图论基础原理与题目说明

YuanDaima20482026-05-16 11:23

图论基础原理与题目说明

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特别说明：

本文为个人的 LeetCode 刷题与学习笔记，内容仅供学习与交流使用，禁止转载或用于商业用途。需要强调的是，文中的题目解法不一定是最优解（可能存在时间或空间复杂度的进一步优化空间），主要目的是分享个人的解题思路与逻辑实现，仅供参考。 笔记内容为个人理解与总结，可能存在疏漏或偏差，欢迎读者自行甄别并交流探讨。

一、 图论基本概念

1.1 图的核心定义

图是由顶点（节点）**和**边 组成的结构（记为 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)）。

分类维度 类型 特点（刷题关注点）
边的方向 无向图 边无方向（如社交网络的好友关系）
有向图 边有方向（如道路单行道、任务依赖关系）
边的权重 无权图 边无值（仅表示连通状态）
有权图 边有值（如两点间的距离、费用、时间等）
环的存在 无环图 无闭环（如经典的 DAG：有向无环图）
有环图 存在闭环（遍历时必须加标记以避免死循环）

1.2 图的存储方式

  • 邻接表：用数组或哈希表存储每个节点的相邻节点列表（空间复杂度通常更优，最常用）。
  • 邻接矩阵 ：二维数组 matrix[i][j]。值为 1 代表相连，0 代表不连；若为有权图则直接存储权重值。

二、 图的遍历核心：DFS 与 BFS

图的遍历是所有图论算法的基石，本质上与二叉树的遍历同源。唯一且最致命的区别在于：图可能存在环，必须利用 visited 标记访问状态，防止无限死循环。

2.1 DFS（深度优先遍历）

  • 核心思路：从起点出发，沿着一条路径走到黑（不撞南墙不回头），再回溯走其他路径（同二叉树的前序/后序递归逻辑）。
  • 基础模板（邻接表 + 递归）：
py 复制代码 
def dfs(node, adj, visited):
    visited[node] = True # 标记当前节点已访问
    # print(node)        # 访问节点（执行业务逻辑）
    
    # 遍历所有相邻节点
    for neighbor in adj[node]:
        if not visited[neighbor]:
            dfs(neighbor, adj, visited)

2.2 BFS（广度优先遍历）

  • 核心思路：从起点出发，像水波纹一样，先访问所有直接相邻的节点（一层），再访问相邻节点的相邻节点（下一层）（同二叉树的层序遍历逻辑）。
  • 基础模板（邻接表 + 队列）：
py 复制代码 
from collections import deque

def bfs(start, adj, visited):
    q = deque([start])
    visited[start] = True
    
    while q:
        node = q.popleft()
        # print(node)    # 访问节点
        
        for neighbor in adj[node]:
            if not visited[neighbor]:
                visited[neighbor] = True
                q.append(neighbor)

三、 高阶概念：有向图与 Trie 树

3.1 入度与出度（拓扑排序前置知识）

在有向图中，入度 与出度是描述「节点与边」关系的核心指标。

概念 通俗定义 数学定义
入度 指向当前节点的边的数量（有多少个 "前驱" 指向我） i n _ d e g r e e ( u ) in\_degree(u) in_degree(u) = 以 u u u 为终点的边数
出度 从当前节点出发的边的数量（我有多少个 "后继"） o u t _ d e g r e e ( u ) out\_degree(u) out_degree(u) = 以 u u u 为起点的边数
  • 入度为 0 的节点：没有任何前驱依赖，可以直接作为起点开始。
  • 出度为 0 的节点：没有任何后继依赖，是终点。
  • 拓扑排序 ：把有向无环图（DAG）的节点排成一个序列，满足 "所有边的起点必须排在终点的前面"。若图中有环，则无法完成拓扑排序（因为永远找不到入度为 0 的起始节点）。

3.2 Trie（前缀树 / 字典树）

Trie 是专门用于高效存储和检索字符串集合的树形数据结构。

  • 核心优势 ：「共享字符串前缀」。例如存储 "app" 和 "apple" 时，前缀 "app" 会被共享，大幅节省空间。检索时间仅与目标字符串长度相关，与集合大小无关。
  • 节点设计 ：
    1. children：字典（key=字符，value=子节点），存储当前节点的所有分支。
    2. is_end：布尔值，标记该节点是否是某个完整单词的结尾。

四、 图论算法实战演练

200. 岛屿数量

题目描述：

给你一个由 '1'（陆地）和 '0'（水）组成的的二维网格，请你计算网格中岛屿的数量。岛屿总是被水包围，每座岛屿只能由水平方向和/或竖直方向上相邻的陆地连接形成。

解题思路：

选用DFS（深度优先搜索）嵌套递归法。

遍历网格，遇到未被访问的陆地（'1'）时，启动一次 DFS 递归。在 DFS 过程中，将该陆地及其所有相连的陆地原地修改为水（'0'） 。这相当于利用原网格代替了 visited 数组。每启动一次 DFS 就代表消灭并找到了一个独立岛屿，最终统计 DFS 的启动次数即可。

核心代码：

py 复制代码 
from typing import List

class Solution:
    def numIslands(self, grid: List[List[str]]) -> int:
        if not grid or not grid[0]:
            return 0
        
        rows = len(grid)
        cols = len(grid[0])
        ans = 0

        # 定义 DFS 函数，作用是淹没 (x,y) 所在的整个相连岛屿
        def dfs(x, y):
            # 递归终止条件：越界，或者当前单元格已经是水
            if not 0 <= x < rows or not 0 <= y < cols or grid[x][y] == '0':
                return
            
