数字电路码制详解

数字电路码制详解：从原码到BCD码的完整指南

前言

在数字电路中，我们不仅要解决"用什么进制"的问题，还要解决"如何编码"的问题。

进制解决的是计数规则 （逢几进一），而码制解决的是表示规则（用哪些二进制位表示什么含义）。

本文将系统讲解数字电路中常用的各种码制，包括原码、反码、补码、BCD码、格雷码等，帮助你彻底搞清楚这些概念。

码制与进制的区别

核心区分

概念	解决的问题	例子
进制	逢几进一？计数规则是什么？	二进制、八进制、十进制、十六进制
码制	用什么编码表示？含义是什么？	原码、反码、补码、BCD码、格雷码

举例说明

同样是二进制数 1010：

作为无符号二进制数：表示十进制 10
作为4位原码：表示十进制 -2（最高位为符号位）
作为8421BCD码：表示十进制 10
作为格雷码：表示十进制 11

同一个二进制位组合，不同码制下含义完全不同！

机器数与真值

定义

术语	定义	例子
真值	实际的数值（带正负号）	+5、-3、+127
机器数	计算机中存储的二进制表示	0101、1101、01111111

关键点

机器数是二进制形式 ，真值是实际含义
机器数的最高位 通常作为符号位 ：
- 0 表示正数
- 1 表示负数
其余位表示数值位

示例（8位机器数）

机器数	符号位	数值位	真值（原码解释）
0000 0101	0	000 0101	+5
1000 0101	1	000 0101	-5
0111 1111	0	111 1111	+127
1111 1111	1	111 1111	-127

原码、反码、补码

这是计算机中表示有符号整数的三种编码方式。

一、原码（Sign-Magnitude）

定义：符号位 + 绝对值的二进制表示

规则：

正数：符号位为0，数值位为该数的二进制
负数：符号位为1，数值位为该数绝对值的二进制

示例（8位）：

真值	原码
+5	0000 0101
-5	1000 0101
+0	0000 0000
-0	1000 0000

原码的问题：

零有两种表示：+0 和 -0
运算复杂：加减法需要判断符号，硬件实现麻烦

二、反码（Ones' Complement）

定义：正数同原码，负数为原码数值位按位取反

规则：

正数：与原码相同
负数：符号位为1，数值位为原码数值位按位取反

示例（8位）：

真值	原码	反码
+5	0000 0101	0000 0101
-5	1000 0101	1111 1010
+0	0000 0000	0000 0000
-0	1000 0000	1111 1111

反码的问题：

零仍然有两种表示
运算时需要循环进位

三、补码（Two's Complement）⭐ 最重要

定义：正数同原码，负数为反码加1

规则：

正数：与原码相同
负数：反码 + 1，或等价地，原码数值位取反后加1

示例（8位）：

真值	原码	反码	补码
+5	0000 0101	0000 0101	0000 0101
-5	1000 0101	1111 1010	1111 1011
+0	0000 0000	0000 0000	0000 0000
-0	1000 0000	1111 1111	0000 0000
-128	---	---	1000 0000

补码的优点：

零只有一种表示
加减法统一：减法变成加负数
符号位参与运算：不需要单独处理

补码的快速求法

负数补码的简便求法：

从右向左，第一个1及其右边保持不变，左边按位取反。

示例：求 -5 的8位补码

复制代码

+5 的原码：0000 0101
从右向左找第一个1：0000 0101
                     ↑
该位及右边不变，左边取反：1111 1011

为什么计算机用补码

核心原因

统一加减法运算

减法可以转化为加法：

复制代码

5 - 3 = 5 + (-3)

在补码系统中：

复制代码

  0000 0101  (+5)
+ 1111 1101  (-3)
-----------
  0000 0010  (+2)  ← 结果正确！

零的唯一表示

补码中，零只有一种表示（0000 0000），避免了原码和反码的"正零负零"问题。

扩大表示范围

n位补码的表示范围：

原码/反码：-(2^(n-1) - 1) 到 +(2^(n-1) - 1)
补码：-2^(n-1) 到 +(2^(n-1) - 1)

例如8位：

原码/反码：-127 到 +127
衡码：-128 到 +127（多表示一个 -128）

BCD码（二-十进制编码）

什么是BCD码？

BCD码用4位二进制 表示1位十进制数字。

常用BCD码类型

1. 8421BCD码（最常用）

十进制	8421BCD	权值解释
0	0000	0×8+0×4+0×2+0×1
1	0001	0×8+0×4+0×2+1×1
2	0010	0×8+0×4+1×2+0×1
3	0011	0×8+0×4+1×2+1×1
4	0100	0×8+1×4+0×2+0×1
5	0101	0×8+1×4+0×2+1×1
6	0110	0×8+1×4+1×2+0×1
7	0111	0×8+1×4+1×2+1×1
8	1000	1×8+0×4+0×2+0×1
9	1001	1×8+0×4+0×2+1×1

