2、高数----数列极限（知识总结）

1、数列的概念

数列中的每一个数叫做数列的项，第n项叫做数列的通项。

子列：从数列中选取无穷多项，保持原来的先后顺序

等差数列：

等比数列：

单调数列：

有界数列：

一些常见数列前n项的和：

一个重要数列的结论：

①单调递增

②

2、数列极限的定义

设为一数列，若存在常数a，对于任意的给定的正数 ε>0，总存在正整数 N，使得当 n>N 时，不等式恒成立，则称常数 a是数列的极限，或称数列收敛于 a，记作

如果不存在这样的常数 a，则称数列发散。

定理1：

若数列收敛，则其任何子列也收敛，且

推论：

①

② ，推不出

此定理为我们提供了一个判断数列发散 的方法：对于一个数列，如果能找到一个发散的子列，则原数列一定发散；如果能够找到至少两个收敛的子列和，但它们收敛到不同极限，则原数列也一定发散。

重要证明：

证明：若则

3、收敛数列的性质

①唯一性

给出数列极限存在，若存在，则a是唯一的。

②有界性

若数列极限存在，则数列有界

③保号性

设，则存在，当时，有。

若数列从某项起有，且则，其中为任意实数。常考的情形

4、极限四则运算法则

设则

①

②

③若，则

5、海涅定理（归结原则）

设在内有定义，则存在对任何内以为极限的数列，极限存在。

例题2.7：用离散推连续

6、夹逼准则

如果数列及满足下列条件：

①从某项起，即存在，当时，

②，

则的极限存在，且

注：放缩的常用方法如下

（1）利用简单的放大与缩小

当，时

（2）利用重要不等式

①设a,b为实数，则；

②

③则

④当时，

⑤当时，

⑥

（3）利用闭区间上连续函数必有最大值与最小值

（4）利用压缩映射原理

7、单调有界准则

单调有界数列必有极限，即若数列单调增加（减少）且有上界，则存在。

证明数列单调的常用方法：

①或

②数学归纳法

③利用重要不等式

④利用单调性定义

与同号，则单调

⑤利用结论：

例题2.13：

例题2.15：

8、收敛于a的速度问题

设数列，在的过程中同时趋于a，记，且当时，都是无穷小量，则有

若，则说明的收敛速度比的收敛速度快；

若，则说明的收敛速度是的倍；

若，则说明的收敛速度比的收敛速度慢；