            # 核心操作：将当前陆地标记为水（替代 visited 数组）
            grid[x][y] = '0'

            # 递归遍历上下左右，淹没相连陆地
            dfs(x - 1, y)  
            dfs(x + 1, y)  
            dfs(x, y - 1)  
            dfs(x, y + 1)  

        # 遍历网格寻找岛屿起点
        for i in range(rows):
            for j in range(cols):
                if grid[i][j] == '1':
                    ans += 1  # 发现新岛屿
                    dfs(i, j) # 启动 DFS 淹没它
        
        return ans

994. 腐烂的橘子

题目描述：

每分钟，腐烂的橘子周围 4 个方向上相邻的新鲜橘子都会腐烂。返回直到单元格中没有新鲜橘子为止所必须经过的最小分钟数。如果不可能全腐烂，返回 -1。

解题思路：

  • 「同时腐烂」说明过程是分层扩散的；

  • 「多个初始腐烂点」说明需从多个起点同时开始。

    这完美契合 多源 BFS 算法：

  1. 初始化：将所有初始腐烂橘子的坐标加入队列，并统计新鲜橘子的总数。
  2. 分层 BFS：每一层循环代表"过了一分钟"。逐个取出队列中的腐烂橘子向四周扩散，将新鲜橘子腐烂并加入下一层队列，同时新鲜橘子总数减一。
  3. 结果判定 ：若最终新鲜橘子数 > 0 >0 >0，返回 -1；否则返回统计的分钟数。

核心代码：

py 复制代码 
import collections
from typing import List

class Solution:
    def orangesRotting(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        if not grid or not grid[0]:
            return 0
        
        rows = len(grid)
        cols = len(grid[0])

        queue = collections.deque()
        fresh_num = 0
        time = 0

        # 1. 收集初始腐烂橘子（多源起点）并统计新鲜橘子
        for i in range(rows):
            for j in range(cols):
                if grid[i][j] == 1:
                    fresh_num += 1
                elif grid[i][j] == 2:
                    queue.append((i, j))
        
        dirs = [(-1, 0), (1, 0), (0, -1), (0, 1)]

        # 2. 分层 BFS 模拟腐烂过程
        while queue and fresh_num > 0:
            level_size = len(queue)
            for _ in range(level_size):
                x, y = queue.popleft()
                for dx, dy in dirs:
                    nx, ny = x + dx, y + dy
                    # 发现相邻的新鲜橘子
                    if 0 <= nx < rows and 0 <= ny < cols and grid[nx][ny] == 1:
                        grid[nx][ny] = 2    
                        fresh_num -= 1
                        queue.append((nx, ny))
            time += 1

        return time if fresh_num == 0 else -1

207. 课程表

题目描述：

判断是否可能完成所有课程的学习，课程之间存在先修依赖关系。本质是判断有向图中是否存在环。

解题思路：

使用基于入度 的 BFS 拓扑排序：

  1. 构建图 ：构建邻接表 adj 记录每门课的后续课程，构建 in_degree 数组记录每门课的前置条件数量。
  2. 初始化队列：将所有入度为 0（无前置依赖）的课程加入队列。
  3. BFS 模拟修课：取出队列中的课（算作修完一门）。然后将其所有后续课程的入度减 1。若后续课程的入度降为 0，说明其前置条件已全部满足，加入队列。
  4. 结果判定：最后统计修完的课程数，若等于总课数则说明无环（可以完成选课）。

核心代码：

py 复制代码 
import collections
from typing import List

class Solution:
    def canFinish(self, numCourses: int, prerequisites: List[List[int]]) -> bool:
        # 1. 初始化邻接表和入度数组
        adj = [[] for _ in range(numCourses)]
        in_degree = [0] * numCourses

        for a, b in prerequisites:  
            adj[b].append(a)       # b -> a：修 a 需先修 b
            in_degree[a] += 1
        
        # 2. 收集所有入度为 0 的节点（可以直接学的课）
        queue = collections.deque()
        for i in range(numCourses):
            if in_degree[i] == 0:   
                queue.append(i)
        
        # 3. BFS 模拟选课过程
        processed = 0 
        while queue:
            course = queue.popleft()
            processed += 1

            for next_course in adj[course]:
                in_degree[next_course] -= 1
                # 前置条件全部满足，可以开始学了
                if in_degree[next_course] == 0:
                    queue.append(next_course)
            
        return processed == numCourses

208. 实现 Trie (前缀树)

解题思路：

根据前述理论，构建 TrieNode 辅助类，随后实现树的初始化、插入和查询逻辑。对于 startsWith，只需路径存在即可返回 True，无需校验 is_end。

核心代码：

py 复制代码 
class TrieNode:
    """定义 Trie 的节点类"""
    def __init__(self):
        self.children = {}   # key: 字符, value: 对应的 TrieNode
        self.is_end = False  # 标记是否是单词结尾

class Trie:
    def __init__(self):
        self.root = TrieNode()  # 根节点不存储实际字符

    def insert(self, word: str) -> None:
        current_node = self.root
        for char in word:
            # 字符不存在对应分支则创建
            if char not in current_node.children:
                current_node.children[char] = TrieNode()
            current_node = current_node.children[char]
        # 单词插入完毕，打上结尾标记
        current_node.is_end = True

    def search(self, word: str) -> bool:
        current_node = self.root
        for char in word:
            if char not in current_node.children:
                return False
            current_node = current_node.children[char]
        # 必须是某个完整单词的结尾
        return current_node.is_end

    def startsWith(self, prefix: str) -> bool:
        current_node = self.root
        for char in prefix:
            if char not in current_node.children:
                return False
            current_node = current_node.children[char]
        # 只要存在这条路径即可，无需判断 is_end
        return True
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