模型：
逐步展开：
第 1 步：
第 2 步：
第 3 步：
第 4 步：
四、构造大向量 X 和 U
五、得到经典 MPC 预测矩阵：X = Fx + GU
1）F 矩阵（预测初始状态的贡献）
2）G 矩阵（控制量对未来状态的影响）
最终预测公式：
这是 MPC 的最核心公式之一。
六、X = F xₖ + G U 在时间轴上的含义
上一节我们推导了：
在时间轴上，可以把 X 和 U 理解为：
css
X = [x_{k+1}, x_{k+2}, x_{k+3}, x_{k+4}]^T
U = [u_k, u_{k+1}, u_{k+2}, u_{k+3}]^T此时：
-
F 决定：如果不给控制量（U=0），仅靠 A 演化，xₖ 会怎样传播到未来 4 步
-
G 决定：每一个控制量 uₖ, uₖ₊₁, uₖ₊₂, uₖ₊₃ 是如何叠加影响未来每个 x 的
你可以这样理解矩阵 G：
css
G =
[ B 0 0 0 ] → 只影响 x_{k+1}
[ A B B 0 0 ] → u_k 影响 x_{k+2}，u_{k+1} 也影响 x_{k+2}
[ A^2 B A B B 0 ] → 三个控制依次累积影响 x_{k+3}
[ A^3 B A^2 B A B B ] → 四个控制依次累积影响 x_{k+4}在时间轴上的直观图：
css
x_k --u_k--> x_{k+1} --u_{k+1}--> x_{k+2} --u_{k+2}--> x_{k+3} --u_{k+3}--> x_{k+4}
u_k 影响： x_{k+1}, x_{k+2}, x_{k+3}, x_{k+4}
u_{k+1} 影响： x_{k+2}, x_{k+3}, x_{k+4}
u_{k+2} 影响： x_{k+3}, x_{k+4}
u_{k+3} 影响： x_{k+4}这就是 G 矩阵下三角结构 的直观含义：
越早施加的控制，对未来状态产生越多影响。
七、滚动优化
MPC 不是只算一次 U 就完事了，而是每个采样时刻都要重新优化一次。
1）第一次优化（在时刻 k）
css
当前真实状态：x_k 已知
优化得到：
U* = [u_k*, u_{k+1}*, u_{k+2}*, u_{k+3}*]
只执行第一个控制量：
u_k^{apply} = u_k*时间轴视图：
css
(第 1 次优化)
时间： k k+1 k+2 k+3 k+4
|---------|----------|----------|----------|
状态： x_k x_{k+1} x_{k+2} x_{k+3} x_{k+4}
控制： u_k* u_{k+1}* u_{k+2}* u_{k+3}*
↑
实际执行的只有这个2）第二次优化（在时刻 k+1）
车按照 u_k* 运行到新状态 xₖ₊₁，
现在新的初始状态是 xₖ₊₁，重新算一遍新的最优控制序列：
css
当前真实状态：x_{k+1} 已知
再次优化得到：
U_new* = [u_{k+1,new}*, u_{k+2,new}*, u_{k+3,new}*, u_{k+4,new}*]
只执行：
u_{k+1}^{apply} = u_{k+1,new}*此时时间轴从 k+1 开始"重新切一块"预测窗口：
css
(第 2 次优化：预测窗口右移一格)
时间： k+1 k+2 k+3 k+4 k+5
|----------|----------|----------|----------|
状态： x_{k+1} x_{k+2} x_{k+3} x_{k+4} x_{k+5}
控制： u_{k+1} u_{k+2} u_{k+3} u_{k+4}
↑
现在只执行它3）关键点：
-
每次优化 "看向未来好几步"
-
但只执行第一个控制量
-
下一次再重新用最新的状态出发，重新规划
这就是 " 滚动时域优化（Receding Horizon）" 的精髓。
八、状态预测模型&离散矩阵手推步骤
九、MPC 代价函数构建与 QP 优化问题形成过程
1）构造 MPC 代价函数 J
常见代价函数：
写成矩阵形式：
其中：
-
Qbig：4 次对角重复 Q
-
Rbig：4 次对角重复 R
2）将 X = F xₖ + G U 代入代价函数
代入后：
展开 → 整理 → 得到标准 QP 形式：
3）最终 QP 形式（直接给 qpOASES 求解）
其中：
常数项被省略（不影响最优解）。
4）加入约束
控制约束：
状态约束（可选）：
转化为：
十、代价函数二次型展开、QP 核心矩阵 H、f 和有/无约束QP的二次型代价函数梯度求解手推步骤
十一、QP 求解 → 得到最优控制序列 U*
QP 求解器输出：
也就是 控制区间长度 Nu（控制时域）内的所有控制量。
MPC 实际执行：
然后更新状态
接着进入下一轮优化，继续求新的：
进入下一时刻重新求解：滚动优化（Receding Horizon）
十二、MPC理论步骤总结
① 离散状态模型
② 逐步预测 4 步
③ 得到矩阵形式：X = F x + G U
④ 套入 Q,R 得到代价函数 J
⑤ 推成标准 QP（H, f）
⑥ 加入（in)eq 约束
⑦ 丢给 qpOASES → 得到最优控制量序列
⑧ 执行第一步 → 滚动优化
十三、全文总结
-
MPC 中的控制量不是设定的，是优化器求出来的
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预测区间 = 控制区间 + 1（状态是节点，控制量是边）
-
经典预测公式
- 代价函数 J 可写成标准二次规划（QP）：
- QP 求解器输出整串控制序列，只执行第一个控制量，之后滚动优化。