实分析入门（5）--确界

实分析入门

终于我们来到了这里，数学分析的门口（（（

有了之前我们所有的准备工作，我们就能开始证明数学分析的基石：最小上确界定理，整个数学分析之后的内容都是基于这个定理的扩展，而我们在这里将先证明最小上确界定理，然后跳过所有的数学分析的内容，并在下面的章节中正式开始测度理论和勒贝格积分的介绍

最小上界性质

上界和最小上界

现在终于来到 CH0 的终点：最小上界性质，这个性质是实数最核心的性质之一，它真正体现了实数比有理数"完整"在哪里。先定义上界：设 E⊂RE \subset \mathbb{R}E⊂R，M∈RM \in \mathbb{R}M∈R。如果对于任意 x∈Ex \in Ex∈E，都有

x≤M x \leq M x≤M

那么我们称 MMM 是 EEE 的一个上界。

如果 MMM 是 EEE 的上界，并且对于任意其他上界 M′M'M′，都有

M≤M′ M \leq M' M≤M′

那么我们称 MMM 是 EEE 的最小上界，也叫 supremum，记作：

M=sup⁡E M = \sup E M=supE

举几个例子：

如果 E={x∈R:0≤x≤1}E = \{x \in \mathbb{R}:0 \leq x \leq 1\}E={x∈R:0≤x≤1}，那么 111 是它的最小上界
R+\mathbb{R}^+R+ 没有实数上界
对空集来说，每个实数都是上界，但是空集没有最小上界

最小上界如果存在，那么一定唯一。证明很简单：如果 M1M_1M1 和 M2M_2M2 都是最小上界，那么因为 M1M_1M1 是最小上界而 M2M_2M2 是上界，所以 M1≤M2M_1 \leq M_2M1≤M2；反过来也有 M2≤M1M_2 \leq M_1M2≤M1，所以 M1=M2M_1 = M_2M1=M2。

这里需要额外声明的是，对于第二点， R+\mathbb{R^+}R+ 没有上界这一条只是对于目前我们构造出的实数系成立，而我们更为熟知且更常使用的应该是扩充实数系 R′\mathbb{R'}R′，也就是有 +∞+\infty+∞ 的实数系，在这个实数系里，我们令 +∞+\infty+∞ 和 −∞-\infty−∞ 分别为 R+\mathbb{R^+}R+ 和 R−\mathbb{R^-}R− 的上界和下界

最小上界存在定理

**定理 0.9.3：**如果 E⊂RE \subset \mathbb{R}E⊂R 非空，并且 EEE 有上界，那么 EEE 一定有且只有一个最小上界。

唯一性我们刚刚已经证明了，所以关键是存在性，证明思路大概是这样的： x0x_0x0 在集合里，而 MMM 是一个上界，令 n∈N+n \in \mathbb{N^+}n∈N+ 由阿基米德性质得到 ∃L<K∈Z s.t.\exist L < K \in \mathbb{Z} \;\; s.t.∃L<K∈Zs.t.
Ln<x0≤M≤Kn \frac Ln < x_0 \leq M \leq \frac Kn nL<x0≤M≤nK

然后我们分别证明一下三个 claim：

Claim1： ∃Mn∈Z\exist M_n \in \mathbb{Z}∃Mn∈Z，并且 L<Mn≤KL < M_n \leq KL<Mn≤K 使得 Mnn\frac{M_n}nnMn 是 EEE 的上界但 Mn−1n\frac{M_n - 1}{n}nMn−1 不是
Claim2： (Mnn)1∞(\frac{M_n}{n})1^{\infty}(nMn)1∞ 和 (Mn−1n)1∞(\frac{M_n - 1}{n})1^{\infty}(nMn−1)1∞ 都是 Cauchy 列，并且 lim⁡n→∞Mnn=lim⁡n→∞Mn−1n\lim\limits{n \to \infty}\frac{M_n}{n} = \lim\limits{n \to \infty}\frac{M_n - 1}nn→∞limnMn=n→∞limnMn−1
Claim3： S=lim⁡n→∞MnnS = \lim\limits_{n \to \infty}\frac{M_n}{n}S=n→∞limnMn 就是 EEE 的上确界

