P9936 [NFLSPC #6] 等差数列

求解思路

1.先把目标写出来

因为要形成一个等差数列，设新形成的等差数列为{bi}

设首项为b1，则b_i=b₁+(i-1)*d

求需要增加多少满足该序列成为一个公差非正的等差数列

那么增加的数 sum

sum=∑i=1n(b i −a i )\sum_{i=1}^{n} (b~i~-a~i~)∑i=1n(b i −a i )=∑i=1n(b i )\sum_{i=1}^{n} (b~i~)∑i=1n(b i ) ---∑i=1n(a i )\sum_{i=1}^{n} (a~i~)∑i=1n(a i )

∑i=1nb i \sum_{i=1}^{n} b~i~∑i=1nb i =nb₁+ n *(n-1)*d/2

2.发现关键点

发现，sum的结果与bi相关，即与公差d与首项b1相关

在这个式子中，有两个未知数，尝试用一个来表示另一个

尝试用公差d表示首项b1

∵ b_i≥a_i

又∵ bi=b1+(i-1)*d

∴ b1+(i-1)*d≥a_i

即b1≥ max(a_i - (i-1)*d)

b1是max(a_i - (i-1)*d)的最大值

sum=∑i=1n(b i −a i )\sum_{i=1}^{n} (b~i~-a~i~)∑i=1n(b i −a i )

=∑i=1n(b i )\sum_{i=1}^{n} (b~i~)∑i=1n(b i ) ---∑i=1n(a i )\sum_{i=1}^{n} (a~i~)∑i=1n(a i )

=n * max(ai - (i-1)d)+n*(n-1)*d/2-∑i=1n(a i )\sum_{i=1}^{n} (a~i~)∑i=1n(a i )

该式子中包含三项

中间项n*(n-1)*d/2是一个一次函数
尾项 ∑i=1n(a i )\sum_{i=1}^{n} (a~i~)∑i=1n(a i )是常数项
首项=n * max(ai - (i-1)d)，其中每一个ai-（i-1）*d是一次函数。

我们暂时不考虑d的范围，即斜率为正还是为负的情况，画出下面的图，即画出多条一次函数，取每一个d点在该图上的最大值

对于每一个d点在各个函数上的最大值，发现他是一个凸函数。

而剩下的一次函数和常数项，不会影响函数的凸凹性。

3.找到解决方法

在凸函数上，斜率非正的部分取最小值，可以用三分求解。

代码实现

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10; 
long long sum,n;
int a[N];
long long cul(long long d)
{
	long long shouxiang=-1e18;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		shouxiang=max(shouxiang,a[i]-(i-1)*d);
	}
	return n*shouxiang+n*(n-1)*d/2-sum;
}
int main()
{
	int T;
	cin>>T;
	while(T--)
	{
		cin>>n;
		sum=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)  
		{
			cin>>a[i];
			sum+=a[i];
		}
		long long l=-1e9,r=0;
		while(r>l)
		{
			long long ll=l+(r-l)/3;
			long long rr=r-(r-l)/3;
			if(cul(ll)<=cul(rr))
			{
				r=rr-1;
			}
			else l=ll+1;
		}
	   cout<<cul(l)<<endl;
	}
	return 0;
}

我的bug

cpp 复制代码

return n*shouxiang+n*(n-1)*d/2-sum;

这里n原本是int 类型，n*(n-1)会爆

三分模板

cpp 复制代码

     l=0.0,r=1000.0;
     while(r-l>eps)
		{
		    k=(r-l)/3;
		    mid1=l+k;
			mid2=r-k; 
			if(f(mid1)>f(mid2))  l=mid1;
			else  r=mid2;
		}
		printf("%.4lf\n",f(l));

这是我之前写的三分模板

在本题中我刚开始写的三分是

cpp 复制代码

     while(r>l)
		{
			long long k=(r-l)/3;
			long long ll=l+k;
			long long rr=r-k;
			if(cul(ll)>cul(rr))
			{
				l=ll;
			}
			else r=rr;
		}
	   cout<<cul(l)<<endl;

如果 cul(ll) > cul(rr)，说明最小值在右边，应该 l = ll + 1

否则最小值在左边，应该 r = rr - 1

这种写法当 ll 和 rr 相邻时，l 和 r 可能不变，造成死循环

改进为：

cpp 复制代码

			if(cul(ll)>cul(rr))
			{
				l=ll+1;
			}
			else r=rr-1;

问题 2：循环条件 while(r > l) 太宽松

当 r == l + 1 时，k = (r-l)/3 = 0，那么：

ll = l + 0 = l

rr = r - 0 = r

然后 cul(l) > cul( r) 时 l = l，否则 r = r，区间完全不变 → 死循环。

还可以这么写

cpp 复制代码

         while(r - l > 3)
        {
            long long k = (r - l) / 3;
            long long ll = l + k;
            long long rr = r - k;
            if(cul(ll) > cul(rr))
                l = ll;   // 这里可以不用 +1，因为 ll 和 rr 距离较远
            else
                r = rr;
        }
        // 暴力枚举剩余区间
        long long ans = INF;
        for(long long d = l; d <= r; d++)
            ans = min(ans, cul(d));     
        cout << ans << '\n';