树与二叉树--树的性质

一、普通树的基本性质

1.树中的结点数 = 总度数 + 1

• 每条边对应一个度数

• 根结点没有父结点，所以少一条边

• 公式：n = 总度数 + 1

2. 度为 m 的树（m 叉树）第 i 层最多结点数

• 第 1 层：1 个

• 第 2 层：m 个

• 第 3 层：m² 个

• 第 i 层最多：m^(i-1)个结点

3. 高度为 h 的 m 叉树最多结点数

-（m^h-1)/(m-1)

4. 高度 h 与最少结点数

• 每层至少 1 个结点

• 最少结点数：h

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二、二叉树的重要性质

性质 1

二叉树第 i 层上最多有 2^(i−1)个结点

（i ≥ 1）

性质 2

深度（高度）为 k的二叉树最多有 2^k − 1 个结点

（满二叉树）

性质 3

对任意一棵二叉树：

叶子结点数 n₀ = 度为 2 的结点数 n₂ + 1

即：

n_0 = n_2 + 1

性质 4

具有度为m,有 n 个结点的完全二叉树高度：

h = log_2(n（n(m-1)+1)

性质 5（完全二叉树父子下标关系）

对按层序编号 1~n 的完全二叉树：

• 结点 i 的左孩子：2i

• 结点 i 的右孩子：2i + 1

• 结点 i 的父结点：⌊i/2⌋

• 叶子结点一定在最后一层或倒数第二层

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三、满二叉树 & 完全二叉树 区别与性质

1. 满二叉树

• 每一层都达到最大结点数

• 高度 k，结点总数：2^k − 1

• 所有叶子都在最底层

• 只有度为 0 和度为 2 的结点，没有度为 1 的结点

2. 完全二叉树

• 除最后一层外，每层都满

• 最后一层结点靠左连续排列

• 最多只有一个度为 1 的结点，且一定只有左孩子

• 是顺序存储（数组）的最佳结构

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四、二叉树 vs 度为 2 的有序树

• 二叉树是严格有序：左孩子≠右孩子，交换即不同树

• 度为 2 的普通树：子树不分左右，只看个数

• 二叉树可以空树、只有左子树、只有右子树

• 普通树至少 1 个结点（非空定义）

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五、树、二叉树、森林之间的转换规律

1.树 ↔ 二叉树

• 左孩子：原树的第一个孩子

• 右孩子：原树的兄弟结点

2. 森林 ↔ 二叉树

• 每棵树转为二叉树

• 依次把后一棵树的根作为前一棵树的右孩子

3. 转换后性质

• 树的先根遍历= 对应二叉树先序遍历

• 树的后根遍历 = 对应二叉树中序遍历

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六、高度、深度、层数的统一说明

• 根结点层数 = 1

• 结点深度 = 层数

• 树的高度 = 最大层数

• 叶子高度 = 1

• 空树高度 = 0

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七、快速记忆口诀

1. 树结点数 = 总度数 + 1

2. 二叉树第 i 层最多 2^(i−1)

3. 满二叉树总数 2^k − 1

4. 叶子数 = 度2结点数 + 1

5. 完全二叉树高度 ⌊log₂n⌋ + 1

6. 完全二叉树下标：左2i、右2i+1、父i/2