参考
初等数论简明教程.csdn
电枢公式--电枢绕线的规律.csdn
约定
本文默认在集合 N M N_M NM中讨论问题。
- f ( a j ) f(a_j) f(aj)：集合 { a 1 , . . . a s } {\{a_1,...a_s\}} {a1,...as} 所有元素均符合 f ( a j ) f(a_j) f(aj)
- f ( a i , a j ) f(a_i,a_j) f(ai,aj)：集合 { a 1 , . . . a s } {\{a_1,...a_s\}} {a1,...as}的任意有序对均符合 f ( a i , a j ) f(a_i,a_j) f(ai,aj)
- ( b m ∣ M ) (\dfrac{b}{m}|M) (mb∣M)= { t m + b ∣ 0 ≤ t m + b < M } , m ∣ M \{tm+b |0 \le tm+b<M\}, m|M {tm+b∣0≤tm+b<M},m∣M
- ( b 1 m 1 ∣ ) , ( b 2 m 2 ∣ ) , . . . ( b s m s ∣ ) (\dfrac{b_1}{m_1}|),(\dfrac{b_2}{m_2}|),...(\dfrac{b_s}{m_s}|) (m1b1∣),(m2b2∣),...(msbs∣)是一个电枢组(省略了 M M M)
- ( b 1 k 1 ∣ ) , ( k 2 k 2 ∣ ) , . . . ( b t k t ∣ ) (\dfrac{b_1}{k_1}|),(\dfrac{k_2}{k_2}|),...(\dfrac{b_t}{k_t}|) (k1b1∣),(k2k2∣),...(ktbt∣)是另一个同解电枢组,
满足 k j ∣ m j k_j|m_j kj∣mj 和 [ k j ] = [ m j ] = M [k_j]=[m_j]=M [kj]=[mj]=M - m 1 , m 2 , . . . m s m_1,m_2,...m_s m1,m2,...ms 是每个电枢的阶。
b 1 , b 2 , . . . b s b_1,b_2,...b_s b1,b2,...bs是每个电枢上的一个固定槽 - D = ( m 1 , m 2 , . . . m s ) = ( m j ) 是最大公约数 D=(m_1,m_2,...m_s)=(m_j)是最大公约数 D=(m1,m2,...ms)=(mj)是最大公约数
- M = [ m 1 , m 2 , . . . m s ] = [ m j ] 是最小公倍数 M=[m_1,m_2,...m_s]=[m_j]是最小公倍数 M=[m1,m2,...ms]=[mj]是最小公倍数
D D D阶电枢是最大公约电枢
M M M阶电枢是最小公倍电枢 - M i = M m i M_i=\dfrac{M}{m_i} Mi=miM是电枢 m i m_i mi的补绕法
- M i ′ M_i' Mi′是电枢 m i m_i mi的补逆(补逆也是个绕法)
- k 是 M 的一个因子 , K 是 m 的一个倍数 k是M的一个因子,K是m的一个倍数 k是M的一个因子,K是m的一个倍数
- 电枢组的解: 电枢组合并成M阶电枢后,那个唯一直达 b 1 , . . . b s b_1,...b_s b1,...bs的槽位绕法c叫做电枢组的解。
电枢的合并
电枢的合并满足交换律和结合律
两个电枢的合并就是解两个同余方程
x=c 就是这两个同余方程组的解
( b i m i ∣ ) 和 ( b j m j ∣ ) (\dfrac{b_i}{m_i}|)和(\dfrac{b_j}{m_j}|) (mibi∣)和(mjbj∣)是电枢组中的两个电枢,如果 [ m 1 , m 2 ] [m_1,m_2] [m1,m2]阶电枢和其上的一个槽 c c c；
满足 ( b i m i ∣ ) ⋂ ( b j m j ∣ ) = ( c [ m 1 , m 2 ] ∣ ) (\dfrac{b_i}{m_i}|)\bigcap(\dfrac{b_j}{m_j}|)=(\dfrac{c}{[m_1,m_2]}|) (mibi∣)⋂(mjbj∣)=([m1,m2]c∣),称作电枢 m i m_i mi和 m j m_j mj合并成 [ m 1 , m 2 ] [m_1,m_2] [m1,m2];
合并运算记作：
( b i m i ∣ ) ⋀ ( b j m j ∣ ) (\dfrac{b_i}{m_i}|) \bigwedge (\dfrac{b_j}{m_j}|) (mibi∣)⋀(mjbj∣)
( b m ∣ ) (\dfrac{b}{m}|) (mb∣)是带有结构的集合,如果用 ⋂ \bigcap ⋂表示电枢的合并,则会失去它的结构意义,故用合取符号 ⋀ \bigwedge ⋀表示电枢的合并。
电枢的扩张和收缩
( b m ∣ ) (\dfrac{b}{m}|) (mb∣)是电枢组里的一个电枢,更改m,会让集合 ( b m ∣ ) (\dfrac{b}{m}|) (mb∣)变大或变小。
电枢的扩张
将m替换为m的因子k, 则集合 ( b m ∣ ) (\dfrac{b}{m}|) (mb∣)变大
电枢的收缩
将m替换为m的倍数K, 则集合 ( b m ∣ ) (\dfrac{b}{m}|) (mb∣)变小
收缩和扩张的关系
( b K ∣ ) ⊆ ( b m ∣ ) ⊆ ( b k ∣ ) (\dfrac{b}{K}|) \subseteq (\dfrac{b}{m}|) \subseteq (\dfrac{b}{k}|) (Kb∣)⊆(mb∣)⊆(kb∣)
b K ≤ b m ≤ b k \dfrac{b}{K} \le \dfrac{b}{m} \le \dfrac{b}{k} Kb≤mb≤kb