注意：1010～1111 这6种组合在8421BCD中是非法码！

2. 5421BCD码

十进制	5421BCD
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	1000
6	1001
7	1010
8	1011
9	1100

3. 2421BCD码

十进制	2421BCD
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	1011
6	1100
7	1101
8	1110
9	1111

BCD码的应用

数字显示（数码管）
金融计算（避免浮点误差）
十进制运算电路

格雷码

什么是格雷码？

格雷码是一种相邻两个码只有一位不同的编码方式。

4位格雷码表

十进制	二进制	格雷码
0	0000	0000
1	0001	0001
2	0010	0011
3	0011	0010
4	0100	0110
5	0101	0111
6	0110	0101
7	0111	0100
8	1000	1100
9	1001	1101
10	1010	1111
11	1011	1110
12	1100	1010
13	1101	1011
14	1110	1001
15	1111	1000

格雷码的特点

相邻性：任意相邻两个格雷码只有一位不同
循环性：首尾格雷码也只有一位不同
反射性：具有镜像对称结构

二进制转格雷码

G i = B i ⊕ B i + 1 G_i = B_i \oplus B_{i+1} Gi=Bi⊕Bi+1

即：格雷码的第i位 = 二进制码的第i位异或二进制码的第i+1位

示例：二进制 1011 → 格雷码？

复制代码

B3 B2 B1 B0 = 1  0  1  1
G3 G2 G1 G0 = 1⊕0  0⊕1  1⊕1  1
           = 1    1    0    1

答案：1101

格雷码的应用

编码器（避免跳变误差）
位置传感器
模数转换

奇偶校验码

原理

在数据位后增加一位校验位，使整个码中"1"的个数为奇数或偶数。

奇校验 vs 偶校验

类型	规则
奇校验	数据位 + 校验位中"1"的个数为奇数
偶校验	数据位 + 校验位中"1"的个数为偶数

示例

数据	1的个数	奇校验位	偶校验位
1010	2（偶）	1	0
1011	3（奇）	0	1
1100	2（偶）	1	0

局限性

只能检测奇数个错误
不能纠错
不能检测偶数个错误

码制对照表

常用编码对照（十进制 0～9）

十进制	二进制	8421BCD	格雷码	奇校验码
0	0000	0000	0000	00001
1	0001	0001	0001	00010
2	0010	0010	0011	00101
3	0011	0011	0010	00110
4	0100	0100	0110	01001
5	0101	0101	0111	01010
6	0110	0110	0101	01100
7	0111	0111	0100	01111
8	1000	1000	1100	10001
9	1001	1001	1101	10010

典型例题

例题一：求补码

求十进制数 -37 的8位补码。

【解】

第一步：求 +37 的原码

+37 = 32 + 4 + 1 = 0010 0101

第二步：求反码（数值位取反）

0010 0101 → 1101 1010

第三步：求补码（反码 + 1）

1101 1010 + 1 = 1101 1011

【答案】：1101 1011

例题二：补码转真值

已知8位补码为 1110 0110，求其真值。

【解】

第一步：判断符号位

最高位为1，是负数

第二步：求原码

补码 → 反码（减1）：1110 0110 - 1 = 1110 0101

反码 → 原码（数值位取反）：1110 0101 → 1001 1010

第三步：求真值

原码数值位：001 1010 = 32 + 8 + 2 = 26

符号位为1，所以真值为 -26

【答案】：-26

例题三：8421BCD码转换

将十进制数 59 转换为8421BCD码。

【解】

5 → 0101

9 → 1001

【答案】：0101 1001

总结与记忆口诀

核心概念速记

码制	核心特点
原码	符号位 + 绝对值，零有两种表示
反码	正同原，负取反，零有两种表示
补码	正同原，负取反加一，零唯一，计算机必用
BCD码	4位二进制表示1位十进制
格雷码	相邻只有一位不同
奇偶校验	增加1位使"1"的个数为奇/偶

补码求法口诀

正数补码同原码，负数反码加个一
快速求法看右边，第一个1左边翻

BCD码口诀

8421权值要记牢，四位二进表十进
1010以后非法码，只有零到九有效

格雷码口诀

相邻只变一位数，二进异或得格雷

数字电路码制详解