二叉搜索树

二叉搜索树的概念

二叉搜索树 又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树：

核心性质

• 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值。
• 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值。
• 它的左右子树也分别为二叉搜索树。

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关于重复值的说明

二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义。

后续我们学习 map/set/multimap/multiset 系列容器底层就是二叉搜索树：

• map / set：不支持插入相等值。
• multimap / multiset ：支持插入相等值。
  

二叉搜索树的性能分析

高度与时间复杂度

• 最优情况

  二叉搜索树为完全二叉树（或接近完全二叉树），其高度为：
  log2Nlog_2Nlog2N

  此时，增删查改的时间复杂度为 O(log₂N)。

• 最差情况

  二叉搜索树退化为单支树（或类似单支），其高度为：
  NNN

  此时，增删查改的时间复杂度退化为 O(N) 。
  

综合效率与优化方向

综合而言，普通二叉搜索树的增删查改时间复杂度为 O(N)。这样的效率显然无法满足我们的需求。

因此，我们需要学习二叉搜索树的变形------平衡二叉搜索树 ，例如 AVL树 和 红黑树，它们才能适用于我们在内存中存储和搜索数据。

与二分查找的对比

另外需要说明的是，二分查找也可以实现 O(log₂N) 级别的查找效率，但它有两大缺陷：

1. 存储限制：需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且数据必须有序。
2. 增删效率低：插入和删除数据效率很低，因为在此类结构中操作通常需要挪动大量数据。

这也恰恰体现了平衡二叉搜索树的价值：它既能保持高效的查找性能，又能相对高效地进行插入和删除操作。

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二叉搜索树的插入

插入的具体过程

1. 树为空

   若树为空，则直接新增结点，赋值给 root 指针。

2. 树不空

   若树不空，按二叉搜索树的性质进行查找：

   • 插入值 大于 当前结点的值：向 右 走。
   • 插入值 小于 当前结点的值：向 左 走。
   • 找到空位置后，插入新结点。

3. 处理相等的值

   如果支持插入相等的值，当插入值与当前结点的值相等时，可以选择向 右 走，也可以选择向 左 走，找到空位置后插入新结点。

   注意：要保持逻辑一致性，即在整个插入过程中，对于相等值的处理方向必须统一（不要一会儿往右走，一会儿往左走）。

二叉搜索树的删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回 false。

如果查找元素存在，则分以下四种情况分别处理（假设要删除的结点为 N）：

四种情况

1. 要删除结点 N 左右孩子均为空。
2. 要删除的结点 N 左孩子为空，右孩子结点不为空。
3. 要删除的结点 N 右孩子为空，左孩子结点不为空。
4. 要删除的结点 N 左右孩子结点均不为空。

解决方案

1. 情况一

   把 N 结点的父结点对应孩子指针指向空，直接删除 N 结点。

   注：情况 1 可以当成情况 2 或者情况 3 处理，效果是一样的。

2. 情况二

   把 N 结点的父结点对应孩子指针指向 N 的右孩子，直接删除 N 结点。

3. 情况三

   把 N 结点的父结点对应孩子指针指向 N 的左孩子，直接删除 N 结点。

4. 情况四

   无法直接删除 N 结点，因为 N 的两个孩子无处安放，只能用替换法删除。

   • 步骤 ：
     1. 找 N 左子树的值最大结点 R（最右结点），或者 N 右子树的值最小结点 R（最左结点）。
     2. 用 R 替代 N。因为这两个结点中任意一个，放到 N 的位置，都满足二叉搜索树的规则。
     3. "替代 N"的意思就是将 N 和 R 两个结点的值交换。
     4. 转而变成删除 R 结点，此时 R 结点符合情况 2 或情况 3，可以直接删除。

#include<iostream>

using namespace std;

template<class K, class V>
struct BSTreeNode
{
	K _key;
	V _value;
	BSTreeNode* _right;
	BSTreeNode* _left;

