如何手算圆周率？

圆周率的计算

这篇文章主要想通过简单的计算（两个晚自习的量），不借助计算器，全程手算，达到祖冲之毕生的精度

推导公式

如下：

构造等腰 Rt△ABC，使 AB=BC 且 ∠ABC=90°，点 D 在 △ABC 内且有 tan⁡∠BAD=12\tan\angle BAD=\frac{1}{2}tan∠BAD=21 且 ∠BDA=90°，BD 延长线交 AC 于点 E，过 C 作 CF⊥BD 于 F。

设 BD=1，∴AD=2，求 tan⁡∠DAE\tan\angle DAEtan∠DAE。

由此，∠BAC=∠BCA=45°，∠BDA=∠CDF=90°，

∴∠DAB+∠ABD=∠ABD+∠FBC，∴∠FBC=∠BAD，

∴△ABD≌△BFC，CF=BD=1，BF=AD=2，

∴BD=DF=1。

∵∠AED=∠FEC，∠F=∠ADE=90°，∴△AED∽△EFC。

设 PE=x，∴EF=(1−x)，∴DECF=ADEF\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{EF}CFDE=EFAD，∴x1−x=2\frac{x}{1−x}=21−xx=2，∴x=23x=\frac{2}{3}x=32，

∴tan⁡∠DAE=DEAD=13\tan\angle DAE=\frac{DE}{AD}=\frac{1}{3}tan∠DAE=ADDE=31。

由此可知：π4=arctan⁡12+arctan⁡13\frac{\pi}{4}=\arctan\frac{1}{2}+\arctan\frac{1}{3}4π=arctan21+arctan31，∴π=4arctan⁡12+4arctan⁡13\pi=4\arctan\frac{1}{2}+4\arctan\frac{1}{3}π=4arctan21+4arctan31。

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代入计算

对于函数 f(x)=arctan⁡xf(x)=\arctan xf(x)=arctanx：

∵ y=arctan⁡xy=\arctan xy=arctanx，∴ x=tan⁡yx=\tan yx=tany，两边微分：dx=sec⁡2y⋅dydx=\sec^2 y \cdot dydx=sec2y⋅dy，∴dydx=cos⁡2y\frac{dy}{dx}=\cos^2 ydxdy=cos2y。

由 x=tan⁡y=sin⁡ycos⁡yx=\tan y=\frac{\sin y}{\cos y}x=tany=cosysiny，得 x2cos⁡2y=1−cos⁡2yx^2\cos^2 y=1−\cos^2 yx2cos2y=1−cos2y，∴cos⁡2y=11+x2\cos^2 y=\frac{1}{1+x^2}cos2y=1+x21，

∴dydx=11+x2\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}dxdy=1+x21。

考虑级数 ∑n=0∞rn=S\sum_{n=0}^{\infty} r^n = S∑n=0∞rn=S，∴S−rS=1S−rS=1S−rS=1，∴S=11−rS=\frac{1}{1−r}S=1−r1，当 ∣r∣<1|r|<1∣r∣<1 时收敛。

对于 dydx=11+x2\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}dxdy=1+x21，令 r=−x2r=−x^2r=−x2，∴dydx=11−(−x2)=∑n=0∞(−1)n⋅x2n\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1−(-x^2)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot x^{2n}dxdy=1−(−x2)1=∑n=0∞(−1)n⋅x2n，

∴dy=∑n=0∞(−1)n⋅x2ndxdy=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot x^{2n} dxdy=∑n=0∞(−1)n⋅x2ndx，逐项积分：
y=∑n=0∞(−1)n⋅12n+1⋅x2n+1=∑n=0∞(−1)n2n+1⋅x2n+1 y=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \cdot \frac{1}{2n+1} \cdot x^{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1} \cdot x^{2n+1} y=n=0∑∞(−1)n⋅2n+11⋅x2n+1=n=0∑∞2n+1(−1)n⋅x2n+1

即：arctan⁡x=x−13x3+15x5−17x7+19x9−...\arctan x = x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{7}x^7 + \frac{1}{9}x^9 - \dotsarctanx=x−31x3+51x5−71x7+91x9−...，代入 π=4arctan⁡12+4arctan⁡13\pi=4\arctan\frac{1}{2}+4\arctan\frac{1}{3}π=4arctan21+4arctan31 即可算 π\piπ。

