1 求最小的正整数 nnn, 使得 x13+x23+⋯+xn3=20022002x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\cdots+x_{n}^{3}=2002^{2002}x13+x23+⋯+xn3=20022002. (2002年IMO预选题)
2 是否存在正整数 mmm, 使得 1a+1b+1c+1abc=ma+b+c\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{abc}=\frac{m}{a+b+c}a1+b1+c1+abc1=a+b+cm 有无穷多组正整数解? (2002年IMO预选题)
3 证明: 不存在正整数 x≠0x \ne 0x=0, yyy, zzz, 满足: 2 x4+2x2y2+y4=z2x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}=z^{2}x4+2x2y2+y4=z2. (2003年, 韩国)
4 考虑 m×nm \times nm×n 的方格阵, 每个顶点和方格的中心放入一块干面包. (1) 求使得方格阵恰有500块干面包的 m,nm,nm,n. (2) 证明有无穷多个正整数 kkk, 使得不存在 m×nm\times nm×n 的方格阵, 满足在其上放入 kkk 块干面包. (2003年, 意大利)
5 求满足 (n+1)k−1=n!(n+1)^{k}-1=n!(n+1)k−1=n! 的所有正整数数对 (n,k)(n, k)(n,k). (2002-2003, 芬兰)
6 求所有的正整数 aaa, bbb, ccc, 使得 aaa, bbb, ccc 满足: a!⋅b!=a!+b!+c!a! \cdot b!= a! + b! + c!a!⋅b!=a!+b!+c!. (2002-2003, 英国)
7 求最大的正整数 nnn, 使得方程组 (x+1)2+y12=(x+2)2+y22=⋯=(x+n)2+yn2(x+1)^{2}+y_{1}^{2}=(x+2)^{2}+y_{2}^{2}=\cdots=(x+n)^{2}+y_{n}^{2}(x+1)2+y12=(x+2)2+y22=⋯=(x+n)2+yn2 有整数解. (2003, 越南)
8 求关于未知数 xxx, nnn 的方程 xm=22n+1+2n+1x^{m}=2^{2n+1}+2^{n}+1xm=22n+1+2n+1 的整数解. (2003, 土耳其)
9 不存在一对正整数 kkk, 满足3y2=x4+43 y^{2}=x^{4}+43y2=x4+4. (2004, 韩国)
10 xxx, yyy 为素数. 求不定方程 xy−yx=xy2−19x^{y}-y^{x}=xy^{2}-19xy−yx=xy2−19 的整数解. (2004, 巴尔干)
11 求关于未知整数 aaa, bbb, 1≤a\le a≤a, b≤2004b \le 2004b≤2004 的方程 x2+ax+b=167yx^{2}+ax+b=167yx2+ax+b=167y 的解数. (2004, 新加坡)
12 求关于未知整数 xxx, yyy, zzz 的方程 xyz=12(x+y+z)xyz=12(x+y+z)xyz=12(x+y+z) 的解数. (2005, 日本)
13 求所有满足 x!+y!n!=3n\frac{x !+ y!}{ n!}=3^{n}n!x!+y!=3n 的自然数组 (x,y,n)(x, y, n)(x,y,n). (约定 0!=10!=10!=1). (2005, 越南)
14 求关于未知数 kkk, lll, mmm, nnn 的方程 k2+l2+m2=2nk^{2} + l^{2} + m^{2}=2^{n}k2+l2+m2=2n 的所有整数解. (2005, 新西兰)
15 求关于未知数 xxx, yyy 的方程 3x=2xy+13^{x}=2^{x}y+13x=2xy+1 的正整数解. (2005, 巴尔干)
16 求所有满足 pn+144=m2p^{n}+144=m^{2}pn+144=m2 的三元组(m,n,p)(m, n, p)(m,n,p). (2006, 意大利)
17 求所有的正整数 mmm, nnn, 使得 1+5⋅2m=n21+5\cdot 2^{m}=n^{2}1+5⋅2m=n2. (2006, 澳大利亚)
