参考
实数列上的运算变换定理.csdn
错排问题Derangement.csdn
容斥定理的非数学归纳证明.csdn
经典控制中的对应函数.csdn
常用递推模式
汇总一下 F ( a n + 1 , a n , a n − 1 , f n ) = 0 F(a_{n+1},a_n,a_{n-1},f_n)=0 F(an+1,an,an−1,fn)=0这种已经解决的递推模式。
利用换元转换为已解模式,便能得到通项闭式。
| 模式 | 形式 | 方法 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 模式1 | a n + 1 − a n = f n a_{n+1}-a_n=f_n an+1−an=fn | a n = a 1 + ∑ k = 1 n − 1 f k a_n = a_1 + \sum\limits_{k=1}^{n-1} f_k an=a1+k=1∑n−1fk | 一阶差分递推 → 累加展开 |
| 模式2 | a n + 1 a n = f n \frac{a_{n+1}}{a_n}=f_n anan+1=fn | a n = a 1 ∏ k = 1 n − 1 f k a_n = a_1 \prod\limits_{k=1}^{n-1} f_k an=a1k=1∏n−1fk | 一阶"商递推" → 连乘展开 |
| 模式3 | a n + 1 = c a n + d a_{n+1}=c\,a_n+d an+1=can+d | a n = ( a 1 + d c − 1 ) c n − 1 − d c − 1 a_n = \left(a_1 + \frac{d}{c-1}\right)c^{n-1} - \frac{d}{c-1} an=(a1+c−1d)cn−1−c−1d | 一阶线性递推 → 几何级数展开,模式6.1 |
| 模式4 | a n + 1 = a n c a n + d a_{n+1}=\dfrac{a_n}{c a_n+d} an+1=can+dan | b n = 1 a n b_n=\dfrac{1}{a_n} bn=an1，则 b n + 1 = c + d b n b_{n+1}=c+d\,b_n bn+1=c+dbn | 取倒数 → 转线性递推,模式3 |
| 模式5 | a n + 1 = k a n s a_{n+1}=k a_n^s an+1=kans | b n = ln a n b_n=\ln a_n bn=lnan，则 b n + 1 = ln k + s b n b_{n+1}=\ln k + sb_n bn+1=lnk+sbn | 对数变换 → 线性递推,模式3 |
| 模式6.1 | a n + 1 = c a n + P ( n ) a_{n+1}=c\,a_n+P(n) an+1=can+P(n) | b n = a n + Q ( n ) b_n=a_n+Q(n) bn=an+Q(n); b n + 1 = c b n b_{n+1}=cb_n bn+1=cbn; P ( n ) 和 Q ( n ) 是同阶多项式 P(n)和Q(n)是同阶多项式 P(n)和Q(n)是同阶多项式 | 换元转换为模式3 |
| 模式6.2 | a n + 1 = c a n + d n a_{n+1}=c\,a_n+d^n an+1=can+dn | b n = a n d n b_n=\frac{a_n}{d^n} bn=dnan | 换元转换为模式3 |
| 模式7 | a n + 1 = p a n + q a n − 1 a_{n+1}=p\,a_n+qa_{n-1} an+1=pan+qan−1 | a n + 1 + x a n = y ( a n + x a n − 1 ) a_{n+1}+xa_n=y(a_n+xa_{n-1}) an+1+xan=y(an+xan−1) | 转换为已有模式 |
| 模式8 | p a n a n + 1 + q a n + 1 + r a n = 0 p a_n a_{n+1} + q a_{n+1} + r a_n = 0 panan+1+qan+1+ran=0 | b n = 1 a n b_n=\dfrac{1}{a_n} bn=an1，则 q b n + 1 + r b n + p = 0 q b_{n+1} + r b_n + p = 0 qbn+1+rbn+p=0 | 取倒数 → 线性递推 |
| 模式9 | a n + 1 = A a n + B B a n + A a_{n+1}=\dfrac{A a_n + B}{B a_n + A} an+1=Ban+AAan+B | 设分式变换 b n = a n − 1 a n + 1 b_n=\dfrac{a_n-1}{a_n+1} bn=an+1an−1（或一般 Möbius 变换线性化），可化为 b n + 1 = k b n b_{n+1}=k\,b_n bn+1=kbn 的等比型递推，解出 b n b_n bn 后反解 a n a_n an | 分式线性变换（Möbius）→ 等比递推 |
