⚔️第三课：《分治算法挑战赛》⚔️
------ 分治魔法学院的最终试炼
一、🏰 故事开始：算法勇者大赛
1、经过前两节课的学习，
同学们已经掌握了：
🌟 归并排序
🌟 快速排序
🌟 分治思想
2、这一天，
汉克老师举办了一场：
⚔️"分治算法挑战赛"⚔️
3、只有真正理解：
🌈"拆问题"🌈
成功的同学，
4、才能成为：
👑 分治小勇者！
5、🌟 今天我们接下来要挑战：
🔍 二分查找
🏔️ 分治求最大值
💣 逆序对问题
🌳 汉诺塔问题
🧠 同学们真正理解"举一反三"
二、🌈 第一关：二分查找魔法
1、🏰 故事：猜数字王国
（1）数组中的数字我们都排好序了：
1 3 5 7 9 11 13（2）汉克老师在纸上记了数组中一个数字9。
让同学们来猜
（3）怎样的方法，才能猜的快呢？
2、❌ 普通方法
一个一个找：
1 → 3 → 5 → 7 → 9时间最多需要找n次，好像有些慢！
3、🌟 我们采用可以分治法！
每次：
🌟 砍掉一半！
4、🌈 第一步
看中间：
7因为：
9 > 7所以：
5、左边全部不用看了！
因为：
左边都更小只剩：
9 11 136、🌈 第二步
再看中间：
11因为：
9 < 11所以：
右边不要了！
只剩：
9找到！
7、🌟 这就是二分查找！
8、🌈 为什么这样查找快？
普通查找：
一个一个找二分查找：
每次删掉一半！9、🌟 二分查找完整程序
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int a[100];
int n, x;
cin >> n;
for(int i = 0; i < n; i++)
{
cin >> a[i];
}
cin >> x;
int l = 0;
int r = n - 1;
while(l <= r)
{
int mid = (l + r) / 2;
if(a[mid] == x)
{
cout << "找到了！位置是：" << mid;
return 0;
}
else if(a[mid] < x)
{
l = mid + 1;
}
else
{
r = mid - 1;
}
}
cout << "没找到";
return 0;
}10、🌟 二分查找核心思想
🌈 看中间！
🌈 小了去右边
🌈 大了去左边
🌈 每次减少一半！
三、⚔️ 第二关：分治求最大值
1、🏰 故事：谁是力量最强的勇者？
现在：
3 9 2 7 52、汉克老师问：
👑 "谁最大？"
3、❌ 普通方法
我们一个个来比较。
4、🌟 我们也可以使用分治法
（1）先拆成两部分！
3 9 ｜ 2 7 5（2）左边最大：
9（3）右边最大：
7（4）最后：
9 和 7比较。
（5）得到：
95、🌟 分治法求最大值程序
#include <iostream>
using namespace std;
int a[100];
int find_max(int l, int r)
{
// 只有一个数字
if(l == r)
{
return a[l];
}
int mid = (l + r) / 2;
// 左边最大
int left_max = find_max(l, mid);
// 右边最大
int right_max = find_max(mid + 1, r);
// 返回更大的
if(left_max > right_max)
return left_max;
else
return right_max;
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
for(int i = 0; i < n; i++)
{
cin >> a[i];
}
cout << find_max(0, n - 1);
return 0;
}6、🌟 重点理解
真正关键：
（1）🌈 原来的大问题
整个数组最大值（2）🌈 变成两个小问题：
求左边最大值
+
求右边最大值（3）🌟 这就是：
"拆问题！"
四、⚔️ 第三关：逆序对大冒险（进阶）
1、🏰 什么是逆序对？
（1）例如：
5 2（2）5在前面。
但：
5 > 2（3）这就是：
🌟 逆序对
2、🌈 再看：
3 1 2（1）逆序对有：
3 1
3 2（2）共：
2个3、🌟 如何快速统计？
可以使用我们学过的：
🌈归并排序！
4、🌟 逆序对完整程序
#include <iostream>
using namespace std;
int a[100], temp[100];
int ans = 0;
void merge_sort(int l, int r)
{
if(l >= r)
return;
int mid = (l + r) / 2;
merge_sort(l, mid);
merge_sort(mid + 1, r);
int i = l;
int j = mid + 1;
int k = l;
while(i <= mid && j <= r)
{
if(a[i] <= a[j])
{
temp[k++] = a[i++];
}
else
{
// 产生逆序对
ans += mid - i + 1;
temp[k++] = a[j++];
}
}
while(i <= mid)
{
temp[k++] = a[i++];
}
while(j <= r)
{
temp[k++] = a[j++];
}
for(int p = l; p <= r; p++)
{
a[p] = temp[p];
}
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
for(int i = 0; i < n; i++)
{
cin >> a[i];
}
merge_sort(0, n - 1);
cout << "逆序对数量：" << ans;
return 0;
}5、🌟 最关键的一句代码
ans += mid - i + 1;6、为什么？
（1）例如：
左边：
5 6 7右边：
2（2）发现：
5 > 2（3）因为左边已经有序。
所以：
6 > 2
7 > 2也一定成立！
（4）因此：
一次加：
3个逆序对是不是特别省时间？😃
五、⚔️ 第四关：汉诺塔魔法塔
1、🏰 汉诺塔的故事
（1）有三根柱子：
A B C（2）现在：
有很多盘子：
大盘
中盘
小盘（3）规则：
🌟 小盘不能压大盘！
（4）目标：
把所有盘子：
A → C2、🌟 汉诺塔真正思想
（1）不是：
"直接搬"
（2）而是：
🌈 先搬上面的小盘
🌈 再搬最大的盘
🌈 再搬小盘回来
（3）🌟 这也是分治的方法！
3、🌟 汉诺塔程序
#include <iostream>
using namespace std;
void hanoi(int n, char A, char B, char C)
{
// 只有一个盘子
if(n == 1)
{
cout << A << " -> " << C << endl;
return;
}
// 先移动上面的盘子
hanoi(n - 1, A, C, B);
// 移动最大的盘子
cout << A << " -> " << C << endl;
// 再移动上面的盘子
hanoi(n - 1, B, A, C);
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
hanoi(n, 'A', 'B', 'C');
return 0;
}4、🌳 汉诺塔递归树（重点）
（1）例如：
3个盘子（2）会变成：
搬2个
搬最大
搬2个（3）而：
搬2个又会继续拆。
（4）🌟 这就是：
"把复杂的大问题，拆成简单的小问题！"
六、🌈 第五关：真正理解分治法，"举一反三"
1、现在同学们，开始明白：
🌟 分治不是一种题！
2、而是一种：
🧠 思想！
3、🌟 只要看到：
大问题难
能拆小
小问题能解决
最后能合并答案
🌟 就有可能用分治的方法！
七、🎯 课后总结
1、🌟 分治三步曲
① 分（Divide）
拆问题
② 治（Conquer）
解决小问题
③ 合（Combine）
合并答案
2、🌟 归并排序
拆数组再合并。
3、🌟 快速排序
按pivot分区域。
4、🌟 二分查找
每次砍掉一半。
5、🌟 分治求最大值
左右分别求最大。
6、🌟 汉诺塔
先解决小盘问题。
7、🌟 真正掌握分治方法的同学
不是只会背代码。
而是：
🌈"看到问题，会拆问题！"🌈
8、🏆 分治魔法学院今天毕业了！
同学们终于成为了：
👑 分治小勇者！
接下来，我们一起学习，更强大的算法魔法！