"抛物线平行弦中点共线，且中点轨迹称为一条直径，与对称轴平行"，这是一个定义，但经常看到有人用解析几何，联立抛物线方程和直线方程，求得交点，套中点定义，得到 x=与斜率k相关的常量x=与斜率k相关的常量x=与斜率k相关的常量，从而获得证明。
但这是循环论证。
抛物线的定义命题是描述性的，如果命题本身属于定义，它就作为前提。正是由于先定义 "抛物线直径"，有了中点共线且与对称轴垂直的假设，才推出了命题 I.11，解析几何使用的 x2=2pyx^2=2pyx2=2py 只是命题 I.11 在坐标系中的等价写法，事实上，即使使用纯几何手法，搭配投影术计算相对长度，也就是解析几何，2000 年前的原理和笛卡尔-费马的原理没什么本质不同，手段不同而已。
在阿波罗尼奥斯的抛物线里，它只有 "平行于母线的截面与圆锥的交线" 这一句话的信息，除此之外什么都没有，剩下的所有命题全部要基于 "这条交线" 的固有性质作前提，这些性质就是 "定义"，它们不需要证明，它们只要自洽，也就是说，"如果不是这样，便无可能性"。
来看下为什么能假设 "抛物线平行弦中点共线，且平行于对称轴"。
先假设它们共线，看看如果直径与对称轴不平行会怎样。
任何锥内的点与锥顶的夹角必须确保小于半顶角才不会刺穿圆锥，而抛物线截面与母线平行，其内部任意一点与锥顶连线均不在截面上，根据简单二面角原理，截面上任何不平行于母线的直线于锥顶垂线的夹角均大于半顶角，这意味着会和抛物线有两个交点。
这条直径与抛物线交于两点，设其中一点为顶点，根据假设直径平分所有弦，那么该直径必然无法平分过另一点与已知平行弦平行的弦。
所以如果平行弦中点共线，直径就一定与抛物线只有一个交点，即对称轴。
那么凭什么就共线呢，没有任何保证能避免下面的情况：
因为仅凭一个圆锥和一个截面，你既没有证明会出现上面的截线，也没法证明不会出现，但圆锥是对称的，没有任何 "外在驱动" 让它光滑的截线在目之所及以外出现弯曲，这就是定义的前提：
- 圆锥是对称，光滑延展的；
此外，还是关于《圆锥曲线论》的命题 I.20，找不到任何证据证明阿波罗尼奥斯是如何从 命题 I.11 中 "显然可以推论" 的，但我们可以想象同样的法则。
虽然古希腊没有切剪射影变换，但人们对此会有非常朴素但精确的认知，对变换不变量掌握得非常好，他们早就学会了用面积来兑换扭歪了的长和宽，进而获得等效比例，就好像人们早就会用忽略高阶无穷小的方式穷竭一个圆，但直到 100 多年前对此才有了正式的形式化定义。
到了帕普斯时代，圆锥曲线有了另一种定义，但依然无法用解析法取联立方程组，因为在你获得抛物线(以它为例)的特征前，你甚至都无法假设它的方程的形式，你只有证明了中点共线，才能得到它的方程，否则只是验算了一下 "确实如此" 而已。还是一样，x2=2pyx^2=2pyx2=2py 只是古代描述的现代写法而已。
现有拥有的只有定义，"到达焦点和到达准线的距离相等的点的轨迹"。
下面仅用帕普斯的轨迹定义来证明平行弦中点共线。
题图与描述如下。
有抛物线，A 为焦点，下方粗直线为准线，BC 为任意弦，求证：与 BC 平行的弦的中点共线，且其轨迹平行于对称轴。
过焦点 A 做弦 BC 的垂线，交 BC 于 D，延长线交准线于 E。
在 RT△BFE\text{RT}\triangle{BFE}RT△BFE 中，由勾股定理 BF2+EF2=BE2BF^2+EF^2=BE^2BF2+EF2=BE2，而 BE2=BD2+DE2=(BA2−DA2)+DE2=BA2−DA2+(DA+AE)2=BA2+AE2+2⋅DA⋅AEBE^2=BD^2+DE^2=(BA^2-DA^2)+DE^2=BA^2-DA^2+(DA+AE)^2=BA^2+AE^2+2\cdot DA\cdot AEBE2=BD2+DE2=(BA2−DA2)+DE2=BA2−DA2+(DA+AE)2=BA2+AE2+2⋅DA⋅AE.
而 BF = BA，所以 EF2=AE2+2⋅DA⋅AEEF^2=AE^2+2\cdot DA\cdot AEEF2=AE2+2⋅DA⋅AE.
右侧同理 EI2=AE2+2⋅DA⋅AE=EF2EI^2=AE^2+2\cdot DA\cdot AE=EF^2EI2=AE2+2⋅DA⋅AE=EF2.
作 EG⊥准线EG\perp 准线EG⊥准线 交 BC 于 G，则由平行等比，G 为 BC 的中点，由于对于所有与 BC 平行的弦而言，AD 延长线始终交准线于 E，于是所有与 AB 平行的弦的中点共线，对于所有的 G，GE∥对称轴⊥准线GE\parallel 对称轴\perp 准线GE∥对称轴⊥准线.
浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。