18 求关于未知数 nnn, kkk 的方程 ∣2k−3n∣=17|2^{k}-3^{n}|=17∣2k−3n∣=17 的所有正整数解. (2011-2012, 匈牙利)
19 求所有满足 1x2+249xy+1y2=12012\frac{1}{x^{2}}+\frac{249}{xy}+\frac{1}{y^{2}}=\frac{1}{2012}x21+xy249+y21=20121 的正整数对 (x,y)(x, y)(x,y). (2012, 爱沙尼亚十二年级组决赛)
20 已知未知数 xxx, nnn 为正整数, 未知数 ppp 为素数, 求方程 2x3+x2+10x+5=2pn2x^{3}+x^{2}+10x+5=2p^{n}2x3+x2+10x+5=2pn 的解的个数. (2012, 白俄罗斯决赛)
21 已知未知数 xxx, nnn 为正整数, 求方程 x3+3x+14=2pnx^{3}+3x+14=2p^{n}x3+3x+14=2pn 的解的个数. (2012, 白俄罗斯决赛)
22 求关于 a,b,c,da,b,c,da,b,c,d 的方程 2a2+3b2=c2+6d22a^2+3b^2=c^2+6d^22a2+3b2=c2+6d2 的所有整数解. (2012, 斯洛文尼亚三年级组决赛)
23 求关于 a,b,c,da,b,c,da,b,c,d 的方程 2a+5b+c=2d\sqrt{2}a+\sqrt{5}b+c=\sqrt{2}d2 a+5 b+c=2 d 的所有整数解. (2012, 斯洛文尼亚四年级组决赛)
24 设 nnn 为正整数, 证明: 存在无穷多对整数 x,y,zx,y,zx,y,z, 满足 nx2+y3=z4nx^{2}+y^{3}=z^{4}nx2+y3=z4 且 (x,y)=(y,z)=(z,x)=1(x,y)=(y,z)=(z,x)=1(x,y)=(y,z)=(z,x)=1. (2012, 韩国决赛)
25 设 ppp 为素数, m,nm,nm,n 为非负整数, 使得 pm−n3=8p^{m}-n^{3}=8pm−n3=8, 求所有的三元数组 (p,m,n)(p,m,n)(p,m,n). (2012, 希腊国家队选拔赛)
26 对任意的正整数 kkk, 存在 kkk 个两两不同的整数, 使得这 kkk 个数的平方和等于其立方和. (2012, 爱沙尼亚国家队选拔赛)
27 求所有的整数对 (x,y)(x,y)(x,y), 其中 x,yx,yx,y 满足 6x2y2−4y2=2012−3x26x^{2}y^{2}-4y^{2}=2012-3x^{2}6x2y2−4y2=2012−3x2. (2012, 克罗地亚五年级组决赛)
28 求最小的正整数 nnn, 使得存在 nnn 个不同正整数 s1,s2,...,sns_{1},s_{2},..., s_{n}s1,s2,...,sn, 满足(1−1s1)(1−1s2)⋯(1−1sn)=512010(1-\frac{1}{s_{1}})(1-\frac{1}{s_{2}})\cdots(1-\frac{1}{s_{n}})=\frac{51}{2010}(1−s11)(1−s21)⋯(1−sn1)=201051. (2010, IMO预选题)
29 求所有的非负整数对 (m,n)(m,n)(m,n), 使得 m2+2⋅3n=m(2n+1−1)m^{2} + 2 \cdot 3^{n} = m (2^{n+1} - 1)m2+2⋅3n=m(2n+1−1). (2012, 克罗地亚五年级组决赛)
30 求所有满足 (p+1)(q+2)(r+3)=4pqr(p+1)(q+2)(r+3)=4pqr(p+1)(q+2)(r+3)=4pqr 的三元数组 (p,q,r)(p,q,r)(p,q,r), 其中 ppp, qqq, rrr 为素数. (2011, 捷克和斯洛伐克)
31 是否存在正整数 n,kn,kn,k (1≤k≤n−21\le k \le n-21≤k≤n−2), 使得 (Cnk)2+(Cnk+1)2=(Cnk+2)4(C_{n}^{k})^{2}+(C_{n}^{k+1})^{2}=(C_{n}^{k+2})^{4}(Cnk)2+(Cnk+1)2=(Cnk+2)4 ? (2011, 保加利亚)
