两道经典算法题复盘：最长有效括号 & 不同路径

前言

今天复盘两道算法题：一道是困难级别的栈 / 动态规划题「最长有效括号」 ，另一道是中等难度的多维动态规划题「不同路径」。这两道题分别代表了栈的应用和二维 DP 的经典场景，很适合作为面试复习的重点。

一、32. 最长有效括号（困难）

题目描述

给你一个只包含 '(' 和 ')' 的字符串，找出最长有效（格式正确且连续）括号子串的长度。

核心思路：栈解法（直观好写）

栈是解决这类括号匹配问题的经典数据结构，这道题的关键在于用栈记录 "上一个有效位置"：

栈底始终保存一个无效位置 （初始为 -1），作为计算长度的基准。
遇到 '('，直接压入当前索引；
遇到 ')'，弹出栈顶元素：
- 如果栈为空，说明当前 ')' 没有匹配的 '('，将当前索引压入作为新的无效位置；
- 如果栈不为空，当前有效长度 = 当前索引 - 栈顶索引，更新全局最大值。

完整代码（Java）

java

运行

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class Solution {
    public int longestValidParentheses(String s) {
        Deque<Integer> stack = new LinkedList<>();
        stack.push(-1);
        int maxLen = 0;
        for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
            if (s.charAt(i) == '(') {
                stack.push(i);
            } else {
                stack.pop();
                if (stack.isEmpty()) {
                    stack.push(i);
                } else {
                    maxLen = Math.max(maxLen, i - stack.peek());
                }
            }
        }
        return maxLen;
    }
}

坑点与优化

栈底的 -1 是关键：没有这个初始值，第一次匹配时无法计算长度，会导致数组越界或结果错误。
动态规划解法补充 ：定义 dp[i] 表示以 i 结尾的最长有效括号长度。
- 当 s[i] == ')' 且 s[i-1] == '('：dp[i] = dp[i-2] + 2
- 当 s[i] == ')' 且 s[i-1] == ')' 且 s[i - dp[i-1] - 1] == '('：dp[i] = dp[i-1] + 2 + dp[i - dp[i-1] - 2]
时间复杂度：栈和 DP 解法都是 O (n)，空间复杂度栈解法为 O (n)，DP 解法为 O (n)。

二、62. 不同路径（中等）

题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起点），每次只能向下或向右移动一步，请问到达右下角（终点）共有多少条不同的路径？

核心思路：二维动态规划

这是最经典的二维 DP 入门题，核心思想是：

定义 dp[i][j] 表示到达 (i, j) 位置的不同路径数。
边界条件：第一行和第一列的所有位置都只有 1 条路径（只能一直向右或一直向下）。
状态转移方程：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]（只能从上方或左方移动过来）。

完整代码（Java）

java

运行

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class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            dp[0][j] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
}

优化与拓展

空间优化（一维 DP） ：因为每次更新只需要上一行和当前行的信息，可以将二维数组压缩为一维：

java

运行

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class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[] dp = new int[n];
        Arrays.fill(dp, 1);
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[j] = dp[j] + dp[j-1];
            }
        }
        return dp[n-1];
    }
}

数学方法（组合数） ：从起点到终点，一共需要走 m+n-2 步，其中 m-1 步向下，n-1 步向右。路径数就是组合数 C(m+n-2, m-1)，可以用公式直接计算。