预计算高次幂：
25=322^5=3225=32，26=642^6=6426=64，27=1282^7=12827=128，28=2562^8=25628=256，29=5122^9=51229=512，210=10242^{10}=1024210=1024，211=20482^{11}=2048211=2048，
35=2433^5=24335=243，36=7293^6=72936=729，37=21873^7=218737=2187，38=65613^8=656138=6561，39=196833^9=1968339=19683，311=1771473^{11}=177147311=177147。

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先计算到 x5x^5x5 项：
arctan⁡12=12−13×18+15×132=12−124+11604arctan⁡12=2−16+140=223120arctan⁡13=13−13×127+15×1243=13−181+112154arctan⁡13=43−481+41215=1620−60+41215=15641215∴π≈223120+15641215=1.85833333+1.28724280=3.14557613 \begin{align*} \arctan\frac{1}{2} &= \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \times \frac{1}{8} + \frac{1}{5} \times \frac{1}{32} = \frac{1}{2} - \frac{1}{24} + \frac{1}{160} \\ 4\arctan\frac{1}{2} &= 2 - \frac{1}{6} + \frac{1}{40} = \frac{223}{120} \\ \arctan\frac{1}{3} &= \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \times \frac{1}{27} + \frac{1}{5} \times \frac{1}{243} = \frac{1}{3} - \frac{1}{81} + \frac{1}{1215} \\ 4\arctan\frac{1}{3} &= \frac{4}{3} - \frac{4}{81} + \frac{4}{1215} = \frac{1620 - 60 + 4}{1215} = \frac{1564}{1215} \\ \therefore \pi &\approx \frac{223}{120} + \frac{1564}{1215} = 1.85833333 + 1.28724280 = 3.14557613 \end{align*} arctan214arctan21arctan314arctan31∴π=21−31×81+51×321=21−241+1601=2−61+401=120223=31−31×271+51×2431=31−811+12151=34−814+12154=12151620−60+4=12151564≈120223+12151564=1.85833333+1.28724280=3.14557613

计算到 −17x7-\frac{1}{7}x^7−71x7 项：

① 4arctan⁡124\arctan\frac{1}{2}4arctan21 的 −17x7-\frac{1}{7}x^7−71x7 项：−47×1128=−1224=−0.00446429-\frac{4}{7} \times \frac{1}{128} = -\frac{1}{224} = -0.00446429−74×1281=−2241=−0.00446429

② 4arctan⁡134\arctan\frac{1}{3}4arctan31 的 −17x7-\frac{1}{7}x^7−71x7 项：−47×12187=−415309=−0.00026128-\frac{4}{7} \times \frac{1}{2187} = -\frac{4}{15309} = -0.00026128−74×21871=−153094=−0.00026128

∴π≈3.14557613−0.00446429−0.00026128=3.14085056\pi \approx 3.14557613 - 0.00446429 - 0.00026128 = 3.14085056π≈3.14557613−0.00446429−0.00026128=3.14085056

计算到 19x9\frac{1}{9}x^991x9 项：

① 4arctan⁡12⇒49×1512=11152=0.000868064\arctan\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{4}{9} \times \frac{1}{512} = \frac{1}{1152} = 0.000868064arctan21⇒94×5121=11521=0.00086806，∴π≈3.14085056+0.00086806=3.14171862\pi \approx 3.14085056 + 0.00086806 = 3.14171862π≈3.14085056+0.00086806=3.14171862

② 4arctan⁡13⇒49×119683=4177147=0.000022584\arctan\frac{1}{3} \Rightarrow \frac{4}{9} \times \frac{1}{19683} = \frac{4}{177147} = 0.000022584arctan31⇒94×196831=1771474=0.00002258，∴π≈3.14171862+0.00002258=3.1417412\pi \approx 3.14171862 + 0.00002258 = 3.1417412π≈3.14171862+0.00002258=3.1417412

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计算 −111x11-\frac{1}{11}x^{11}−111x11 项：

