目标读者 ：具有Python基础，追求十年经验级别的深度理解 学习路径：从实践出发，在需要时补充数学原理
第一部分：5分钟快速上手
1.1 第一个神经网络
python
import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
# 1. 创建一个简单的线性回归模型
model = nn.Linear(in_features=1, out_features=1)
# 2. 准备数据（y = 2x + 3）
x_train = torch.tensor([[1.0], [2.0], [3.0], [4.0]])
y_train = torch.tensor([[5.0], [7.0], [9.0], [11.0]])
# 3. 定义损失函数和优化器
criterion = nn.MSELoss()
optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01)
# 4. 训练循环
for epoch in range(100):
# 前向传播
y_pred = model(x_train)
# 计算损失
loss = criterion(y_pred, y_train)
# 反向传播
optimizer.zero_grad() # 清空梯度
loss.backward() # 计算梯度
optimizer.step() # 更新参数
if (epoch + 1) % 20 == 0:
print(f'Epoch [{epoch+1}/100], Loss: {loss.item():.4f}')
# 5. 测试模型
with torch.no_grad():
test_x = torch.tensor([[5.0]])
test_y = model(test_x)
print(f'Input: 5.0, Predicted: {test_y.item():.2f}, Expected: ~13.0')运行结果分析：
- 模型学习到了线性关系 y ≈ 2x + 3
- 损失函数逐渐降低，说明模型在优化
- 最终预测结果接近真实值
第二部分：PyTorch核心架构
2.1 张量（Tensor）：PyTorch的核心数据结构
2.1.1 什么是张量？
简单理解：
- 0维张量 = 标量（一个数字）：
torch.tensor(3.14) - 1维张量 = 向量（一串数字）：
torch.tensor([1, 2, 3]) - 2维张量 = 矩阵（表格）：
torch.tensor([[1, 2], [3, 4]]) - 3维张量 = 立方体（如RGB图像）：
torch.tensor([[[...]]])
python
# 创建张量的多种方式
import torch
# 1. 从Python列表创建
a = torch.tensor([1, 2, 3])
print(a) # tensor([1, 2, 3])
# 2. 创建特殊张量
zeros = torch.zeros(2, 3) # 全0矩阵
ones = torch.ones(2, 3) # 全1矩阵
rand = torch.randn(2, 3) # 标准正态分布随机数
arange = torch.arange(0, 10, 2) # [0, 2, 4, 6, 8]
# 3. 查看张量属性
print(f"形状: {rand.shape}") # torch.Size([2, 3])
print(f"数据类型: {rand.dtype}") # torch.float32
print(f"设备: {rand.device}") # cpu 或 cuda:02.1.2 张量的基本运算
python
# 基础运算
x = torch.tensor([[1.0, 2.0], [3.0, 4.0]])
y = torch.tensor([[5.0, 6.0], [7.0, 8.0]])
# 逐元素运算
z1 = x + y # 加法：[[6, 8], [10, 12]]
z2 = x * y # 逐元素乘法：[[5, 12], [21, 32]]
z3 = x / y # 除法
z4 = x ** 2 # 平方
# 矩阵运算
z5 = x @ y # 矩阵乘法
z6 = x.T # 转置
# 聚合运算
print(x.sum()) # 所有元素求和：10.0
print(x.mean()) # 平均值：2.5
print(x.max()) # 最大值：4.0
print(x.argmax()) # 最大值索引：3📐 数学补充：矩阵乘法的数学原理（点击展开）
💡 记忆口诀：
行乘列，对应乘，求和填新位
左行数，右列数，中间要相等矩阵乘法定义：
css
给定 A(m×n) 和 B(n×p)，结果 C(m×p) 的计算：
C[i,j] = Σ(k=1 to n) A[i,k] * B[k,j]
意思：左边第i行，乘以右边第j列，对应位置相乘再求和手工计算示例：
less
A = [1 2] B = [5 6]
[3 4] [7 8]
AB = [(1×5 + 2×7) (1×6 + 2×8)] [19 22]
[(3×5 + 4×7) (3×6 + 4×8)] = [43 50]
第1行第1列: A的第1行 × B的第1列 = 1×5 + 2×7 = 19
第1行第2列: A的第1行 × B的第2列 = 1×6 + 2×8 = 22PyTorch验证：
python
A = torch.tensor([[1., 2.], [3., 4.]])