32 求所有的五元正整数数组 (a,n,p,q,r)(a,n,p,q,r)(a,n,p,q,r), 使得 an−1=(ap−1)(aq−1)(ar−1)a^{n}-1=(a^{p}-1)(a^{q}-1)(a^{r}-1)an−1=(ap−1)(aq−1)(ar−1). (2011, 日本)
33 求关于 m,nm,nm,n 的方程 m+n−33mnm+n=20113m+n-3\frac{3mn}{m+n}=\frac{2011}{3}m+n−3m+n3mn=32011 的所有的正整数解. (2011, 新加坡)
34 证明: 对于所有的正整数 aaa, bbb, 均有|3a−5b∣>44a+5b\sqrt{3}a-\sqrt{5}b|>\frac{4}{4a+5b}3 a−5 b∣>4a+5b4. (2011, 白俄罗斯决赛)
35 求关于 xxx, yyy 的方程 3x+7y=4x3^{x}+7^{y}=4^{x}3x+7y=4x 的所有非负整数解. (2011, 白俄罗斯决赛)
36 设 ppp 为素数, nnn 为整数, 求满足等式 n3=p2−p−1n^{3}=p^{2}-p-1n3=p2−p−1 的所有解. (2011, 意大利)
37 求所有的整数 xxx, 使得 9x2−40x+399x^{2}-40x+399x2−40x+39 为素数的幂. (2011, 斯洛文尼亚)
38 求关于 xxx, yyy, zzz 的方程 x4+x2=7zy2x^{4}+x^{2}=7^{z}y^{2}x4+x2=7zy2 的所有整数解. (2011, 奥地利)
39 求所有的素数 ppp, qqq, 满足 p4+p3+p2+p1=q2+qp^{4}+p^{3}+p^{2}+p^{1}=q^{2}+qp4+p3+p2+p1=q2+q. (2010, 希腊国家队选拔赛)
40 求关于 xxx, yyy 的方程 x3+x2+x=y2+yx^{3}+x^{2}+x=y^{2}+yx3+x2+x=y2+y 的所有整数对. (2011, 克罗地亚国家队选拔赛)
41 求关于 xxx, yyy 的方程 x2+y2+33=456x−yx^{2}+y^{2}+3^{3}=456\sqrt{x-y}x2+y2+33=456x−y 的所有整数解. (2011, 荷兰国家队选拔赛)
注: 456=23⋅3⋅19456 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 19456=23⋅3⋅19
42 设 aaa, bbb 为正整数, 且满足存在唯一的整数 q,r,q2+r=2011q,r,q^{2}+r=2011q,r,q2+r=2011, 使得 ab=q(a+b)+r(0≤r<a+b)ab =q(a+b)+r (0\le r <a+b)ab=q(a+b)+r(0≤r<a+b). 求所有的二元数组 (a,b)(a,b)(a,b). (2011, 德国)
43 证明: 不存在正整数 xxx, yyy, 使得 x3+y3=22009x^{3}+y^{3}=2^{2009}x3+y3=22009. (2011, 巴西八至九年级组)
44 已知 mmm, nnn 为两个互素的整数, 证明: 关于 x,t,y,s,v,rx,t,y,s,v,rx,t,y,s,v,r 的不定方程 xmtn+ymsn=vmrnx^{m}t^{n}+y^{m}s^{n}=v^{m}r^{n}xmtn+ymsn=vmrn 有无穷多解. (2010, 伊朗)
45 设 aaa 为正整数, ppp 为素数, nnn 为正整数. 证明: 当 n≥2n\ge 2n≥2 时, 2p+3p=an2^{p}+3^{p}=a^{n}2p+3p=an 无解. (2010, 克罗地亚国家队选拔赛)
46 求所有的正整数对 (m,n)(m,n)(m,n), 满足 3m−7n=23^{m}-7^{n}=23m−7n=2. (2009, 韩国)
47 求所有的正整数对 (m,n)(m, n)(m,n), 使得 3⋅2m+1=n23\cdot 2^{m}+1=n^{2}3⋅2m+1=n2. (2009, 新加坡)
48 已知正整数 a>b>1a>b>1a>b>1, 且关于 xxx, yyy 的方程 ax−1a−1=by−1b−1\frac{a^{x}-1}{a-1}=\frac{b^{y}-1}{b-1}a−1ax−1=b−1by−1 (x>1,y>1x>1, y>1x>1,y>1) 至少有两个正整数解, 证明: aaa 与 bbb 互素. (2009, 保加利亚)
