一.概念
红黑树是一棵二叉搜索树，每个节点增加一个存储位，来存储节点的颜色。节点颜色只有红色和黑色两种。通过对任何⼀条从根到叶⼦的路径上各个结点的颜⾊进⾏约束，最长路径不超过最短路径的二倍 ，也就是说，一棵红黑树的高度为h，最短路径为h/2，其他路径长度都在它俩之间。那么整棵树进而达到接近平衡的状态。所以它控制平衡没有AVL树那么严格。
1.红黑树的规则
2.为何最长路径不超过最短路径的二倍？
也就是说，规则第二，三点限定最长。规则第四点限定最短。
3.红黑树的开销
N位于每条路径全是黑(H = h),以及每条路径全是红黑交替(H = 2h)两个极端以内，而通过等比数列求和即可求出上面N的范围。
二.红黑树的实现
1.结构
2.插入
2-1.插入的过程
1.插入一个值，必须按照二叉搜索树的规则插入，插入后还要判断整棵树是否符合红黑树四规则。
2.对于非空树，插入黑色节点必然违反规则四，而插入红色节点有可能违反规则三，更何况规则四是很难维护的，所以新插入节点为红色节点。而对于空树，新插入节点必须为黑节点，否则违反了规则二。
3.非空树新插入的节点必为红色 ，如果该节点的父节点为黑色，则符合规则三，插入结束。
4.非空树新插入的节点必为红色，如果该节点的父节点为红色，违反规则三,需进一步分析，调整。
这几个亲属节点中，唯uncle节点颜色不定，其余几个均为固定颜色。所以要根据u节点，分情况处理(关键看叔叔)：
2-2情况1.纯变色(u不为空，且为红)
p,u为红，g为黑，直接来个换家操作，g变红，p,u变黑,c不变，还是红。
首先得明晰，无论怎么讲，只要在非空树新插入的节点必为红色 ，该节点的父节点为红色 这个大前提下，去做处理，p节点必然要被处理成黑色，因为不能有父子双红。p变黑以后，如果不做其他操作，那么该条支路的黑节点数就会增加1，就违背了规则四，于是就把g变成红，增加的黑节点数就又恢复了。既然g变红，u节点那一支也不能出现父子双红，所以u也变红。
总结：
抽象化
子树a,b,d,e,f的具象化
Ⅰ.a,b,c,d,e,f子树全为空，c为新插入节点
此时d,e,f子树bh = 0
Ⅱ.c不是新插入节点，为之前的g节点(黑色)
此时d,e,f子树bh = 1
新插入节点的插入位置在a,b的4个子节点里选一个。
Ⅲ.c不是新插入节点，为之前的g节点(黑色)
但d,e,f子树的bh = 2
无论子树d,e,f的bh被设计的有多大,子树变的多复杂，万变不离其宗，在处理时都向上，c移到当下子树g节点处，反复将上面子树的父亲，叔叔变黑，爷爷变红，直到整棵树满足红黑树规则。
代码实现
//父亲也为红，出现父子连续双红,需要处理
while (Parent && Parent->_col == RED)
{
Node* grandfather = Parent->_parent;
//叔叔存在
if (grandfather->_left == Parent)
{
//g
//p u 叔叔在右
Node* uncle = grandfather->_right;
if (uncle && uncle->_col == RED)
{//叔叔存在且为红。变色
Parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//向上调整
cur = grandfather;
cur->_parent = Parent;
}
}
else
{//叔叔在左
Node* uncle = grandfather->_left;
}
}
//parent为空，也就是cur走到根节点的位置,并且根节点为红色。
//直接给_root改色即可，反正把它改成黑色，每个支路上黑节点总数都加1，还是相同的。
//即便根本来就是黑色，再让它成黑色也没问题。
_root->_col = BLACK;
return true;2-3情况2.单旋+变色(u为空或为黑)
①.g的_parent(18)为黑
所以需要先对gpc这棵子树进行单旋，然后g和p再变色：
②.g的_parent(18)为红
上面操作还未完，假如g->_parent为红，旋转+变色后g和g->_parent出现父子双红。还需要继续调整,把g当作c，向上更新。如果g->_parent还是红，就接着向上调；如果g->_parent是黑，就结束；如果g是整棵树根节点，还是红色，就把它变成黑。
总结：
子树抽象化：
u为空，或者u存在且为黑。
u为空：
此时c为新增节点
u存在且为黑：
c经向上调整后移到之前子树的g节点处，并且该节点变成红色。
核心就是g先单旋，再改变p,g的颜色
子树具象化：
2-4情况3.双旋+变色(u为空或为黑)
u为空：
双旋后，c做了当前子树根节点，且p,g变成了子节点，需要将c变黑，g变红，才能符合规则。
u存在且为黑：
由于旋转这几种情况，在旋转+变色以后，子树的根节点都会变成黑色，所以无需再向上调整。而叔叔存在且为红的情况，旋转+变色后会让子树根节点变成红色，此时上面一棵子树parent也为红，连续双红需要向上调整。
2.5.插入的完整代码实现及其思维导图
bool insert(const pair<K, V>& kv)
{//遍历
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;//空树插入节点是黑的。
return true;
}
Node* Parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{//cur和待插入节点的值进行比较，待插入值大于cur，cur往右子树走，小于则往左子树走。
Parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
Parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
//插入
cur = new Node(kv);
