算法知识-倍增算法

一.RMQ

1.RMQ

RMQ，即区间查询，是指这样一个问题:对于长度为n的数列A，回答若干次询问RMQ(A,i,j),返回数列中下标在i,j之间的最小/大值。

2.符号约定

假设一个算法预处理时间为f(n),查询时间为g(n),这个算法的复杂度记为<f(n),g(n)>

RMQA(i,j)来表示数组A中索引i和j之间最小值的位置

3.RMQ相关算法

(1)在线暴力遍历算法:

假设数据的规模:N,查询数:Q

单次查询时间复杂度:O(N)

总的时间复杂度:O(N*Q)

(2)预处理+直接查询

预处理:枚举所有区间，然后每个区间遍历查找，之后f $i$ $j$ 表示区间 $i,j$ 之间的最小值

复杂度:<O(N^3),O(1)>

(3)预处理的DP优化

复杂度:<O(N^2),O(1)>，而且空间复杂度也是O(N^2)

优缺点:查询效率高，预处理效率太低

(4)线段树

复杂度:<O(n),O(logn)>

(5)分块算法

(6)ST表算法

二.ST表

ST表中M数组的含义

M $i$ $j$ ,表示从下标i开始，长度为2^j的子数组的最小值的索引

ST表算法的DP预处理

把 M $i$ $j$ 对应的区间平均分成两段（M $i$ $j$ 对应的区间长度一定为偶数），从 i 到为前一段，到为后一段 (长度都为 )，则 M $i$ $j$ 就是这两段的最小值中的最小值对应的索引。

可得 DP 状态转移方程：

if(a $M\[i$ $j-1$ ] < a $M\[i+2\^{j-1}$ $j-1$ ]) M $i$ $j$ = M $i$ $j-1$

else M $i$ $j$ = M $i+2\^{j-1}$ $j-1$

其中，初始化：M $i$ $0$ = i

ST表算法的查询实现

预处理M $i$ $j$ 完成以后，如何进行RMQA(i,j)查询？

查询实现：选择两个能够完全覆盖区间 $i..j$ 的块，并且

找到它们之间的最小值。设k = $log₂(j-i+1)$ (向下取整)，则得：

if(a $M\[i$ $k$ ] < a $M\[j-2ᵏ+1$ $k$ ]) RMQA(i,j) = M $i$ $k$ ,

else RMQA(i,j) = M $j-2ᵏ+1$ $k$

M $i$ $k$ ------从查询区间起始点i开始，向后长度为2ᵏ的一段

M $j-2ᵏ+1$ $k$ ------从查询区间尾j开始，向前长度为2ᵏ的一段

算法复杂度：<O(NlogN), O(1)>

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
class ST {
public:
	ST(int n,vector<int>&a):M(n+1,vector<int>((int)log2(n)+1)) {
		pre(a);
	}

	void pre(vector<int>&a) {
		//初始化
		int n = a.size() - 1;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			M[i][0] = i;
		}
		//预处理M数组
		for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++) {//枚举区间长度
			for (int i = 1; (i+(1<<j)-1)/*保证右端点不越界*/ <= n; i++) {//枚举起点
				int tmp = (1 << (j - 1));//一半长度
				if (a[M[i][j - 1]] >= a[M[i + tmp][j - 1]]) {
					M[i][j] = M[i][j - 1];
				}
				else {
					M[i][j] = M[i + tmp][j - 1];
				}
			}
		}
	}
	int search(int l, int r,vector<int>&a) {
		int k = log2(r - l + 1);
		int tmp = (1 << k);
		return max(a[M[l][k]], a[M[r-tmp+1][k]]);
	}
public:
	//M:从i位置开始，往后2^j的RMQ
	vector<vector<int>>M;
};
int main() {
	ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
	int n, m; cin >> n >> m;
	vector<int>a(n+1);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i];
	}
	ST s(n,a);

	while (m--) {
		int l, r; cin >>  l >> r;
		cout<<s.search(l, r, a)<<'\n';
	}
	return 0;
}