B = torch.tensor([[5., 6.], [7., 8.]])
print(A @ B) # tensor([[19., 22.], [43., 50.]])几何意义：
- 矩阵乘法 = 线性变换的组合
- A @ x：用矩阵A变换向量x
- 神经网络的每一层本质上就是矩阵乘法 + 非线性激活
2.1.3 内存布局与存储机制
python
class TensorStorageSystem:
"""
深入理解PyTorch张量的存储系统
"""
def storage_and_view(self):
"""
存储（Storage）与视图（View）机制
"""
# 1. 存储是一维连续内存块
x = torch.tensor([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print(f"存储内容: {x.storage()}") # [1, 2, 3, 4, 5, 6]
# 2. 张量是存储的视图
# 通过offset, size, stride定义
print(f"偏移量: {x.storage_offset()}")
print(f"形状: {x.size()}")
print(f"步幅: {x.stride()}") # (3, 1) 表示行间隔3，列间隔1
# 3. 视图操作零拷贝
y = x.view(3, 2) # 只改变形状元数据
z = x.t() # 转置只改变步幅
# 4. 步幅的数学意义
# 元素x[i,j]的内存地址：
# addr = storage_offset + i*stride[0] + j*stride[1]
def advanced_indexing(self):
"""
高级索引与内存连续性
"""
x = torch.randn(10, 20, 30)
# 基础索引（不复制）
y1 = x[0] # shape: (20, 30)
y2 = x[:, 0, :] # shape: (10, 30)
# 高级索引（复制数据）
indices = torch.tensor([0, 2, 4])
y3 = x[indices] # 需要复制，因为索引不连续
# 掩码索引
mask = x > 0
y4 = x[mask] # 返回一维张量
def memory_format(self):
"""
内存格式：NCHW vs NHWC
"""
# Channels Last格式（对某些硬件更优）
x = torch.randn(8, 3, 224, 224) # NCHW
x_cl = x.to(memory_format=torch.channels_last) # NHWC
# 检查内存格式
print(f"是否channels_last: {x_cl.is_contiguous(memory_format=torch.channels_last)}")
# 实战演示
demo = TensorStorageSystem()
demo.storage_and_view()为什么理解内存布局很重要？
- 性能优化：连续内存访问更快
- 避免意外bug：理解何时发生数据复制
- GPU优化：不同内存格式对GPU性能影响巨大
2.2 自动微分（Autograd）：反向传播的魔法
2.2.1 梯度计算入门
python
# 开启梯度追踪
x = torch.tensor(2.0, requires_grad=True)
y = x ** 2 + 3 * x + 1
# 计算梯度
y.backward()
print(f"x = {x.item()}") # 2.0
print(f"y = {y.item()}") # 4 + 6 + 1 = 11
print(f"dy/dx = {x.grad.item()}") # 2*2 + 3 = 7📐 数学补充：梯度的含义（点击展开）
💡 记忆口诀：
梯度就是斜率坡，告诉方向怎么走
自变量变一小步，因变量跟着走梯度定义：
diff
对于函数 y = f(x)，梯度 dy/dx 表示：
- x变化一个小量Δx时，y变化多少
- 函数在该点的斜率
- 优化时的前进方向（负梯度 = 下降最快）例子：y = x² + 3x + 1
ini
dy/dx = 2x + 3
当 x = 2：
dy/dx = 2(2) + 3 = 7
含义：x从2增加到2.01时，
y大约增加 7 × 0.01 = 0.07验证：
python
x = 2.0
y1 = x**2 + 3*x + 1 # 11.0
x = 2.01
y2 = x**2 + 3*x + 1 # 11.0701
print(f"实际变化: {y2 - y1:.4f}") # 0.0701
print(f"梯度预测: {7 * 0.01:.4f}") # 0.07002.2.2 多变量梯度
python
# 多变量函数
x = torch.tensor([1.0, 2.0], requires_grad=True)
y = x[0]**2 + 3*x[0]*x[1] + x[1]**2
y.backward()
print(f"∂y/∂x₀ = {x.grad[0].item()}") # 2*1 + 3*2 = 8
