【C++】红黑树

红黑树简介

为了保持AVL树的平衡性，在插入和删除操作后，会非常频繁地调整全树的整体拓扑结构，代价比较大，为此在AVL树的基础上放宽一些条件，则引入了红黑树结构。

红黑树是一棵二叉搜索树 ，它和AVL树类似，也需要通过旋转来调整树的高度，避免在极端情况下造成单边树。但它的旋转又不像AVL树那么严格，它是通过颜色来约束的 。

红黑树中，它的每个节点都增加一个存储位来表示节点颜色，可以是红色也可以是黑色。有了颜色，以及旋转的条件，使得红黑树也差不多能达到平衡的效果，相比AVL树不会太差。

即：
AVL树------严格平衡
红黑树------近似平衡

红黑树的性质

红黑树的性质有以下几点：

每个节点不是黑色就是红色
根节点是黑色的
一条路径中，没有连续的红色节点
每条路径黑色节点数量相等
叶子节点（即虚构的外部节点、NULL节点）都是黑色的。

满足以上性质，红黑树就能保证：最长路径中节点个数不会超过最短路径节点数的二倍 。即最短路径*2≥最长路径。

王道上有一句小口诀：左根右，根叶黑，不红红，黑路同

下面就是一棵标准的红黑树。

复制代码

下面解答一下为什么红黑树能保证：最长路径中节点个数不会超过最短路径节点数的二倍。
红黑树中最短路径：该路径中是全黑，个数设其为n
红黑树中最长路径：一红一黑相间排列，则红节点数≤黑节点数，则个数最多为2n。
所以则有：最短路径*2≥最长路径。

注意：在数路径时，不能数有多少个叶子节点作为路径，而应该以空节点为终点来数。

则使用红黑树来查找时，查找最短路径上的时间复杂度是logn，而对于最长路径上查找时是2logn。但就算n非常大，就算是一亿，此时也只需要最长查找60次，对cpu来说，这些次数不算什么，因此在查找上红黑树和AVL树是差不多的。

但在插入和删除时红黑树更具有优势。

插入节点的探讨

对于红黑树，我们就要考量插入的时候到底插入红色节点还是黑色节点。

首先给出结论：默认插入红色节点。

有连续的红节点就有可能最长路径超过最短路径的二倍。但此时我们可以通过改变颜色和旋转来解决。而如果增加的黑色，无论怎么旋转变颜色，就不能保证每条路径黑色节点数量都相同。

红黑树的插入

红黑树从头到尾只看是否满足它所需的性质，并没有看它的高度。

红黑树本来就不想过多的旋转，它会先通过变颜色来调整。

首先红黑树的插入可定为以下规则：

先查找，确定插入位置（类似AVL树），插入新节点
新节点为根------则染为黑色
新节点为非根------则染为红色

红黑树如何调整，则需要看叔叔的脸色，也就是父亲节点的兄弟节点的颜色。

对于红黑树的调整和AVL树的调整差不多，AVL树是看平衡因子，哪个不符合规则就调整，并一直往上调整。红黑树也是一样，主要是看新增节点，父亲节点，叔叔节点，爷爷节点之间的颜色关系 ，然后来进行调整，并要连续向上调整。