这三条 claim 也就是通过一个神秘的构造方法，对任意一个非空有上界的集合构造出了一个上确界从而证明了这个上确界存在定理，具体的过程如下：

Claim1

首先是 Claim1，很显然的反证法，假设不存在这样一个 MnM_nMn，也就是对于 ∀Mn∈(L,K]\forall M_n \in (L, K]∀Mn∈(L,K] 都有 ∄x0∈E s.t. Mn−1n<x0≤Mnn\nexists x_0 \in E \;\; s.t. \; \frac {M_n - 1}n < x_0 \leq \frac{M_n}n∄x0∈Es.t.nMn−1<x0≤nMn，也就是说对于 ∀x0∈E\forall x_0 \in E∀x0∈E 都有 x0≤an⇒x0≤a−1nx_0 \leq \frac an \Rightarrow x_0 \leq \frac{a - 1}nx0≤na⇒x0≤na−1，其中 a∈(L,K]a\in (L, K]a∈(L,K] 且 n∈Zn \in \mathbb{Z}n∈Z

于是我们考虑把 aaa 取成 KKK，于是显然有 x0≤Knx_0 \leq \frac Knx0≤nK，于是就有：
x0≤Kn⇒x0≤K−1n⇒x0≤K−2n⇒x0≤K−3n⇒⋯⇒x0≤L+1n⇒x0≤Ln x_0 \leq \frac Kn \Rightarrow x_0 \leq \frac{K - 1}n \Rightarrow x_0 \leq \frac{K - 2}n \Rightarrow x_0 \leq \frac{K - 3}n \Rightarrow \cdots \Rightarrow x_0 \leq \frac{L + 1}n \Rightarrow x_0 \leq \frac{L}n x0≤nK⇒x0≤nK−1⇒x0≤nK−2⇒x0≤nK−3⇒⋯⇒x0≤nL+1⇒x0≤nL

与 x0>Lnx_0 > \frac Lnx0>nL 矛盾，故 Claim1 成立，证毕

Claim2

乍一看好像没啥思路，但是我们先一步一步来，现在我们知道 Mnn\frac{M_n}{n}nMn 是上界但是 Mn−1n\frac{M_n - 1}{n}nMn−1 不是，翻译一下那就是说 ∃x0∈E\exist x_0 \in E∃x0∈E 使得 Mn−1n<x0≤Mnn\frac{M_n - 1}{n} < x_0 \leq \frac{M_n}nnMn−1<x0≤nMn（这里值得说明的是，这个不等式的可以拆成两个不等式 1. Mn−1n<x0\frac{M_n - 1}{n} < x_0nMn−1<x0 和 2. x0≤Mnnx_0 \leq \frac{M_n}{n}x0≤nMn，而这两个不等式的成立范围是不一样的，不等式 1 的范围是 ∃x0∈E\exist x_0 \in E∃x0∈E 成立的，而不等式 2 的范围是对于 ∀x0∈E\forall x_0 \in E∀x0∈E 成立的）

因为柯西序列的定义需要两项相减，于是为了构造这两项相减，我们取 m>n∈N+m > n \in \mathbb{N^+}m>n∈N+ 也有 ∃x0'∈E\exist x_0' \in E∃x0'∈E 使得 Mm−1m<x0'≤Mmm\frac{M_m - 1}{m} < x_0' \leq \frac{M_m}mmMm−1<x0'≤mMm

然后我们就能发现，对于这个 x0'x_0'x0' 来说，有 Mm−1m<x0′≤Mnn\frac{M_m - 1}{m} < x_0' \leq \frac{M_n}{n}mMm−1<x0′≤nMn，于是有：
Mnn−Mm−1m>0⇒Mnn−Mmm>−1m \frac {M_n}n - \frac{M_m - 1}{m} > 0 \Rightarrow \frac {M_n}n - \frac{M_m}{m} > -\frac 1m nMn−mMm−1>0⇒nMn−mMm>−m1