print(f"∂y/∂x₁ = {x.grad[1].item()}") # 3*1 + 2*2 = 72.2.3 计算图与反向传播
python
class ComputationGraphDemo:
"""
理解PyTorch的动态计算图
"""
def visualize_graph(self):
"""
可视化计算图
"""
x = torch.tensor(2.0, requires_grad=True)
y = torch.tensor(3.0, requires_grad=True)
# 构建计算图
a = x + y # a = 5.0
b = x * y # b = 6.0
c = a * b # c = 30.0
c.backward()
print(f"dc/dx = {x.grad}") # 11.0
print(f"dc/dy = {y.grad}") # 13.0
"""
计算图：
x=2 ─┬─(+)─→ a=5 ─┐
│ ├─(*)─→ c=30
y=3 ─┼─(*)─→ b=6 ─┘
│
反向传播：
dc/dx = dc/da * da/dx + dc/db * db/dx
= b * 1 + a * y
= 6 + 5*1 = 11
"""
def gradient_accumulation(self):
"""
梯度累积机制
"""
x = torch.tensor(1.0, requires_grad=True)
# 第一次前向+反向
y1 = x ** 2
y1.backward()
print(f"第一次梯度: {x.grad}") # 2.0
# 不清零，再次反向（梯度会累积！）
y2 = x ** 3
y2.backward()
print(f"累积后梯度: {x.grad}") # 2.0 + 3.0 = 5.0
# 这就是为什么训练时需要 optimizer.zero_grad()
# 实战演示
demo = ComputationGraphDemo()
demo.visualize_graph()
demo.gradient_accumulation()📐 数学补充：链式法则与反向传播（点击展开）
💡 记忆口诀：
链式求导像接力，一棒一棒往回递
外层导数乘内层，从后往前全连起链式法则（Chain Rule）：
scss
如果 z = f(y), y = g(x)，那么：
dz/dx = (dz/dy) × (dy/dx)
意思：z对x的导数 = z对y的导数 × y对x的导数
就像接力赛，梯度从后往前一层层传反向传播本质：
- 就是链式法则的递归应用
- 从输出节点开始，逐层向后计算梯度
- 神经网络训练的核心算法
例子：z = (x² + 1)³
ini
设 y = x² + 1, z = y³
前向传播（从左到右算值）：
x = 2 → y = 5 → z = 125
反向传播（从右到左算梯度）：
dz/dy = 3y² = 75
dy/dx = 2x = 4
dz/dx = (dz/dy) × (dy/dx) = 75 × 4 = 300PyTorch验证：
python
x = torch.tensor(2.0, requires_grad=True)
z = (x**2 + 1)**3
z.backward()
print(x.grad) # tensor(300.)2.3 神经网络模块（nn.Module）
2.3.1 构建自定义网络
python
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F
class SimpleNN(nn.Module):
def __init__(self, input_size, hidden_size, output_size):
super(SimpleNN, self).__init__()
# 定义层
self.fc1 = nn.Linear(input_size, hidden_size)
self.fc2 = nn.Linear(hidden_size, output_size)
def forward(self, x):
# 前向传播逻辑
x = F.relu(self.fc1(x)) # 隐藏层 + ReLU激活
x = self.fc2(x) # 输出层
return x
# 创建模型
model = SimpleNN(input_size=10, hidden_size=20, output_size=2)
# 查看模型结构
print(model)
# 查看参数
for name, param in model.named_parameters():
print(f"{name}: {param.shape}")输出解释：
ini
SimpleNN(
(fc1): Linear(in_features=10, out_features=20, bias=True)
(fc2): Linear(in_features=20, out_features=2, bias=True)
)
fc1.weight: torch.Size([20, 10]) # 第一层权重矩阵
