day515C++信奥循环嵌套强化03

《循环嵌套强化》学习笔记

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  ------彭彭老师

一、循环嵌套核心思维

"循环嵌套就像俄罗斯套娃"

外层循环：控制"大事情"（比如从第1天到第10天）
内层循环：控制"小事情"（比如每天要做3次练习）
关键规则 ：外层每走1步，内层要从头到尾完整走一遍

简单例子：

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// 假设有3天，每天做2次计算
for(int day=1; day<=3; day++){  // 外层：第几天
    cout << "第" << day << "天：" << endl;
    for(int count=1; count<=2; count++){  // 内层：每天几次
        cout << "  第" << count << "次计算" << endl;
    }
}

输出：

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第1天：
  第1次计算
  第2次计算
第2天：
  第1次计算
  第2次计算
第3天：
  第1次计算
  第2次计算

二、题目详解（信奥一本通）

1091：求阶乘的和

问题：计算 1! + 2! + 3! + ... + n!

通俗解释

想象你要算：

1的阶乘（1! = 1）
2的阶乘（2! = 1×2 = 2）
3的阶乘（3! = 1×2×3 = 6）
...
然后把它们加起来！

知识点

外层循环：控制要算到哪个数的阶乘（从1到n）
内层循环：计算每个数的阶乘（从1乘到这个数本身）
累加器：把每个阶乘的结果加起来

简化代码

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#include <iostream>
using namespace std;

int main(){
    int n = 5;  // 假设n=5
    long long sum = 0;  // 用来存总和
    
    for(int i=1; i<=n; i++){  // 外层：算第i个数的阶乘
        long long fact = 1;  // 用来存i的阶乘
        
        for(int j=1; j<=i; j++){  // 内层：计算i!
            fact = fact * j;  // 1×2×3×...×i
        }
        
        sum = sum + fact;  // 把阶乘加到总和中
    }
    
    cout << "1!+2!+...+n! = " << sum << endl;
    return 0;
}

答案示例

n=3时：1! + 2! + 3! = 1 + 2 + 6 = 9
n=5时：1 + 2 + 6 + 24 + 120 = 153

1092：求出e的值

问题：计算 e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n!

通俗解释

这是数学常数e的近似值：

先算1（固定）
再加 1÷1!
再加 1÷2!
再加 1÷3!
...

知识点

双重循环嵌套：外层控制项数，内层计算阶乘
除法运算：1除以阶乘
精度问题：用double类型

简化代码

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;

int main(){
    int n = 10;
    double e = 1.0;  // 从1开始
    
    for(int i=1; i<=n; i++){  // 外层：加到第i项
        long long fact = 1;
        
        for(int j=1; j<=i; j++){  // 内层：计算i!
            fact = fact * j;
        }
        
        e = e + 1.0 / fact;  // 加上1÷i!
    }
    
    cout << fixed << setprecision(10) << e << endl;
    return 0;
}

答案示例

n=10时：e ≈ 2.7182818011
n越大，值越接近真正的e（≈2.718281828459）

1093：计算多项式的值

问题：计算 S = x - x²/2! + x³/3! - x⁴/4! + ...（正负交替）

通俗解释

像坐跷跷板一样，一会加一会减：

先加 x
再减 x²÷2!
再加 x³÷3!
再减 x⁴÷4!
...

知识点

符号交替：用变量控制正负号
幂运算：x的i次方
组合运算：幂运算和阶乘一起算

简化代码

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#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main(){
    double x = 1.0;
    int n = 5;
    double sum = 0;
    int sign = 1;  // 控制正负号：1表示正，-1表示负
    
    for(int i=1; i<=n; i++){
        // 计算x的i次方
        double power = 1;
        for(int j=1; j<=i; j++){
            power = power * x;
        }
        
        // 计算i的阶乘
        long long fact = 1;
        for(int k=1; k<=i; k++){
            fact = fact * k;
        }
        