只需要我每次调整它都是红黑树的状态，我就能保证它到最后一定是一棵红黑树，有点类似递归。

红黑树插入节点会保证每条路径的黑色节点数相同，若出现两个连续的红节点，则会进行调色或旋转来处理。

此时我们可以大致分为以下两种情况：

新增节点为红，父亲节点为红，爷爷节点为黑，叔叔节点存在且为红

即父亲红，叔叔红。

此时是最简单的一种，只需要调整颜色即可：

只需要把父亲和叔叔都变为黑色，把爷爷变为红色，此时再把爷爷节点当做新插入的节点，继续向上调整。

新增节点为红，父亲节点为红，爷爷节点为黑，叔叔节点不存在或存在且为黑

即父亲红，叔叔黑，此时则要考虑旋转。

类似于AVL树，同样有左单旋，右单旋，左右双旋，右左双旋这四种，只是还会加上颜色变换。

叔叔都是黑色或不存在，此时的旋转规则如下：

LL型：右单旋，父换爷+染色
RR型：左单旋，父换爷+染色
LR型：左右双旋，儿(cur)换爷+染色
RL型：右左双旋，儿(cur)换爷+染色

下面是插入的完整代码：

cpp 复制代码

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		Node* k = new Node(kv);
		_root = k;
		_root->_col = BLACK;//根节点为黑节点
		return true;
	}

	//找到要插入的位置
	Node* cur = _root;
	Node* parent = nullptr;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first > kv.first)//往左走
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (cur->_kv.first < kv.first)//往右走
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else
			return false;//找到重复的，直接退出，不允许插入一样的值
	}

	//找到要插入的位置了
	cur = new Node(kv);

	//新增节点的颜色定为红色
	cur->_col = RED;
	cur->_parent = parent;
	if (parent->_kv.first > kv.first)
	{
		parent->_left = cur;
	}
	else
	{
		parent->_right = cur;
	}

	while (parent && parent->_col == RED)//父亲节点为红，则一定有爷爷节点，因为根节点为黑
	{
		Node* grandfather = parent->_parent;
		if (parent == grandfather->_left)
		{
			Node* uncle = grandfather->_right;
			//uncle存在且uncle为红色------>单纯变色再继续往上处理
			if (uncle && uncle->_col == RED)
			{
				uncle->_col = parent->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;

				cur = grandfather;
				parent = cur->_parent;
			}

			//uncle存在且为黑，或者不存在------>旋转+变色，再继续向上处理
			else
			{
				
				if (cur == parent->_left)//右单旋，父和爷染色
				{
					//     g
					//  f     u
					//c
					RotateR(grandfather);

					parent->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

				}
				else//双旋，左右双旋，儿爷染色
				{
					//         grandfather
					//  father              uncle
					//            cur
					RotateL(parent);
					RotateR(grandfather);

					cur->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
				}

				//当旋转变色完成之后，已达到平衡，可直接跳出
				break;
			}
		}
		else//parent == grandfather->_right
		{
			Node* uncle = grandfather->_left;
			//uncle存在且uncle为红色------>单纯变色再继续往上处理
			if (uncle && uncle->_col == RED)
			{
				uncle->_col = parent->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;

				cur = grandfather;
				parent = cur->_parent;
			}

			//uncle存在且为黑，或者不存在------>旋转+变色，再继续向上处理
			else
			{

				if (cur == parent->_right)//左单旋，父和爷染色
				{
					//     g
					//  u     p
					//          c
					RotateL(grandfather);

					parent->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

				}
				else//双旋，右左双旋，儿爷染色
				{
					//         grandfather
					//  uncle               parent
					//            cur
					RotateR(parent);
					RotateL(grandfather);

					cur->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
				}

				//当旋转变色完成之后，已达到平衡，可直接跳出
				break;
			}
		}
	}

	_root->_col = BLACK;//简单粗暴的把根变为黑
	return true;
}

下面是往一棵空的红黑树依次插入节点的过程图：

从一棵空的红黑树开始依次插入：20，10，5，30，40

判断是否是红黑树

首先空树一定是红黑树，如果根不是黑色，则直接断定不是红黑树。
要看是否有连续的红节点
看每条路径上的黑色节点数量是否相同。

对于是否有连续的红节点，只需要看当前节点和它的父节点的颜色是否都是红色的即可。

对于每条路径上的黑色节点数量是否相同，比较难想到：

我们先算出最左侧路径的黑色节点数量，将其作为参考值。
给每个节点设置一个值，用来记录从根节点到该节点一共有多少个黑色节点。
调用递归，当递归到null节点时，判断黑色节点数和参考值是否相同，如果相同则正确。
代码如下：