cur->_col = RED;//非空树插入节点是红的
if (Parent->_kv.first < kv.first)
{
Parent->_right = cur;
}
if (Parent->_kv.first > kv.first)
{
Parent->_left = cur;
}
//链接父节点
cur->_parent = Parent;
//父亲也为红，出现父子连续双红,需要处理
while (Parent && Parent->_col == RED)
{
Node* grandfather = Parent->_parent;
if (grandfather->_left == Parent)
{//叔叔在右
//g
//p u
Node* uncle = grandfather->_right;
if (uncle && uncle->_col == RED)
{//叔叔存在且为红。变色
Parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//向上调整
cur = grandfather;
cur->_parent = Parent;
}
else
{//uncle存在且为黑或叔叔不存在。 旋转+变色
//c在p左子树，g右单旋+g,p变色
//g
// p u
//c
if (cur == Parent->_left)
{
RotateR(grandfather);
Parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{//c在p右子树，g-p-c双旋+变色
//g
// p u
// c
RotateL(Parent);
RotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;//此处作为子树根节点的是Parent,它是黑色的，所以不用管上面是红是黑，全部符合规则，不需要再向上调整。
}
}
else
{//叔叔在左
Node* uncle = grandfather->_left;
//g
//u p
//叔叔存在且为红
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
uncle->_col = Parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//向上调整
if (grandfather->_col == RED)
{
cur = grandfather;
Parent = cur->_parent;
}
}
else
{//叔叔不存在或存在但为黑
//g
// u p
// c
//单旋
if (Parent->_right = cur)
{
RotateL(grandfather);
Parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
//g
// u p
// c
//双旋
RotateR(Parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
}
//parent为空，也就是cur走到根节点的位置,并且根节点为红色。
//直接给_root改色即可，反正把它改成黑色，每个支路上黑节点总数都加1，还是相同的。
//即便根本来就是黑色，再让它成黑色也没问题。
_root->_col = BLACK;
return true;
}3.红黑树验证
注：
1.代码中，blackNum作为一个形参出现，每一次递归遍历时，它的值都隶属于当下，因此递归返回时，每一个blackNum对应的是当下的每一个节点。
2.构造参考值,此处以最左侧路径的黑节点数量作参考值：
3.前序遍历⾛到空时，意味着⼀条路径⾛完了，此时进入if语句，blackNum与参考值refNum进行比较。
4.前序遍历的return用&&的妙处在于，&&前假如是false，就可直接截断，无需浪费精力去管其后面的东西。
递归展开图：
完整代码：
bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum)
{
if (root == nullptr)
{
// 前序遍历⾛到空时，意味着⼀条路径⾛完了
//cout << blackNum << endl;
if (refNum != blackNum)
{
cout << "存在⿊⾊结点的数量不相等的路径" << endl;
return false;
}
return true;
}
// 检查孩⼦不太⽅便，因为孩⼦有两个，且不⼀定存在，反过来检查⽗亲就⽅便多了
if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
{
cout << root->_kv.first << "存在连续的红⾊结点" << endl;
return false;
}
if (root->_col == BLACK)
{
blackNum++;
}
return Check(root->_left, blackNum, refNum)
&& Check(root->_right, blackNum, refNum);
}
bool IsBalance()
{
if (_root == nullptr)
return true;
if (_root->_col == RED)
return false;
// 参考值
int refNum = 0;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_col == BLACK)
{
++refNum;
}
cur = cur->_left;
}
return Check(_root, 0, refNum);
}