        // 加上或减去这一项
        sum = sum + sign * power / fact;
        sign = -sign;  // 下一次符号取反
    }
    
    cout << "多项式的值 = " << sum << endl;
    return 0;
}

答案示例

x=1, n=5时：1 - 1/2 + 1/6 - 1/24 + 1/120 ≈ 0.633333

1094：与7无关的数

问题：找出1到n中所有与7无关的数

不能是7的倍数
数字中不能包含7

通俗解释

"与7无关"就是：

不能是7的亲戚：不能被7整除（比如14是7×2，不行）
名字里不能有7：数字里不能出现7（比如17、27、70都不行）

知识点

数字分解：如何判断一个数是否包含数字7
整除判断：用%运算符
双重条件：两个条件都要满足

简化代码

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#include <iostream>
using namespace std;

int main(){
    int n = 30;
    int sum = 0;
    
    for(int i=1; i<=n; i++){  // 外层：检查每个数
        bool hasSeven = false;  // 假设没有7
        
        // 检查是否包含数字7
        int num = i;
        while(num > 0){
            if(num % 10 == 7){  // 个位是7吗？
                hasSeven = true;
                break;
            }
            num = num / 10;  // 去掉个位，继续检查
        }
        
        // 两个条件判断
        if(i % 7 != 0 && !hasSeven){
            sum = sum + i * i;  // 平方和
        }
    }
    
    cout << "与7无关的数的平方和 = " << sum << endl;
    return 0;
}

答案示例

n=30时，与7无关的数有：

1,2,3,4,5,6,8,9,10,11,12,13,15,16,18,19,20,22,23,24,25,26,29,30

平方和 = 17267

1095：数1的个数

问题：统计1到n中，数字1一共出现了多少次

通俗解释

就像数数游戏：

从1数到n
每看到一个"1"就记下来
比如13：有1个1（在数字1中）和1个1（在数字11中）...

知识点

数字逐位检查：把每个数拆成个位、十位、百位...
计数器：统计1出现的次数
嵌套循环：外层遍历数字，内层检查每位

简化代码

cpp 复制代码

#include <iostream>
using namespace std;

int main(){
    int n = 15;
    int count = 0;  // 统计1的个数
    
    for(int i=1; i<=n; i++){  // 外层：检查每个数
        int num = i;
        
        while(num > 0){  // 内层：检查这个数的每一位
            if(num % 10 == 1){  // 个位是1吗？
                count++;
            }
            num = num / 10;  // 去掉个位
        }
    }
    
    cout << "1到" << n << "中，1出现了" << count << "次" << endl;
    return 0;
}

答案示例

n=13时：1出现了6 次
（1,10,11,12,13中的1：1有1个，10有1个，11有2个，12有1个，13有1个）
n=20时：1出现了12次

1096：数字统计

问题：统计区间[L,R]中，数字2出现了多少次

通俗解释

和数1的个数类似，但是：

区间可以任意：从L到R，不一定要从1开始
数字可以任意：统计的是2，不是1

知识点

区间遍历：从L到R循环
通用统计：可以统计任意数字
函数思维：相似的代码结构

简化代码

cpp 复制代码

#include <iostream>
using namespace std;

int main(){
    int L = 2, R = 22;
    int digit = 2;  // 要统计的数字
    int count = 0;
    
    for(int i=L; i<=R; i++){  // 外层：遍历区间
        int num = i;
        
        while(num > 0){  // 内层：检查每一位
            if(num % 10 == digit){
                count++;
            }
            num = num / 10;
        }
    }
    
    cout << "在" << L << "到" << R << "中，数字" << digit;
    cout << "出现了" << count << "次" << endl;
    return 0;
}

答案示例

L=2, R=22时，数字2出现了6 次
（2,12,20,21,22中的2：2有1个，12有1个，20有1个，21有1个，22有2个）

三、循环嵌套记忆口诀

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外层是"大哥"，控制大事情
内层是"小弟"，负责小细节

大哥走一步，小弟跑一圈
嵌套配合好，难题变简单

四、常见错误提醒

忘记初始化：内层循环的变量每次要重置

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// 错误：fact没有重置
// 正确：for(int i=1; i<=n; i++){
//          long long fact = 1;  // 每次重新开始
//          for(int j=1; j<=i; j++)...

循环条件写错 ：注意是<=还是<

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// 计算阶乘时：
for(int j=1; j<=i; j++)  // 正确：要乘到i
for(int j=1; j<i; j++)   // 错误：少乘了一次

大数溢出 ：阶乘增长很快，用long long

cpp 复制代码

long long fact = 1;  // 能存更大的数
int fact = 1;        // 容易溢出

五、练习题

先画流程图：用方框和箭头表示循环
手动模拟：选小数字（n=3）手动算一遍
分步调试：先写内层循环，测试通过再加外层
举生活例子：把问题变成"每天做几次练习"来理解