| 模式10 | a n + 1 = 2 a n 1 − a n 2 \displaystyle a_{n+1}=\frac{2a_n}{1-a_n^2} an+1=1−an22an | 设 a n = tan θ n a_n=\tan\theta_n an=tanθn，得 θ n + 1 = 2 θ n \theta_{n+1}=2\theta_n θn+1=2θn 通项： a n = tan ( 2 n − 1 arctan a 1 ) \displaystyle a_n = \tan\!\big(2^{n-1}\arctan a_1\big) an=tan(2n−1arctana1) | 正切二倍角三角换元， tan 2 θ = 2 tan θ 1 − tan 2 θ \tan2\theta = \dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} tan2θ=1−tan2θ2tanθ |
| 模式11 | a n + 1 = 2 a n 1 + a n 2 \displaystyle a_{n+1}=\frac{2a_n}{1+a_n^2} an+1=1+an22an | 设 a n = tanh θ n a_n=\tanh\theta_n an=tanhθn，得 θ n + 1 = 2 θ n \theta_{n+1}=2\theta_n θn+1=2θn 通项： a n = tanh ( 2 n − 1 artanh a 1 ) \displaystyle a_n = \tanh\!\big(2^{n-1}\operatorname{artanh} a_1\big) an=tanh(2n−1artanha1) | 双曲正切二倍角换元， tanh 2 θ = 2 tanh θ 1 + tanh 2 θ \tanh2\theta = \dfrac{2\tanh\theta}{1+\tanh^2\theta} tanh2θ=1+tanh2θ2tanhθ |
| 模式12 | a n + 1 = 1 + a n 2 2 a n \displaystyle a_{n+1}=\frac{1+a_n^2}{2a_n} an+1=2an1+an2 | 设 a n = coth θ n a_n=\coth\theta_n an=cothθn，得 θ n + 1 = 2 θ n \theta_{n+1}=2\theta_n θn+1=2θn 通项： a n = coth ( 2 n − 1 arccoth a 1 ) \displaystyle a_n = \coth\!\big(2^{n-1}\operatorname{arccoth} a_1\big) an=coth(2n−1arccotha1) | 双曲余切二倍角换元： coth 2 θ = coth 2 θ + 1 2 coth θ \displaystyle \coth2\theta = \frac{\coth^2\theta+1}{2\coth\theta} coth2θ=2cothθcoth2θ+1 |
| 模式13.0 | a n = 1 2 ( a n − 1 + 1 a n − 1 ) a_n=\dfrac{1}{2}\left(a_{n-1}+\dfrac{1}{a_{n-1}}\right) an=21(an−1+an−11) | c n = a n + 1 a n − 1 ; c n = c n − 1 2 c_n=\dfrac{a_n+1}{a_n-1};\;c_n=c_{n-1}^2 cn=an−1an+1;cn=cn−12 | 分式线性换元转为平方迭代 |
| 模式13.1 | a n = a n − 1 2 + k 2 2 a n − 1 a_n=\dfrac{a_{n-1}^2+k^2}{2a_{n-1}} an=2an−1an−12+k2 | b n = a n k ; c n = b n + 1 b n − 1 ; c n = c n − 1 2 b_n=\dfrac{a_n}{k};c_n=\dfrac{b_n+1}{b_n-1};c_n=c_{n-1}^2 bn=kan;cn=bn−1bn+1;cn=cn−12 | 尺度归一+分式换元转为平方迭代 |
母函数性质
- 数乘：若 b n = α a n b_n = \alpha a_n bn=αan，则 B ( x ) = α A ( x ) B(x) = \alpha A(x) B(x)=αA(x)
- 加法：若 c n = a n + b n c_n = a_n + b_n cn=an+bn，则 C ( x ) = A ( x ) + B ( x ) C(x) = A(x) + B(x) C(x)=A(x)+B(x)
- 卷积：若 c n = ∑ i = 0 n a i b n − i c_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i} cn=∑i=0naibn−i，则 C ( x ) = A ( x ) B ( x ) C(x) = A(x)B(x) C(x)=A(x)B(x)
- 右移 l l l 位：若 b n = 0 ( n < l ) , b n = a n − l ( n ≥ l ) b_n = 0\ (n<l),\ b_n=a_{n-l}\ (n\ge l) bn=0 (n<l), bn=an−l (n≥l)，则 B ( x ) = x l A ( x ) B(x) = x^l A(x) B(x)=xlA(x)
