算法题解合集：回文子串、不相邻取数、空调遥控

在算法学习和刷题过程中，我们会遇到各种有趣的题目，今天就来分享三道不同类型题目的解法思路，分别是回文子串最短长度 、不相邻取数最大和 、空调遥控最佳温度区间。

一、回文子串最短长度（小红的字符串）

题目描述

小红拿到一个只包含 'a'、'b'、'c'三种字符的字符串。她想知道，这个字符串最短的、长度超过1的回文子串的长度是多少？

子串定义：字符串中取一段连续的区间（例如 "abcca"的子串有 "ab"、"bcca"等，但 "aca"不是子串）。
回文定义：正着读和倒着读都相同的字符串（例如 "aa"、"aba"）。
若不存在长度超过1的回文子串，输出 -1。

解题思路

由于字符串只包含 'a'、'b'、'c'三种字符，最短的回文子串长度只能是 2 或 3：

长度为 2 的回文子串：两个相同字符（如 "aa"、"bb"、"cc"）。
长度为 3 的回文子串：首尾字符相同（如 "aba"、"bcb"）。

因此，我们只需要枚举所有二元组（长度2的子串） 和三元组（长度3的子串），判断是否为回文，找到最短的那个即可。

代码实现（Python）

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def shortest_palindrome(s):
    n = len(s)
    # 先检查所有长度为2的子串
    for i in range(n - 1):
        if s[i] == s[i + 1]:
            return 2
    # 再检查所有长度为3的子串
    for i in range(n - 2):
        if s[i] == s[i + 2]:
            return 3
    # 没有符合条件的回文子串
    return -1

# 测试示例
print(shortest_palindrome("abcca"))  # 输出2（"cc"是回文）
print(shortest_palindrome("abcab"))  # 输出-1（无长度>1的回文）

二、不相邻取数（动态规划 - 线性DP）

题目描述

小红拿到一个数组，想取一些不相邻的数，使得取出的数之和尽可能大。请帮助她求出这个最大和。

输入：第一行是正整数 n（数组长度），第二行是 n个正整数 a_i。
输出：不相邻数的最大和。

解题思路

这是经典的**"打家劫舍"型动态规划问题** 。设 dp[i]表示前 i个元素中，不相邻取数的最大和。

状态转移方程：

对于第 i个元素（i >= 2），有两种选择：
- 不选第 i个元素：dp[i] = dp[i-1]（继承前 i-1个的最大和）。
- 选第 i个元素：dp[i] = dp[i-2] + a[i]（前 i-2个的最大和 + 第 i个元素）。
因此，dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + a[i])。

边界条件：

dp[0] = a[0]（只有一个数时，最大和是它本身）。
dp[1] = max(a[0], a[1])（两个数时，选较大的那个）。

代码实现（Python）

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def max_non_adjacent_sum(nums):
    n = len(nums)
    if n == 0:
        return 0
    if n == 1:
        return nums[0]
    # 初始化dp数组
    dp = [0] * n
    dp[0] = nums[0]
    dp[1] = max(nums[0], nums[1])
    for i in range(2, n):
        dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i])
    return dp[-1]

# 测试示例
nums = [2, 6, 4, 1]
print(max_non_adjacent_sum(nums))  # 输出7（选6和1）

三、空调遥控（二分 / 滑动窗口）

题目描述

集训室有 n名队员，每位队员的温度诉求为 a[i]。当室内温度为 K时，若 |a[i] - K| ≤ p，队员能正常训练；否则会躁动。求最佳情况下，最多能有多少队员同时进入训练状态。

解题思路

方法一：滑动窗口（排序后）

排序：将温度诉求数组 a排序，方便后续窗口操作。
滑动窗口 ：维护一个窗口 [left, right]，使得窗口内的**最大值 - 最小值 ≤ 2p *（因为 |a[i]-K| ≤ p等价于 K ∈ [a[i]-p, a[i]+p]，所以窗口内所有数必须在同一个长度为 2*p的区间内）。
统计最大窗口大小：窗口越大，满足条件的队员越多。

方法二：二分查找

排序：同样先对数组排序。
二分枚举答案 ：假设最多能满足 k名队员，判断是否存在一个长度为 k的连续子数组，其最大值 - 最小值 ≤ 2*p。
验证函数 ：对于每个可能的 k，用二分法找是否存在这样的子数组。

代码实现（Python - 滑动窗口）

复制代码

def max_trainers(a, p):
    a.sort()
    n = len(a)
    left = 0
    max_len = 0
    for right in range(n):
        # 收缩左边界，直到窗口内最大值-最小值 ≤ 2*p
        while a[right] - a[left] > 2 * p:
            left += 1
        # 更新最大窗口长度
        max_len = max(max_len, right - left + 1)
    return max_len

# 测试示例
n, p = 6, 2
a = [1, 5, 3, 2, 4, 6]
print(max_trainers(a, p))  # 输出5（温度调为3或4时，5人满足）

总结

这三道题分别覆盖了字符串处理 、动态规划 、滑动窗口/二分查找三种经典算法思路：

回文子串：利用字符种类少的特性，枚举短子串。
不相邻取数：线性DP的典型应用（打家劫舍模型）。
空调遥控：排序后用滑动窗口或二分查找优化区间问题。

通过这类题目练习，可以加深对算法思路的理解，提升代码实现能力~ 🚀