49 求所有的正整数 xxx, yyy, zzz, 满足 1+2x⋅3y=z21+2^{x}\cdot 3^{y}=z^{2}1+2x⋅3y=z2. (2009, 马其顿)
50 求关于 xxx, yyy 的方程 x2010−2006=4y2009+4y2008+2007yx^{2010}-2006=4y^{2009}+4y^{2008}+2007yx2010−2006=4y2009+4y2008+2007y 的所有整数解. (2009, 马其顿)
51 求关于 xxx, yyy, zzz 的方程 3x−5y=z23^{x}-5^{y}=z^{2}3x−5y=z2 的所有正整数解. (2009, 巴尔干)
52 求所有的数对 (x,y)(x, y)(x,y), 其中 xxx, yyy 为整数, 使得 y3=8x6+2x3y−y2y^{3}=8x^{6}+2x^{3}y-y^{2}y3=8x6+2x3y−y2. (2009, 意大利)
53 设 aaa, bbb 为正整数, 且不为完全平方数. 证明: ax2−by2=1ax^{2}-by^{2}=1ax2−by2=1 和 ax2−by2=−1ax^{2}-by^{2}=-1ax2−by2=−1 中最多有一个方程有正整数解. (2009, 越南)
54 求所有的三元正整数组 (a,b,c)(a, b, c)(a,b,c), 使得 a2+2b+1=3ca^{2}+2^{b+1}=3^{c}a2+2b+1=3c. (2008, 意大利)
55 求方程 12x+y4=200812^{x}+y^{4}=200812x+y4=2008 的整数解. (2008, 塞尔维亚)
56 求出所有满足 (n+1)k−1=n!(n+1)^{k}-1=n!(n+1)k−1=n! 的正整数对 (n,k)(n, k)(n,k). (2008, 新加坡)
57 求所有的整数对 (x,y)(x, y)(x,y), 使得 1+2x+22x+1=y21+2^{x}+2^{2x+1}=y^{2}1+2x+22x+1=y2. (2008, IMO预选题)
58 试求所有的正整数 aaa, bbb, ccc, ddd, 使得 2a=3b⋅5c+7d2^{a}=3^{b} \cdot 5^{c} + 7^{d}2a=3b⋅5c+7d. (2007, 台湾)
59 设 ppp 为素数, 且 p≡3mod 8p \equiv 3 \mod 8p≡3mod8. 求方程 y2=x3−p2xy^{2}=x^{3}-p^{2}xy2=x3−p2x 的所有整数解. (2007, 印度国家队选拔赛)
60 求所有的三元正整数组 (x,y,z)(x, y, z)(x,y,z), 使得 1+4x+4y=z21+4^{x}+4^{y}=z^{2}1+4x+4y=z2. (2007, 韩国)
61 求所有的正整数 mmm, nnn, 满足 n5+n4=7m−1n^{5}+n^{4}=7^{m}-1n5+n4=7m−1. (2007, 白俄罗斯决赛)
62 求关于 xxx, yyy 的方程 x2−2x−2007y2=0x^{2}-2x-2007y^{2}=0x2−2x−2007y2=0 的一组正整数解. (2007, 北欧)
63 求关于 xxx, yyy 的方程 x2+112=y2x^{2}+11^{2}=y^{2}x2+112=y2 的全部整数解. (2007, 克罗地亚一年级组)
64 求关于 xxx, yyy 的方程 x3+112=y3x^{3}+11^{2}=y^{3}x3+112=y3 的全部整数解. (2007, 克罗地亚一年级组)
65 求所有满足 a2b2=4a5+b3a^{2}b^{2}=4a^{5}+b^{3}a2b2=4a5+b3 的整数对 (a,b)(a, b)(a,b). (2007, 日本)
66 设 aaa, bbb, ccc, ddd 为非零整数, 使得关于 xxx, yyy, zzz, ttt 的方程 ax2+by2+cz2+dt2=0ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dt^{2}=0ax2+by2+cz2+dt2=0 有唯一的整数解 x=y=z=t=0x=y=z=t=0x=y=z=t=0. 问: aaa, bbb, ccc, ddd 是否同号? (2007, 波罗的海)