	BSTreeNode(const K& key, const V& value) :_key(key), _value(value), _right(nullptr), _left(nullptr){ }
};

template<class K, class V>
class BSTree
{
	
	typedef BSTreeNode<K, V> Node;
public:
	BSTree(BSTreeNode<K, V>* root=nullptr):_root(root)
	{

	}

	bool Insert(const K& key, const V& value)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(key,value);
			
			return true;
		}
		else
		{
			Node* cur = _root;
			Node* parent = cur;
			while (cur)
			{
				parent = cur;
				if (key > cur->_key)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else if (key < cur->_key)
				{
					cur = cur->_left;
				}
				else return false;
				
			}
			Node* newnode = new Node(key, value);
			if (key > parent->_key)
			{
				parent->_right = newnode;
			}
			else
			{
				parent->_left = newnode;
			}
		}
		return true;
	}
	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;

		while (cur)
		{
			if (key > cur->_key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (key < cur->_key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}
	bool Erase(const K& key)//函数还没实现完，并且现在逻辑有问题
	{
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		
			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				//此时已经找到节点，需要进行删除
				else
				{
					//如果左为空,包含了左右均为空
					if (cur->_left == nullptr)
					{
						//考虑极端情况，要删除根节点
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_right;
						}
						else
						{
							if (parent->_left == cur)
							{
								parent->_left = cur->_right;
							}
							else
							{
								parent->_right = cur->_right;
							}
						}
						delete cur;
					}
					//如果右为空
					else if (cur->_right == nullptr)
					{
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_left;
						}
						else
						{
							if (parent->_left == cur)
							{
								parent->_left = cur->_left;
							}
							else
							{
								parent->_right = cur->_left;
							}
						}
						delete cur;
					}
					
					//如果要删除节点左右都不为空,此处统一使用被删除节点的左边最大节点来代替该节点(替换值和关键词，而不是直接替换节点)。
					else
					{
						Node* replace = cur;
						Node* replaceparent = cur;//replaceparent 必须初始化为 cur，而不是 nullptr。因为如果没进循环，说明 replace 就是 cur 的右孩子，其父节点就是 cur。
						replace = replace->_right;//寻找右子树的最左节点（比当前节点值大，但是比当前右树剩下节点值都要小，才能代替）
						while (replace->_left)
						{
							replaceparent = replace;
							replace = replace->_left;
						}
						
						cur->_key = replace->_key;
						cur->_value = replace->_value;
						
						if (replaceparent == cur)
						{
							replaceparent->_right = replace->_right;
						}
						else
						{
							replaceparent->_left = replace->_right;//把替代节点的右子树挂在其父节点的左子树，因为替代节点无左节点,不检查replace有无子节点是因为可以直接挂空.
						}
						
						delete replace;
					}
					return true;
				}
				
			}

			return false;
	
	}
		void _InOrder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)return;
			_InOrder(root->_left);
			cout << "key:" << root->_key << " " << "value:" << root->_value;
			_InOrder(root->_right);
		
		}
	
		void InOrder()//外部接口
		{
			_InOrder(_root);
		}
		
private:
	Node* _root = nullptr;

};

void TestBSTree()
{
	BSTree<string, string> dict;
	dict.Insert("insert", "插入");
	dict.Insert("erase", "删除");
	dict.Insert("left", "左边");
	dict.Insert("string", "字符串");

	string str;
	while (cin >> str)
	{
		auto ret = dict.Find(str);
		if (ret)
		{
			cout << str << ":" << ret->_value << endl;
		}
		else
		{
			cout << "单词拼写错误" << endl;
		}
	}

	string strs[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "樱桃", "苹果", "樱桃", "苹果", "樱桃", "苹果" };
	// 统计水果出现的次
	BSTree<string, int> countTree;
	for (auto str : strs)
	{
		auto ret = countTree.Find(str);
		if (ret == NULL)
		{
			countTree.Insert(str, 1);
		}
		else
		{
			ret->_value++;
		}
	}
	countTree.InOrder();
}