树与二叉树--二叉树的定义及其主要特性

一、二叉树的定义

二叉树是n（n≥0）个结点的有限集合，满足：

1. 当 n=0 时，称为空二叉树。

2. 非空时：

• 有且仅有一个根结点；

• 根结点的子结点分为左子树和右子树；

• 左右子树次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

简单理解：

• 每个结点最多两个孩子（0、1 或 2 个）

• 左孩子≠右孩子，交换后就是两棵不同的树

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二、二叉树的五种基本形态

1. 空二叉树

2. 只有根结点

3. 根 + 左子树

4. 根 + 右子树

5. 根 + 左子树 + 右子树

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三、二叉树的四个重要特性

特性 1

二叉树第 i 层上至多有2^(i−1) 个结点

（i ≥ 1，根为第 1 层）

特性 2

深度（高度）为 k的二叉树，最多有2^k − 1 个结点

（这就是满二叉树）

特性 3（最重要公式）

对任意一棵二叉树，若：

• n₀：叶子结点数（度为 0）

• n₁：度为 1 的结点数

• n₂：度为 2 的结点数

则恒成立：

> n₀ = n₂ + 1

推导：

1. 总结点数 n = n₀ + n₁ + n₂

2. 总边数 = 总度数 = n₁ + 2n₂

3. 树中：n = 总边数 + 1

联立得：n₀ = n₂ + 1

特性 4

具有 n 个结点的完全二叉树**的高度为：

> h = log₂n + 1

或等价写成

> h = log₂(n+1)

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四、两种特殊二叉树

1. 满二叉树

• 每一层结点数都达到最大值

• 高度 k，结点总数 = 2^k − 1

• 所有叶子都在最底层

• 只有度为 0 和度为 2 的结点，没有度为 1 的结点

2. 完全二叉树

• 除最后一层外，其他层都"满"

• 最后一层结点靠左连续排列

• 最多只有一个度为 1 的结点，且只有左孩子

• 适合顺序存储（数组）

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五、完全二叉树的编号性质（层序编号从 1 开始）

对编号为 i 的结点：

1. 父结点编号： i / 2

2. 左孩子编号：2i

3. 右孩子编号：2i + 1

4. 若 i > 1，是左孩子则父结点为 i/2；是右孩子则父结点为 (i−1)/2

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六、易混淆点

1. 二叉树 ≠ 度为 2 的树

• 二叉树严格区分左右

• 二叉树可以只有左子树或只有右子树

2. 空树是合法二叉树

3. 只有一个孩子时，也要明确是左还是右