又对与 x0x_0x0 来说有 Mn−1n<x0≤Mmm\frac{M_n - 1}{n} < x_0 \leq \frac{M_m}{m}nMn−1<x0≤mMm，于是有：
Mmm−Mn−1n>0⇒Mmm−Mnn>−1n⇒Mnn−Mmm<1n \frac{M_m}{m} - \frac{M_n - 1}{n} > 0 \Rightarrow \frac{M_m}{m} - \frac{M_n}{n} > -\frac 1n \Rightarrow \frac{M_n}{n} - \frac{M_m}{m} < \frac 1n mMm−nMn−1>0⇒mMm−nMn>−n1⇒nMn−mMm<n1

综上，我们就有：
−1m<Mnn−Mmm<1n -\frac 1m < \frac{M_n}{n} - \frac{M_m}{m} < \frac 1n −m1<nMn−mMm<n1

也就是说：
∣Mnn−Mmm∣<max⁡(1n,1m) \left| \frac{M_n}{n} - \frac{M_m}{m} \right| < \max\left(\frac 1n, \frac 1m\right) nMn−mMm <max(n1,m1)

所以 n,m→∞n, m \to \inftyn,m→∞ 时，显然 ∣Mnn−Mmm∣\left| \frac{M_n}{n} - \frac{M_m}{m} \right| nMn−mMm 是要多小有多小的，即 ∀ϵ>0,∃N∈N+\forall \epsilon > 0, \exist N \in \mathbb{N^+}∀ϵ>0,∃N∈N+ 使得 ∣Mnn−Mmm∣<ϵ\left| \frac{M_n}{n} - \frac{M_m}{m} \right| < \epsilon nMn−mMm <ϵ（取 N=1ϵN = \frac 1{\epsilon}N=ϵ1 就行），也就是说 (Mnn)1∞(\frac{M_n}{n})_1^{\infty}(nMn)1∞ 是一个 Cauchy 列

而 Mn−1n=Mnn−1n\frac{M_n - 1}{n} = \frac{M_n}{n} - \frac 1nnMn−1=nMn−n1 ，而 Mnn\frac{M_n}{n}nMn 和 1n\frac 1nn1 都是 Cauchy 列，所以显然 (Mn−1n)1∞(\frac{M_n - 1}{n})_1^{\infty}(nMn−1)1∞ 也是一个 Cauchy 列

并且：
lim⁡n→∞Mnn−Mn−1n=lim⁡n→∞1n=0⇒lim⁡n→∞Mnn=lim⁡n→∞Mn−1n \lim_{n \to \infty} \frac{M_n}{n} - \frac{M_n - 1}{n} = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} = 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac {M_n}n = \lim_{n \to \infty} \frac{M_n - 1}{n} n→∞limnMn−nMn−1=n→∞limn1=0⇒n→∞limnMn=n→∞limnMn−1

证毕

Claim3

首先根据 Claim2 我们知道 S=lim⁡n→∞Mnn=lim⁡n→∞Mn−1nS = \lim\limits_{n \to \infty} \frac {M_n}n = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{M_n - 1}{n}S=n→∞limnMn=n→∞limnMn−1

我们先证明 SSS 是 EEE 的一个上界。任取 x∈Ex \in Ex∈E，因为对于每一个 n∈N+n \in \mathbb{N}^+n∈N+，Mnn\frac{M_n}{n}nMn 都是 EEE 的上界，所以有：

x≤Mnn,∀n∈N+ x \leq \frac{M_n}{n}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^+ x≤nMn,∀n∈N+

也就是说，常值序列 (x,x,x,⋯ )(x, x, x, \cdots)(x,x,x,⋯) 的每一项都小于等于 Cauchy 列 (Mnn)\left(\frac{M_n}{n}\right)(nMn) 的对应项。由实数顺序和 Cauchy 列定义出来的实数相容可知：

x≤lim⁡n→∞Mnn=S x \leq \lim\limits_{n \to \infty} \frac{M_n}{n} = S x≤n→∞limnMn=S

由于 x∈Ex \in Ex∈E 是任取的，所以 SSS 是 EEE 的一个上界。

接下来证明 SSS 是最小的上界。设 sss 是 EEE 的任意一个上界。因为 Mn−1n\frac{M_n - 1}{n}nMn−1 不是 EEE 的上界，所以对于每一个 n∈N+n \in \mathbb{N}^+n∈N+，都存在某个 xn∈Ex_n \in Exn∈E，使得：

