在行列可自由变换的平面内结构的数量为
|----|------|------|-------|-------|--------|--------|
| | 4*4 | 5*5 | 6*6 | 7*7 | 8*8 | 9*9 |
| | | | | | | |
| 1 | 144 | 600 | 1800 | 4410 | 9408 | 18144 |
| 2 | 576 | 3600 | 14400 | 44100 | 112896 | 254016 |
| 3 | 144 | 600 | 1800 | 4410 | 9408 | 18144 |
| 5 | 48 | 400 | 1800 | 5880 | 15680 | 36288 |
| 6 | 4 | 25 | 90 | 245 | 560 | 1134 |
| 7 | 144 | 1800 | 10800 | 44100 | 141120 | 381024 |
| 8 | 36 | 300 | 1350 | 4410 | 11760 | 27216 |
| 11 | 144 | 900 | 3600 | 11025 | 28224 | 63504 |
| 12 | 36 | 100 | 225 | 441 | 784 | 1296 |
| 13 | 24 | 600 | 5400 | 29400 | 117600 | 381024 |
如计算4a12在9*9的方形平面内的数量为c（9，2）*c（9，2）=36*36=1296
计算4a1的的数量为c（9，3）*c（9，2）*6=18144
进一步变化
让g0=a，g1=b
两边取对数
进一步化简
这里的n是正方形的边长，g是结构本身宽和高，假设同行或同列的点是可以重合的，如果一个结构的高3那无论x轴方向有多少个点都视作3个。由此gx，gy就是这个结构在x和y方向的点的数量
当g的微小变化导致的状态数的变化可以忽略不计，系统达到最稳定
对等式右侧求导
代入得到
这里g是有方向的，假设x方向的能量对y方向的数量没有影响，同样y方向的能量对x方向的数量也没有影响。
边长为n能量为εi方向的粒子的数量为gi个，所以εi方向粒子的密度为
能量是标量为什么会有方向？这里的方向指的是不同方向能量的值不同。就像把筷子从中间折断肯定比把筷子从两边拉断要容易。从这个意义上水平于筷子的方向就是可以蓄积更大的能量，所以对筷子来说水平和垂直方向可能产生的动能大小会有巨大差别，这是结构本身不对称的特点造成的。
假设一种液体的分子向筷子一样捆在一起，加热这种液体就是对这捆筷子做功，让其形变蓄积能量，假如做功的方向水平于筷子，让筷子产生形变的难度肯定要更大些，所以这捆筷子是不是应该在水平和垂直两个方向有不同的比热？对于分子晶体其x，y方向的速度分量一定是有关联的，不是独立的，其密度概率不应该是方向无关的，如果比热没有方向会产生矛盾，只不过热运动气体分子的运动方向随机，如果通过测量介质的办法间接的测量比热测到的总是方向无关的平均值。