fc1.bias: torch.Size([20]) # 第一层偏置
fc2.weight: torch.Size([2, 20]) # 第二层权重矩阵
fc2.bias: torch.Size([2]) # 第二层偏置2.3.2 激活函数
python
# 常用激活函数
x = torch.linspace(-5, 5, 100)
# ReLU: max(0, x)
relu_out = F.relu(x)
# Sigmoid: 1 / (1 + e^(-x))
sigmoid_out = torch.sigmoid(x)
# Tanh: (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x))
tanh_out = torch.tanh(x)
# LeakyReLU: max(0.01x, x)
leaky_relu_out = F.leaky_relu(x, 0.01)
# GELU (现代Transformer常用)
gelu_out = F.gelu(x)为什么需要激活函数？
- 没有激活函数，多层神经网络 = 一个线性变换
- 激活函数引入非线性，让网络能拟合复杂函数
📐 数学补充：为什么线性层叠加还是线性？（点击展开）
💡 记忆口诀：
线性套线性，还是线性变
加个激活函数，才能拐弯弯证明：
css
假设两层线性变换：
h = W₁x + b₁
y = W₂h + b₂
代入：
y = W₂(W₁x + b₁) + b₂
= W₂W₁x + W₂b₁ + b₂
= Wx + b （其中 W = W₂W₁, b = W₂b₁ + b₂）
结论：两层线性变换等价于一层！
就像 y = 2(3x + 1) + 5 = 6x + 7，最终还是一条直线加入激活函数后：
ini
h = σ(W₁x + b₁) # σ是激活函数（如ReLU）
y = W₂h + b₂
此时无法简化为单层，因为σ是非线性的
就像先折叠再拉伸，能拟合复杂曲线目的：
- 没有激活函数：多层网络 = 浪费计算
- 有激活函数：能学习复杂的非线性模式
2.4 设备管理（CPU vs GPU）
python
# 检查CUDA是否可用
device = torch.device('cuda' if torch.cuda.is_available() else 'cpu')
print(f"使用设备: {device}")
# 将张量移到GPU
x_cpu = torch.randn(1000, 1000)
x_gpu = x_cpu.to(device)
# 将模型移到GPU
model = SimpleNN(10, 20, 2)
model = model.to(device)
# 完整训练循环示例
def train_on_gpu(model, data_loader, optimizer, criterion, device):
model.train()
for batch_x, batch_y in data_loader:
# 数据移到GPU
batch_x = batch_x.to(device)
batch_y = batch_y.to(device)
# 前向传播
outputs = model(batch_x)
loss = criterion(outputs, batch_y)
# 反向传播
optimizer.zero_grad()
loss.backward()
optimizer.step()性能对比：
python
import time
# CPU版本
x = torch.randn(5000, 5000)
y = torch.randn(5000, 5000)
start = time.time()
z = x @ y
print(f"CPU耗时: {time.time() - start:.4f}秒")
# GPU版本（如果可用）
if torch.cuda.is_available():
x_gpu = x.to('cuda')
y_gpu = y.to('cuda')
start = time.time()
z_gpu = x_gpu @ y_gpu
torch.cuda.synchronize() # 等待GPU计算完成
print(f"GPU耗时: {time.time() - start:.4f}秒")第三部分：数值稳定性与实践技巧
3.1 数值稳定性问题
3.1.1 指数函数的数值稳定实现
python
def softmax_naive(x):
"""
朴素实现（数值不稳定）
"""
exp_x = torch.exp(x)
return exp_x / exp_x.sum(dim=-1, keepdim=True)
def softmax_stable(x):
"""
数值稳定版本
"""
# 减去最大值，防止指数溢出
x_max = x.max(dim=-1, keepdim=True)[0]
exp_x = torch.exp(x - x_max)
return exp_x / exp_x.sum(dim=-1, keepdim=True)
# 测试
x = torch.tensor([1000., 1001., 1002.])