Mn−1n<xn \frac{M_n - 1}{n} < x_n nMn−1<xn

又因为 sss 是 EEE 的上界，而 xn∈Ex_n \in Exn∈E，所以：

xn≤s x_n \leq s xn≤s

因此：

Mn−1n<xn≤s \frac{M_n - 1}{n} < x_n \leq s nMn−1<xn≤s

于是对任意 n∈N+n \in \mathbb{N}^+n∈N+，都有：

Mn−1n<s \frac{M_n - 1}{n} < s nMn−1<s

再由 S=lim⁡n→∞Mn−1nS = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{M_n - 1}{n}S=n→∞limnMn−1，可以推出：

S≤s S \leq s S≤s

也就是说，任何一个 EEE 的上界 sss 都满足 S≤sS \leq sS≤s。所以 SSS 是一个小于等于其他所有上界的上界。

也就是说 SSS 是 EEE 的上确界，即 S=sup⁡ES = \sup ES=supE，证毕

用最小上界找回 2\sqrt{2}2

现在我们终于可以回到前面那个问题了：虽然 2\sqrt{2}2 不在有理数里，但是它应该在实数里。

定义集合：

E:={y∈R:y>0 且 y2<2} E := \{y \in \mathbb{R}: y > 0 \text{ 且 } y^2 < 2\} E:={y∈R:y>0 且 y2<2}

这个集合非空，比如 1∈E1 \in E1∈E。它也有上界，比如 222 就是一个上界。

所以由最小上界性质，EEE 有最小上界。记：

x:=sup⁡E x := \sup E x:=supE

我们要证明：

x2=2 x^2 = 2 x2=2

反证。

如果 x2<2x^2 < 2x2<2，那么我们可以取一个足够小的 ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0，使得

(x+ϵ)2<2 (x+\epsilon)^2 < 2 (x+ϵ)2<2

于是 x+ϵ∈Ex+\epsilon \in Ex+ϵ∈E，但这比 xxx 还大，和 xxx 是上界矛盾。

如果 x2>2x^2 > 2x2>2，那么我们可以取一个足够小的 ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0，使得

(x−ϵ)2>2 (x-\epsilon)^2 > 2 (x−ϵ)2>2

这时 x−ϵx-\epsilonx−ϵ 仍然是 EEE 的上界，但它比 xxx 小，和 xxx 是最小上界矛盾。

两种情况都不行，所以只能是：

x2=2 x^2 = 2 x2=2

于是我们终于在实数里找到了 2\sqrt{2}2 。

这也解释了为什么我们要绕这么大一圈来构造实数：不是为了折磨自己，而是为了让那些"应该存在的极限"和"应该存在的根号"真的存在。

CH0 的终点

到这里，我们已经从自然数一路构造到了实数：

N⊂Z⊂Q⊂R \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} N⊂Z⊂Q⊂R

并且我们知道了：

N\mathbb{N}N 可以用 Peano 公理刻画
Z\mathbb{Z}Z 通过形式差 a−ba-ba−b 构造出来
Q\mathbb{Q}Q 通过形式分式 ab\frac abba 构造出来
R\mathbb{R}R 通过有理数 Cauchy 序列构造出来
R\mathbb{R}R 是一个有序域
R\mathbb{R}R 满足最小上界性质

最后这条"最小上界性质"就是实数完整性的核心表达之一。

在数学分析里，我们经常会看到一些看起来完全不同的定理：

上确界原理：非空有上界集合一定有最小上界
单调有界收敛定理：单调有界数列一定收敛
闭区间套定理：长度趋于 000 的闭区间套有唯一公共点
Bolzano-Weierstrass 定理：有界数列存在收敛子列
Cauchy 收敛准则：实数列收敛当且仅当它是 Cauchy 序列
Heine-Borel 定理：闭有界区间的任意开覆盖都有有限子覆盖

它们表面上长得很不一样，但本质上都在描述同一件事：

实数没有缝隙。

也正是从这里开始，分析学终于有了一个足够可靠的地基。下一步，我们就可以在这个地基上继续讨论集合、测度、函数、积分等等更复杂的东西了。