① 4arctan⁡124\arctan\frac{1}{2}4arctan21 对应项：−411×12048=−111×512=−15632=−0.00017756-\frac{4}{11} \times \frac{1}{2048} = -\frac{1}{11 \times 512} = -\frac{1}{5632} = -0.00017756−114×20481=−11×5121=−56321=−0.00017756
π≈3.1417412−0.00017756=3.14156364\pi \approx 3.1417412 - 0.00017756 = 3.14156364π≈3.1417412−0.00017756=3.14156364

② 4arctan⁡134\arctan\frac{1}{3}4arctan31 对应项：−411×1177147=−0.00000205-\frac{4}{11} \times \frac{1}{177147} = -0.00000205−114×1771471=−0.00000205
π≈3.14156364−0.00000205=3.14156159\pi \approx 3.14156364 - 0.00000205 = 3.14156159π≈3.14156364−0.00000205=3.14156159

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计算 113x13\frac{1}{13}x^{13}131x13 项：

① 4arctan⁡124\arctan\frac{1}{2}4arctan21 对应项：+413×12048×4=113×2048=0.00003756+\frac{4}{13} \times \frac{1}{2048 \times 4} = \frac{1}{13 \times 2048} = 0.00003756+134×2048×41=13×20481=0.00003756
4arctan⁡134\arctan\frac{1}{3}4arctan31 项已接近收敛

∴π≈3.14156159+0.00003756=3.14159915\pi \approx 3.14156159 + 0.00003756 = 3.14159915π≈3.14156159+0.00003756=3.14159915

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计算 −115x15-\frac{1}{15}x^{15}−151x15 项：

① 4arctan⁡124\arctan\frac{1}{2}4arctan21 对应项：−415×1215=−115×213=−115×8192=−1122880=−0.00000814-\frac{4}{15} \times \frac{1}{2^{15}} = -\frac{1}{15 \times 2^{13}} = -\frac{1}{15 \times 8192} = -\frac{1}{122880} = -0.00000814−154×2151=−15×2131=−15×81921=−1228801=−0.00000814
π≈3.14159915−0.00000814=3.14159101\pi \approx 3.14159915 - 0.00000814 = 3.14159101π≈3.14159915−0.00000814=3.14159101

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补算 113x13\frac{1}{13}x^{13}131x13 项：
4arctan⁡134\arctan\frac{1}{3}4arctan31 项：413×1313=413×11594323=0.00000019\frac{4}{13} \times \frac{1}{3^{13}} = \frac{4}{13} \times \frac{1}{1594323} = 0.00000019134×3131=134×15943231=0.00000019
π≈3.14159101+0.00000019=3.14159120\pi \approx 3.14159101 + 0.00000019 = 3.14159120π≈3.14159101+0.00000019=3.14159120

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计算 117x17\frac{1}{17}x^{17}171x17：
4arctan⁡124\arctan\frac{1}{2}4arctan21 项：417×1217=117×215=0.0000018\frac{4}{17} \times \frac{1}{2^{17}} = \frac{1}{17 \times 2^{15}} = 0.0000018174×2171=17×2151=0.0000018
π≈3.14159120+0.0000018=3.14159300\pi \approx 3.14159120 + 0.0000018 = 3.14159300π≈3.14159120+0.0000018=3.14159300

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计算 −119x19-\frac{1}{19}x^{19}−191x19：
−419×1219=−119×1217=−119×217=−0.00000040-\frac{4}{19} \times \frac{1}{2^{19}} = -\frac{1}{19} \times \frac{1}{2^{17}} = -\frac{1}{19 \times 2^{17}} = -0.00000040−194×2191=−191×2171=−19×2171=−0.00000040
π≈3.14159300−0.00000040=3.14159260\pi \approx 3.14159300 - 0.00000040 = 3.14159260π≈3.14159300−0.00000040=3.14159260

∴π≈3.1415926\boldsymbol{\pi \approx 3.1415926}π≈3.1415926

总结

用这些简单的计算，成功得到：π≈3.1415926\boldsymbol{\pi \approx 3.1415926}π≈3.1415926，达到祖冲之的精度。