P13376题解 - 技术栈

题目

问题分析：

我们需要计算朋友进入餐厅时，最大叫服务员次数与最小叫服务员次数的差值（分布值）。关键观察：最大次数：按顺序1、2、...、N进入时，每个质数或质数幂次的朋友都会触发服务员呼叫，总次数等于质数幂次数量+1（包含数字1的首次呼叫）。最小次数：按最优顺序进入时，仅质数会触发服务员呼叫，总次数等于质数数量+1。分布值 = 最大次数 - 最小次数 =（质数幂次数量+1）-（质数数量+1）= 质数高次幂（质数的平方及以上）的数量 + 1（修正项）。

核心结论：

分布值的计算公式为：当N=1时，分布值为0。当N≥2时，分布值 =（所有质数p≤√N的高次幂数量之和）+ 1。其中，质数p的高次幂数量为floor(log_p N) - 1（即p²、p³...≤N的个数）。

算法步骤:

预处理质数：使用埃拉托斯特尼筛法生成所有≤1e6的质数（因为N最大为1e12，√N=1e6）。
计算高次幂数量：对每个质数p≤√N，计算最大的k使得pᵏ≤N，贡献k-1到总和（高次幂数量）。
计算分布值：总和加1即为最终结果。

代码实现：

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;

const int MAX_SQRT = 1e6;
vector<int> primes;

void sieve() {
    vector<bool> isprime(MAXSQRT + 1, true);
    isprime[0] = isprime[1] = false;
    for (int i = 2; i * i <= MAX_SQRT; ++i) {
        if (is_prime[i]) {
            for (int j = i * i; j <= MAX_SQRT; j += i) {
                is_prime[j] = false;
            }
        }
    }
    for (int i = 2; i <= MAX_SQRT; ++i) {
        if (isprime[i]) primes.pushback(i);
    }
}

long long compute_distribution(long long N) {
    if (N == 1) return 0;
    long long sqrt_N = sqrt(N);
    while ((sqrtN + 1) * (sqrtN + 1) <= N) sqrt_N++;
    while (sqrtN * sqrtN > N) sqrt_N--;
    
    long long sum = 0;
    double ln_N = log(N);
    for (int p : primes) {
        if (p > sqrt_N) break;
        int k = (int)(ln_N / log(p));
        // 验证k的准确性
        int128 current = 1;
        int actual_k = 0;
        while (current <= N / p) {
            current *= p;
            actual_k++;
        }
        if (actualk >= 2) sum += actualk - 1;
    }
    return sum + 1;
}

int main() {
    ios::syncwithstdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    sieve();
    int T;
    cin >> T;
    for (int casenum = 1; casenum <= T; ++case_num) {
        long long N;
        cin >> N;
        cout << "Case #" << casenum << ": " << computedistribution(N) << '\n';
    }
    return 0;
}
//----------------------------防伪标-----------------------

复杂度分析:

预处理：筛法时间复杂度O(n log log n)，n=1e6，约0.1秒。

查询处理：每个测试用例遍历约78498个质数，每个质数的高次幂计算时间O(log_p N)，总时间复杂度O(T π(√N) log N)，对于T=1e3完全满足6秒时间限制。

关键优化:

使用int128避免大数乘法溢出问题。通过浮点数快速估算指数k，再用整数乘法验证准确性，平衡效率与精度。