try:
result1 = softmax_naive(x)
print(f"朴素版本: {result1}") # 可能出现NaN
except:
print("朴素版本溢出！")
result2 = softmax_stable(x)
print(f"稳定版本: {result2}") # tensor([0.0900, 0.2447, 0.6652])📐 数学补充：Softmax数值稳定性（点击展开）
💡 记忆口诀：
指数函数易爆炸，减去最大保平安
上下同除不改值，稳定计算是关键Softmax定义：
scss
softmax(xᵢ) = exp(xᵢ) / Σⱼ exp(xⱼ)
作用：把一组数字转换成概率（和为1，都在0-1之间）问题：当x很大时，exp(x)会溢出
scss
exp(1000) = ∞ （超出浮点数范围）解决方案：利用数学恒等式
scss
softmax(x) = softmax(x - c) 对任意常数c成立
证明：
softmax(xᵢ - c) = exp(xᵢ - c) / Σⱼ exp(xⱼ - c)
= [exp(xᵢ) / exp(c)] / [Σⱼ exp(xⱼ) / exp(c)]
= exp(xᵢ) / Σⱼ exp(xⱼ)
= softmax(xᵢ)
选择 c = max(x)，可以保证：
- 所有 exp(xᵢ - c) ≤ 1（防止溢出）
- 至少一个 exp(xᵢ - c) = 1（防止下溢）目的：
- 朴素实现：exp(大数) → 溢出 → NaN
- 稳定实现：减最大值 → 数值在安全范围 → 正确结果
3.1.2 梯度消失与爆炸
python
class GradientFlowDemo:
"""
演示梯度消失和梯度爆炸
"""
def gradient_vanishing(self):
"""
梯度消失示例
"""
# 使用Sigmoid激活函数的深层网络
x = torch.randn(1, 10, requires_grad=True)
# 10层网络，每层都用Sigmoid
h = x
for _ in range(10):
W = torch.randn(10, 10) * 0.5
h = torch.sigmoid(h @ W)
loss = h.sum()
loss.backward()
print(f"输入梯度范数: {x.grad.norm().item():.6f}")
# 很小的值，说明梯度消失了
def gradient_exploding(self):
"""
梯度爆炸示例
"""
x = torch.randn(1, 10, requires_grad=True)
# 权重过大导致梯度爆炸
h = x
for _ in range(10):
W = torch.randn(10, 10) * 2 # 权重较大
h = h @ W
loss = h.sum()
loss.backward()
print(f"输入梯度范数: {x.grad.norm().item():.6f}")
# 很大的值，说明梯度爆炸了
demo = GradientFlowDemo()
demo.gradient_vanishing()
demo.gradient_exploding()解决方案：
- 批归一化（Batch Normalization）
- 残差连接（ResNet）
- 合适的权重初始化
- 梯度裁剪
3.2 权重初始化策略
python
import math
def xavier_uniform_init(tensor, gain=1.0):
"""
Xavier均匀初始化（适用于Tanh、Sigmoid）
"""
fan_in, fan_out = tensor.shape
a = gain * math.sqrt(6.0 / (fan_in + fan_out))
with torch.no_grad():
tensor.uniform_(-a, a)
def kaiming_normal_init(tensor, mode='fan_in', nonlinearity='relu'):
"""
Kaiming正态初始化（适用于ReLU）
"""
fan_in, fan_out = tensor.shape
fan = fan_in if mode == 'fan_in' else fan_out
# ReLU的增益因子
gain = math.sqrt(2.0) if nonlinearity == 'relu' else 1.0
std = gain / math.sqrt(fan)
with torch.no_grad():
tensor.normal_(0, std)
# PyTorch内置初始化
layer = nn.Linear(100, 50)
nn.init.xavier_uniform_(layer.weight)
nn.init.zeros_(layer.bias)
# 或者
nn.init.kaiming_normal_(layer.weight, mode='fan_in', nonlinearity='relu')📐 数学补充：Xavier初始化的数学原理（点击展开）