- 左移 l l l 位：若 b n = a n + l b_n = a_{n+l} bn=an+l，则 B ( x ) = A ( x ) − ∑ n = 0 l − 1 a n x n x l B(x) = \dfrac{A(x) - \sum_{n=0}^{l-1} a_n x^n}{x^l} B(x)=xlA(x)−∑n=0l−1anxn
- 前缀和：若 b n = ∑ i = 0 n a i b_n = \sum_{i=0}^n a_i bn=∑i=0nai，则 B ( x ) = A ( x ) 1 − x B(x) = \dfrac{A(x)}{1-x} B(x)=1−xA(x)
- 后缀和：若 b n = ∑ i = n ∞ a i b_n = \sum_{i=n}^\infty a_i bn=∑i=n∞ai 且 A ( 1 ) = ∑ i = 0 ∞ a i A(1)=\sum_{i=0}^\infty a_i A(1)=∑i=0∞ai 收敛，则 B ( x ) = A ( 1 ) − x A ( x ) 1 − x B(x) = \dfrac{A(1) - xA(x)}{1-x} B(x)=1−xA(1)−xA(x)
- 指数加权：若 b n = α n a n b_n = \alpha^n a_n bn=αnan，则 B ( x ) = A ( α x ) B(x) = A(\alpha x) B(x)=A(αx)
- 微分加权：若 b n = n a n b_n = n a_n bn=nan，则 B ( x ) = x A ′ ( x ) B(x) = x A'(x) B(x)=xA′(x)
- 积分加权：若 b n = a n n + 1 b_n = \dfrac{a_n}{n+1} bn=n+1an，则 B ( x ) = 1 x ∫ 0 x A ( t ) d t B(x) = \dfrac{1}{x}\int_0^x A(t)dt B(x)=x1∫0xA(t)dt
Catalan数
h n = { 1 , n = 1 ∑ i = 1 n − 1 h i h n − i = h n ∗ h n n ≥ 2 h_n = \begin{cases} 1, & n=1 \\[4pt] \sum_{i=1}^{n-1} h_i h_{n-i}=h_n*h_n& n \ge 2 \end{cases} hn={1,∑i=1n−1hihn−i=hn∗hnn=1n≥2
通项公式： h n = 1 n ( 2 n − 2 n − 1 ) h_n = \dfrac{1}{n}\dbinom{2n-2}{n-1} hn=n1(n−12n−2)
H 2 ( x ) = H ( x ) − x H^2(x)=H(x)-x H2(x)=H(x)−x解出 H ( x ) H(x) H(x)
斐波那契数列
可以参考经典控制中的对应函数对有理分式进行拆解；
F 0 = 0 , F 1 = 1 , F n + 2 = F n + 1 + F n F_0=0,\ F_1=1,\ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n F0=0, F1=1, Fn+2=Fn+1+Fn
生成函数：
G ( x ) = ∑ n = 0 ∞ F n x n = x 1 − x − x 2 = 1 5 ( 1 1 − φ x − 1 1 − ψ x ) = ∑ n = 0 ∞ ( φ n − ψ n 5 ) x n G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}F_n x^n = \dfrac{x}{1-x-x^2} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left( \dfrac{1}{1-\varphi x} - \dfrac{1}{1-\psi x} \right) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \dfrac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}} \right) x^n G(x)=n=0∑∞Fnxn=1−x−x2x=5 1(1−φx1−1−ψx1)=n=0∑∞(5 φn−ψn)xn
黄金分割根：
φ = 1 + 5 2 , ψ = 1 − 5 2 \varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},\ \psi=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} φ=21+5 , ψ=21−5
通项：
F n = 1 5 ( φ n − ψ n ) F_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\big(\varphi^n - \psi^n\big) Fn=5 1(φn−ψn)