位运算 计算

符号	名称	运算规则	蓝桥杯常见应用
&	按位与	两位都为1时，结果为1	判断奇偶 (x & 1)、清零特定位、取模（对2的幂）
`	`	按位或	两位都为0时，结果为0，否则为1
^	按位异或	两位相同为0，不同为1	查找单身数字 、不使用临时变量交换数值
~	按位取反	0变1，1变0	配合&运算实现特定位清零 (x & ~(1 << k))
<< / >>	左移/右移	将所有位向左/右移动	快速进行乘/除2的幂运算、获取或设置特定位

核心技巧：竞赛中的杀手锏

1. 异或 (^) 的神奇用法 ：异或运算的核心性质是 x ^ x = 0 和 x ^ 0 = x，由此衍生出几个竞赛中非常巧妙的用法。

   • "单身狗"问题：在一个数组中，除了一个元素出现奇数次外，其他元素均出现偶数次。将所有元素异或起来，最终结果就是那个"落单"的元素。

   • 交换两个数 ：无需临时变量，利用异或的自反性，使用 a ^= b; b ^= a; a ^= b; 三步即可完成交换。

   • 快速判断两个数是否相等 ：直接 (a ^ b) == 0。

2. "与"运算 (&) 的精妙用法

   • 判断奇偶 ：(x & 1) == 1 为奇数，(x & 1) == 0 为偶数。

   • 判断2的幂次 ：x > 0 且 (x & (x - 1)) == 0，则 x 是2的幂次。

   • 统计二进制中1的个数 ：通过 x = x & (x - 1) 循环，每执行一次就消除一个最低位的1，直到 x 变为0，循环次数即1的个数。

   • 计算 lowbit ：lowbit = x & -x 可以提取出 x 的二进制表示中最低位的1所代表的值。这是树状数组实现的基础，也是在状态压缩DP中枚举子集的关键。