💡 记忆口诀：
输入输出取平均，方差倒数是关键
前向反向都稳定，信号传播不衰减目标：保持信号的方差在前向和反向传播中不变
推导（简化版）：
css
假设输入 x 的方差为 Var(x) = 1
层输出 y = Wx（忽略偏置）
Var(y) = Var(Σᵢ wᵢxᵢ)
= Σᵢ Var(wᵢxᵢ) （假设独立）
= Σᵢ E[wᵢ²]E[xᵢ²] （假设零均值）
= n_in × Var(w) × Var(x)
要使 Var(y) = Var(x)，需要：
n_in × Var(w) = 1
Var(w) = 1 / n_in
同理，考虑反向传播，得到：
Var(w) = 1 / n_out
折中：Var(w) = 2 / (n_in + n_out)
对于均匀分布 U(-a, a)：
Var = a² / 3
所以 a = sqrt(6 / (n_in + n_out))目的：
- 太小：信号逐层衰减，梯度消失
- 太大：信号逐层放大，梯度爆炸
- 刚好：信号稳定传播，训练顺畅
适用场景：
- Xavier：适合Tanh、Sigmoid等对称激活函数
- Kaiming：适合ReLU（会砍掉一半，需要更大的初始化）
第四部分：完整实战案例
4.1 图像分类：MNIST手写数字识别
python
import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
from torch.utils.data import DataLoader
from torchvision import datasets, transforms
# 1. 数据准备
transform = transforms.Compose([
transforms.ToTensor(),
transforms.Normalize((0.1307,), (0.3081,))
])
train_dataset = datasets.MNIST('./data', train=True, download=True, transform=transform)
test_dataset = datasets.MNIST('./data', train=False, transform=transform)
train_loader = DataLoader(train_dataset, batch_size=64, shuffle=True)
test_loader = DataLoader(test_dataset, batch_size=1000)
# 2. 定义模型
class CNN(nn.Module):
def __init__(self):
super(CNN, self).__init__()
self.conv1 = nn.Conv2d(1, 32, 3, 1)
self.conv2 = nn.Conv2d(32, 64, 3, 1)
self.fc1 = nn.Linear(9216, 128)
self.fc2 = nn.Linear(128, 10)
def forward(self, x):
x = F.relu(self.conv1(x))
x = F.max_pool2d(x, 2)
x = F.relu(self.conv2(x))
x = F.max_pool2d(x, 2)
x = x.view(-1, 9216)
x = F.relu(self.fc1(x))
x = self.fc2(x)
return F.log_softmax(x, dim=1)
model = CNN()
optimizer = optim.Adam(model.parameters(), lr=0.001)
criterion = nn.NLLLoss()
# 3. 训练函数
def train(model, device, train_loader, optimizer, epoch):
model.train()
for batch_idx, (data, target) in enumerate(train_loader):
data, target = data.to(device), target.to(device)
optimizer.zero_grad()
output = model(data)
loss = criterion(output, target)
loss.backward()
optimizer.step()
if batch_idx % 100 == 0:
print(f'Train Epoch: {epoch} [{batch_idx * len(data)}/{len(train_loader.dataset)}]'
f' Loss: {loss.item():.6f}')
# 4. 测试函数
def test(model, device, test_loader):
model.eval()
test_loss = 0
correct = 0
with torch.no_grad():
for data, target in test_loader:
data, target = data.to(device), target.to(device)
output = model(data)
test_loss += criterion(output, target).item()
pred = output.argmax(dim=1, keepdim=True)
correct += pred.eq(target.view_as(pred)).sum().item()
test_loss /= len(test_loader)
accuracy = 100. * correct / len(test_loader.dataset)
print(f'\nTest set: Average loss: {test_loss:.4f}, '
f'Accuracy: {correct}/{len(test_loader.dataset)} ({accuracy:.2f}%)\n')
# 5. 训练循环
device = torch.device('cuda' if torch.cuda.is_available() else 'cpu')
model = model.to(device)
for epoch in range(1, 6):
train(model, device, train_loader, optimizer, epoch)
test(model, device, test_loader)
# 6. 保存模型
torch.save(model.state_dict(), 'mnist_cnn.pth')总结与学习路线图
你已经学会了什么
✅ 核心概念：
- 张量的创建、操作和内存管理
- 自动微分与梯度计算
- 神经网络的构建与训练
- GPU加速
✅ 实践技能：
- 数值稳定性的处理
- 权重初始化策略
- 完整的训练流程
- 模型的保存与加载
下一步学习方向
📖 教程02 - 张量运算与自动微分深度解析：
- 高级索引与广播机制
- 自定义autograd函数
- 内存优化技巧
📖 教程03 - 神经网络架构设计：
- CNN、RNN、Transformer详解
- 自定义网络层
- 模型组合技巧
📖 教程04 - 优化器与训练技巧：
- 各种优化器的数学原理
- 学习率调度
- 正则化技术
📖 教程05 - 分布式训练与性能优化：
- 数据并行与模型并行
- 混合精度训练
- 性能分析工具
📖 教程06 - 实战应用案例：
- 计算机视觉
- 自然语言处理
- 生成模型
附录：常用数学知识速查
📐 线性代数基础（点击展开）
向量运算
python
# 向量点积
a = torch.tensor([1., 2., 3.])
b = torch.tensor([4., 5., 6.])
dot_product = (a * b).sum() # 32.0
# 向量范数
l1_norm = a.abs().sum() # L1范数: 6.0
l2_norm = a.norm() # L2范数: 3.742矩阵运算
python
# 矩阵乘法
A = torch.randn(3, 4)
B = torch.randn(4, 5)
C = A @ B # (3, 5)
# 矩阵转置
A_T = A.T
# 逆矩阵
A_square = torch.randn(3, 3)
A_inv = torch.inverse(A_square)特征值分解
python
A = torch.randn(3, 3)
eigenvalues, eigenvectors = torch.linalg.eig(A)📐 微积分基础（点击展开）
常用导数
bash
d/dx (x^n) = nx^(n-1)
d/dx (e^x) = e^x
d/dx (ln x) = 1/x
d/dx (sin x) = cos x
d/dx (cos x) = -sin x链式法则
scss
d/dx f(g(x)) = f'(g(x)) × g'(x)常用激活函数的导数
python
# Sigmoid: σ(x) = 1/(1+e^(-x))
# 导数: σ'(x) = σ(x)(1-σ(x))
# ReLU: f(x) = max(0, x)
# 导数: f'(x) = 1 if x>0 else 0
# Tanh: tanh(x)
# 导数: 1 - tanh²(x)📐 概率论基础（点击展开）
常用分布
python
# 正态分布
x = torch.randn(1000) # N(0, 1)
# 均匀分布
x = torch.rand(1000) # U(0, 1)
# 伯努利分布
x = torch.bernoulli(torch.full((1000,), 0.5))期望与方差
python
# 期望（均值）
mean = x.mean()
# 方差
var = x.var()
# 标准差
std = x.std()恭喜你完成第一章的学习！ 🎉
现在你已经掌握了PyTorch的核心基础，可以开始构建自己的深度学习模型了。记住：
- 多动手实践，理论结合代码
- 遇到数学概念时，查看补充说明
- 循序渐进，不要急于求成
继续加油！💪