货物运输问题，前缀和优化dp，[牛客周赛137 F-小苯的糖果盒]

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[1、题目描述](#文章目录 @[toc] 一、题目 1、题目描述 2、输入输出 2.1输入 2.2输出 3、原题链接二、解题报告 1、思路分析 2、复杂度 3、代码详解)
[2、输入输出](#文章目录 @[toc] 一、题目 1、题目描述 2、输入输出 2.1输入 2.2输出 3、原题链接二、解题报告 1、思路分析 2、复杂度 3、代码详解)
[2.1输入](#文章目录 @[toc] 一、题目 1、题目描述 2、输入输出 2.1输入 2.2输出 3、原题链接二、解题报告 1、思路分析 2、复杂度 3、代码详解)
[2.2输出](#文章目录 @[toc] 一、题目 1、题目描述 2、输入输出 2.1输入 2.2输出 3、原题链接二、解题报告 1、思路分析 2、复杂度 3、代码详解)
[3、原题链接](#文章目录 @[toc] 一、题目 1、题目描述 2、输入输出 2.1输入 2.2输出 3、原题链接二、解题报告 1、思路分析 2、复杂度 3、代码详解)
[二、解题报告](#文章目录 @[toc] 一、题目 1、题目描述 2、输入输出 2.1输入 2.2输出 3、原题链接二、解题报告 1、思路分析 2、复杂度 3、代码详解)
[1、思路分析](#文章目录 @[toc] 一、题目 1、题目描述 2、输入输出 2.1输入 2.2输出 3、原题链接二、解题报告 1、思路分析 2、复杂度 3、代码详解)
[2、复杂度](#文章目录 @[toc] 一、题目 1、题目描述 2、输入输出 2.1输入 2.2输出 3、原题链接二、解题报告 1、思路分析 2、复杂度 3、代码详解)
[3、代码详解](#文章目录 @[toc] 一、题目 1、题目描述 2、输入输出 2.1输入 2.2输出 3、原题链接二、解题报告 1、思路分析 2、复杂度 3、代码详解)

一、题目

1、题目描述

2、输入输出

2.1输入

2.2输出

3、原题链接

小苯的糖果盒

二、解题报告

1、思路分析

考虑一个经典贪心问题：

两个长度为n的正整数数组a，b，满足 Σa = Σb，允许每次选定i，使得a $i$ 减1，然后让a $i + 1$ 或 a $i - 1$ 加1，最少需要多少次可以使得 a = b？

答案为： ∑ i = 0 n − 1 ∣ ∑ j = 0 i a j − ∑ j = 0 i b j ∣ \sum_{i=0}^{n-1} |\sum_{j=0}^{i}a_j-\sum_{j=0}^{i}b_j| ∑i=0n−1∣∑j=0iaj−∑j=0ibj∣

即，两个数组的前缀和数组的差的绝对值之和，只需证明下界，并且可以取到即可：

先证明下界：

记 s a $i$ = ∑ j = 0 i a i ， s b $i$ = ∑ j = 0 i b i sa $i$ = \sum_{j=0}^{i}a_i，sb $i$ = \sum_{j=0}^{i}b_i sa $i$ =∑j=0iai，sb $i$ =∑j=0ibi

那么对于下标 i：

如果 sa $i$ > sb $i$ ，说明 $0...i$ 的数至少需要向 $i+1...n$ 运输 sa $i$ - sb $i$

否则，说明 $i+1...n$ 的数至少需要向 $0...i$ 运输 sb $i$ - sa $i$

因此，答案的下界是 ∑ i = 0 n − 1 ∣ s a $i$ − s b $i$ ∣ \sum_{i=0}^{n-1} |sa $i$ - sb $i$ | ∑i=0n−1∣sa $i$ −sb $i$ ∣

在证明可以构造方案使得下界取到：

从小到大枚举 i

i = 0

如果 sa $0$ > sb $0$ ，那么让 a $0$ 向 a $1$ 运输 a $0$ - b $0$

否则，让a $1$ 向 a $0$ 运输 b $0$ - a $0$ （对于a $1$ 不够的情况我们允许出现负数，这不会影响i = 1的情况判定，这和洛谷 均分纸牌那题的原理是一样的）

i = 1......

如此构造下去，我们一定可以构造出一个合法方案

对于本题，因为 sum a 最大不过 10000，所以平方数最多可取 0 x 0，1 x 1，......100 x 100，共101 个数

我们考虑定义 dp $i, j, k$ 为 a $i$ = j * j， ∑ j = 0 i a j = k \sum_{j=0}^{i}a_j = k ∑j=0iaj=k ，且 a $0...i$ 单调不减的最小代价

我们转移的时候枚举a $i$ = j * j，以及 ∑ j = 0 i a j = k \sum_{j=0}^{i}a_j = k ∑j=0iaj=k，那么 dp $i, j, k$ = min dp $i - 1, x, k - j \* j$ ，我们预处理一下前缀min即可

可以滚动数组优化（见代码）

2、复杂度

时间复杂度： O(100nΣa ) 空间复杂度：O(100Σa)

3、代码详解

c++ 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
namespace ranges = std::ranges;
using i64 = long long;

constexpr int inf = 1E9;

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);

    int t;
    std::cin >> t;
    while (t--) {
        int n;
        std::cin >> n;
        std::vector<int> a(n);
        int M = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            std::cin >> a[i];
            M += a[i];
        }
        std::vector dp(101, std::vector<int>(M + 1, inf)), min(101, std::vector<int>(M + 1, inf));
        for (int i = 0; i <= 100; ++i) {
            min[i][0] = 0;
        }
        int s = 0;
        for (int x : a) {
            s += x;
            for (int i = 0; i <= 100; ++i) {
                for (int j = i * i; j <= M; ++j) {
                    dp[i][j] = min[i][j - i * i] + std::abs(j - s);
                }
            }
            for (int j = 0; j <= M; ++j) {
                min[0][j] = dp[0][j];
                for (int i = 1; i <= 100; ++i) {
                    min[i][j] = std::min(min[i - 1][j], dp[i][j]);
                }
            }
        }

        int ans = inf;
        for (int i = 0; i < 101; ++i) {
            ans = std::min(ans, dp[i][M]);
        }
        if (ans == inf) {
            ans = -1;
        }
        std::cout << ans << '\n';
    }
    
    return 0;
}