原版的剩余定理
{ x ≡ b 1 ( m o d m 1 ) x ≡ b 2 ( m o d m 2 ) ⋮ x ≡ b s ( m o d m s ) \begin{cases} x \equiv b_1 \pmod{m_1}\\ x \equiv b_2 \pmod{m_2}\\ \vdots\\ x \equiv b_s \pmod{m_s} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x≡b1(modm1)x≡b2(modm2)⋮x≡bs(modms)
( m i , m j ) ∣ ( b i − b j ) (m_i,m_j)|(b_i-b_j) (mi,mj)∣(bi−bj) ⟺ \iff ⟺ 方程组对模 M M M有唯一解c , x ≡ c ( m o d M ) x \equiv c \pmod M x≡c(modM)
如果M内存在两个解，则得到两解之差是M的倍数的矛盾
定理0(等价的电枢版剩余定理)
这个定理给出了解存在的判定方法
x=c 就是同余方程组的解
b 1 , b 2 , . . . b s b_1,b_2,...b_s b1,b2,...bs直达最大公约电枢D同一槽e ⟺ \iff ⟺
最小公倍电枢 M M M中存在唯一 一个槽c直达 b 1 , b 2 , . . . b s b_1,b_2,...b_s b1,b2,...bs。
定理1(互质电枢之间的合并)
目标是找到c 和 e
c = ∑ i = 1 n b i M i M i ′ ( m o d M ) c=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} b_iM_iM_i' \pmod M c=i=1∑nbiMiMi′(modM)
e = b j ( m o d D ) e=b_j \pmod D e=bj(modD)
方程 M i M i ′ ≡ 1 ( m o d m i ) M_iM_i'\equiv1 \pmod{m_i} MiMi′≡1(modmi) 中 M i ′ 的解法 M_i'的解法 Mi′的解法
参考初等数论简明教程.csdn中的一次同余方程
定理1.1 (槽的遍历)
当槽 b j b_j bj取遍 N m j N_{m_j} Nmj,则e取遍 N D N_D ND并且c取遍 N M N_M NM
定理2(非互质电枢之间的合并)
m 1 , . . . m s m_1,...m_s m1,...ms这些电枢如果不互质,则将每个电枢进行扩张,
电枢扩张后每个电枢的阶会变小,直到这些阶互质。
电枢组 m 1 , . . . m s m_1,...m_s m1,...ms 扩张到 k 1 , . . . k s k_1,...k_s k1,...ks ( k j ∣ m j k_j|m_j kj∣mj)
只要保持 [ m 1 , . . . m s ] = [ k 1 , . . . k s ] [m_1,...m_s]=[k_1,...k_s] [m1,...ms]=[k1,...ks]则两个电枢组的解不变。
证明
P1： ( b m j ∣ ) ⊆ ( b k j ∣ ) (\dfrac{b}{m_j}|) \subseteq (\dfrac{b}{k_j}|) (mjb∣)⊆(kjb∣)
P2: ⋂ j = 1 k ( b m j ∣ ) \bigcap_{j=1}^{k}(\dfrac{b}{m_j}|) ⋂j=1k(mjb∣) ⊆ \subseteq ⊆ ⋂ j = 1 k ( b k j ∣ ) \bigcap_{j=1}^{k}(\dfrac{b}{k_j}|) ⋂j=1k(kjb∣)
P3: 因为上式两边都是单点集,所以两边相等
P4： ⋂ j = 1 k ( b m j ∣ ) \bigcap_{j=1}^{k}(\dfrac{b}{m_j}|) ⋂j=1k(mjb∣) = = = ⋂ j = 1 k ( b k j ∣ ) \bigcap_{j=1}^{k}(\dfrac{b}{k_j}|) ⋂j=1k(kjb∣)
定理3(元素个数)
∣ ( b m ∣ ) ∣ = M m |(\dfrac{b}{m}|)|=\dfrac{M}{m} ∣(mb∣)∣=mM
例题
电枢合并的好处在于剩余问题可以逐步合并得到
更块的方法是将电枢扩张到互质的电枢组
计算量主要在计算电枢的补逆 M i ′ 上 M_i'上 Mi′上
计算:
( 2 6 ∣ ) ⋀ ( 4 8 ∣ ) (\dfrac{2}{6}|)\bigwedge(\dfrac{4}{8}|) (62∣)⋀(84∣)
D = ( 6 , 8 ) = 2 D=(6,8)=2 D=(6,8)=2
M = [ 6 , 8 ] = 24 M=[6,8]=24 M=[6,8]=24
P1: D |4-2 → \to → 有解
P2: ( 2 6 ∣ ) (\dfrac{2}{6}|) (62∣)={2,8,14,20}
P3： ( 4 8 ∣ ) (\dfrac{4}{8}|) (84∣)={4,12,20}
P4： ( 2 6 ∣ ) ⋀ ( 4 8 ∣ ) (\dfrac{2}{6}|) \bigwedge (\dfrac{4}{8}|) (62∣)⋀(84∣)= ( 20 24 ∣ ) (\dfrac{20}{24}|) (2420∣)
P5: ( 2 6 ∣ ) (\dfrac{2}{6}|) (62∣) 扩张为 ( 2 3 ∣ ) (\dfrac{2}{3}|) (32∣)={2,5,8,11,14,17,20,23}
P6: ( 2 3 ∣ ) (\dfrac{2}{3}|) (32∣) 和 ( 4 8 ∣ ) (\dfrac{4}{8}|) (84∣) 已经是互质版的电枢组了